高中数学 2-3 第二章 随机变量及其分布综合检测 新人教A版选修2-3

【成才之路】-学年高中数学2-3第二章随机变量及其分布综合检测新人教A版选修2-3时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(·霍邱二中一模)设随机变量ξ等可能取值1、2、3、…、n，如果P(ξ<4)＝0.3，那么n的值为()A．3 B．4C．9 D．10[答案]D[解析]∵P(ξ<4)＝eq\f(3,n)＝0.3，∴n＝10.2．已知随机变量X满足D(X)＝1，则D(2X＋3)＝()A．2 B．4C．6 D．8[答案]B[解析]D(2X＋3)＝4D(X)＝4.3．(·景德镇市高二期末)已知某离散型随机变量X服从的分布列如图，则随机变量X的方差D(X)等于()X01Pm2A.eq\f(1,9) B．eq\f(2,9)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[答案]B[解析]由m＋2m＝1得，m＝eq\f(1,3)，∴E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，D(X)＝(0－eq\f(2,3))2×eq\f(1,3)＋(1－eq\f(2,3))2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，故选B.4．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))，则该随机变量的方差等于()A．10 B．100C．eq\f(2,π) D．eq\r(\f(2,π))[答案]C[解析]由正态分布密度曲线上的最高点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))知eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2)，∴D(X)＝σ2＝eq\f(2,π).5．(·辽师大附中高二期中)若随机变量η～B(n，0.6)，且E(η)＝3，则P(η＝1)的值是()A．2×0.44 B．3×0.44C．2×0.45 D．3×0.64[答案]B[解析]∵η～B(n,0.6)，∴E(η)＝0.6n＝3，∴n＝5，∴P(η＝1)＝Ceq\o\al(1,5)·0.6·(1－0.6)4＝3×0.44，故选B.6．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是eq\f(3,10)的事件为()A．恰有1只是坏的 B．4只全是好的C．恰有2只是好的 D．至多有2只是坏的[答案]C[解析]X＝k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,7)C\o\al(4－k,3),C\o\al(4,10))(k＝1、2、3、4)．∴P(X＝1)＝eq\f(1,30)，P(X＝2)＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)，P(X＝4)＝eq\f(1,6)，∴选C.7．对标有不同编号的16件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出次品的条件下，第二次也摸到次品的概率是()A．eq\f(1,5) B．eq\f(3,95)C．eq\f(3,19) D．eq\f(1,95)[答案]C[解析]“第一次摸出次品”记为事件A，“第二次摸出次品”记为事件B.则P(A)＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,20))＝eq\f(3,95)，则P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(3,19).8．已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，则E(2ξ＋1)与D(2ξ＋1)的值分别为()A．13,4 B．13,8C．7,8 D．7,16[答案]D[解析]由已知E(ξ)＝3，D(ξ)＝4，得E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝7，D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝16.9．有编号分别为1、2、3、4、5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为()A．eq\f(5,21) B．eq\f(2,7)C．eq\f(1,3) D．eq\f(8,21)[答案]D[解析]从10个球中任取4个，有Ceq\o\al(4,10)＝210种取法，取出的编号互不相同的取法有Ceq\o\al(4,5)·24＝80种，∴所求概率P＝eq\f(80,210)＝eq\f(8,21).10．设随机变量ξ服从分布P(ξ＝k)＝eq\f(k,15)，(k＝1、2、3、4、5)，E(3ξ－1)＝m，E(ξ2)＝n，则m－n＝()A．－eq\f(31,9) B．7C．eq\f(8,3) D．－5[答案]D[解析]E(ξ)＝1×eq\f(1,15)＋2×eq\f(2,15)＋3×eq\f(3,15)＋4×eq\f(4,15)＋5×eq\f(5,15)＝eq\f(11,3)，∴E(3ξ－1)＝3E(ξ)－1＝10，又E(ξ2)＝12×eq\f(1,15)＋22×eq\f(2,15)＋32×eq\f(3,15)＋42×eq\f(4,15)＋52×eq\f(5,15)＝15，∴m－n＝－5.11．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a、b、c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,6)[答案]C[解析]由条件知，3a＋b＝1，∴ab＝eq\f(1,3)(3a)·b≤eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a＋b,2)))2＝eq\f(1,12)，等号在3a＝b＝eq\f(1,2)，即a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,2)时成立．12．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为()A．eq\f(7,4) B．eq\f(77,20)C．eq\f(3,4) D．eq\f(7,3)[答案]A[解析]由于f2(x)，f5(x)，f6(x)为偶函数，f1(x)，f3(x)，f4(x)为奇函数，所以随机变量ξ可取1,2,3,4.P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,20)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＝eq\f(1,20).所以ξ的分布列为ξ1234Peq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(3,20)eq\f(1,20)E(ξ)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,20)＝eq\f(7,4).二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．[答案]0.4[解析]由分布列可得x＝0.6－y且7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，解得y＝0.4.14.(·九江一模)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是eq\f(1,2)，则小球落入A袋中的概率为________．[答案]eq\f(3,4)[解析]小球落入B袋中的概率为P1＝(eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2))×2＝eq\f(1,4)，∴小球落入A袋中的概率为P＝1－P1＝eq\f(3,4).15．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X的均值E(X)＝________.[答案]eq\f(50,3)[解析]这是100次独立重复试验，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100，\f(1,6)))，∴E(X)＝100×eq\f(1,6)＝eq\f(50,3).16．(·陕西宝鸡中学高二期末)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________________(写出所有正确结论的序号)．①P(B)＝eq\f(2,5)；②P(B|A1)＝eq\f(5,11)；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．[答案]②④[解析]从甲罐中取出一球放入乙罐，则A1、A2、A3中任意两个事件不可能同时发生，即A1、A2、A3两两互斥，故④正确，易知P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(1,5)，P(A3)＝eq\f(3,10)，又P(B|A1)＝eq\f(5,11)，P(B|A2)＝eq\f(4,11)，P(B|A3)＝eq\f(4,11)，故②对③错；∴P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝eq\f(1,2)×eq\f(5,11)＋eq\f(1,5)×eq\f(4,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(4,11)＝eq\f(9,22)，故①⑤错误．综上知，正确结论的序号为②④.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(·甘肃省三诊)甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．(1)求甲、乙两人都被分到A社区的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率；(3)设随机变量ξ为四名同学中到A社区的人数，求ξ的分布列和Eξ的值．[解析](1)记甲、乙两人同时到A社区为事件M，那么P(M)＝eq\f(A\o\al(2,2),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,18)，即甲、乙两人同时到A社区的概率是eq\f(1,18).(2)记甲、乙两人在同一社区为事件E，那么P(E)＝eq\f(A\o\al(3,3),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,6)，所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是P(eq\x\to(E))＝1－P(E)＝eq\f(5,6).(3)随机变量ξ可能取的值为1,2.事件“ξ＝i(i＝1,2)”是指有i个同学到A社区，则p(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)A\o\al(2,2),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,3).所以p(ξ＝1)＝1－p(ξ＝2)＝eq\f(2,3)，ξ的分布列是：ξ12peq\f(2,3)eq\f(1,3)∴E(ξ)＝1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3).18．(本题满分12分)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望．[分析]8杯饮料中含4杯A饮料，从8杯中任选4杯，其中恰含k杯A饮料的概率服从超几何分布．设新录用员工的月工资为y，则y的取值与X的取值对应关系为y350028002100X430,1,2[解析](1)X的所有可能取值为：0、1、2、3、4，P(X＝i)＝eq\f(C\o\al(i,4)C\o\al(4－i,4),C\o\al(4,8))(i＝0、1、2、3、4)，故X的分布列为：X01234Peq\f(1,70)eq\f(8,35)eq\f(18,35)eq\f(8,35)eq\f(1,70)(2)令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100,2800,3500，则P(Y＝3500)＝P(X＝4)＝eq\f(1,70)，P(Y＝2800)＝P(X＝3)＝eq\f(8,35)，P(Y＝2100)＝P(X≤2)＝eq\f(53,70)，E(Y)＝3500×eq\f(1,70)＋2800×eq\f(8,35)＋2100×eq\f(53,70)＝2280.所以新录用员工月工资的期望为2280元．[点评]要注意超几何分布的特点，是总数为N件的A、B两类物品，其中含M件A类物品，从中任取n件(n≤N)时恰含有A类物品m件，要严格按其特点作出判断．19．(本题满分12分)(·揭阳一中高二段测)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品．(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；工序概率产品第一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8(2)已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，求ξ、η的分布列及E(ξ)，E(η)；等级利润产品一等二等甲5(万元)2.5(万元)乙2.5(万元)1.5(万元)(3)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示．该工厂有工人40名，可用资金60万元．设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(2)的条件下，x、y为何值时，z＝xE(ξ)＋yE(η)最大？最大值是多少？项目产品工人(名)资金(万元)甲85乙210[解析](1)P甲＝0.8×0.85＝0.68，P乙＝0.75×0.8＝0.6.(2)随机变量ξ、η的分别列是ξ52.5P0.680.32η2.51.5P0.60.4E(ξ)＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2，E(η)＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1.(3)由题设知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋10y≤60，,8x＋2y≤40，,x≥0，,y≥0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤12，,4x＋y≤20，,x≥0，y≥0.))目标函数为z＝xE(ξ)＋yE(η)＝4.2x＋2.1y.作出可行域(如图)：作直线l：4.2x＋2.1y＝0，将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝4.2x＋2.1y取最大值．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝12，,4x＋y＝20.))得x＝4，y＝4，即x＝4，y＝4时，z取最大值，z的最大值为25.2.20．(本题满分12分)(·太原市二模)中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母，“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了技术改进，并增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行量化检测．假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为eq\f(3,4)、eq\f(2,3)、eq\f(1,2)，指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分，某项指标不合格记为0分，各项指标检测结果互不影响．(1)求该项技术量化得分不低于8分的概率；(2)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．[解析](1)记甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A，B，C，则事件“得分不低于8分”表示为ABC＋Aeq\o(B,\s\up6(－))C.∵ABC与Aeq\o(B,\s\up6(－))C为互斥事件，且A，B，C之间彼此独立，∴P(ABC＋Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＝P(ABC)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(C)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).(2)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数的取值为0、1、2、3.P(X＝0)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,24)，P(X＝1)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))Beq\o(C,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))C)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(X＝2)＝P(ABeq\o(C,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))BC＋Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(11,24)，P(X＝3)＝P(ABC)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，随机变量X的分布列为X0123Peq\f(1,24)eq\f(1,4)eq\f(11,24)eq\f(1,4)∴E(X)＝0×eq\f(1,24)＋1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(11,24)＋3×eq\f(1,4)＝eq\f(23,12).21．(本题满分12分)坛子里放着5个相同大小、相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．[解析]设第1次拿出绿皮鸭蛋为事件A，第2次拿出绿皮鸭蛋为事件B，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB.(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的基本事件数为μ(Ω)＝Aeq\o\al(2,5)＝20.又μ(A)＝Aeq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(1,4)＝12.于是P(A)＝eq\f(μA,μΩ)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(2)因为μ(AB)＝Aeq\o\al(2,3)＝6，所以P(AB)＝eq\f(μAB,μΩ)＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).(3)解法一：由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).解法二：因为μ(AB)＝6，μ(A)＝12，所以P(B|A)＝eq\f(μAB,μA)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).22．(本题满分14分)(·沈阳市质检)为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有来沈的3名工人相互独立地从60个项目中任选一个项目参与建设．(1)求这3人选择的项目所属类别互异的概率；(2)将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X，求X的分布列和数学期望．[解析]记第i名工人选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai、Bi、Ci.由题意知，P(Ai)＝eq\f(30,60)＝eq\f(1,2)，P(Bi)＝eq\f(20,60)＝eq\f(1,3)，P(Ci)＝eq\f(10,60)＝eq\f(1,6)(i＝1,2,3)．(1)3人选择的项目所属类别互异的概率P＝Aeq\o\al(3,3)P(A1B2C3)＝6×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,6).(2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率P＝eq\f(30＋10,60)＝eq\f(2,3).由X～B(3，eq\f(2,3))，∴P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)(eq\f(2,3))k(1－eq\f(2,3))3－k(k＝0,1,2,3)，∴X的分布列为X0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)其数学期望为E(X)＝3×eq\f(2,3)＝2.1．在高三某个班中，有eq\f(1,4)的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么，其中数学成绩优秀的学生数X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,4)))，则P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))5－k取最大值时k的值为()A．0 B．1C．2 D．3[答案]B[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(k－1,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))k－1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))6－k≤C\o\al(k,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))5－k，,C\o\al(k＋1,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))k＋1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))4－k≤C\o\al(k,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))5－k.))解得eq\f(1,2)≤k≤eq\f(3,2)，又因为k∈N*，所以k＝1.2．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()自然状况方案盈利概率A1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10A.A1 B．A2C．A3 D．A4[答案]C[解析]A1的均值为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7.A2的均值为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5.A3的均值为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7.A4的均值为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6.∴选方案A3.3．一次数学摸底考试，某班60名同学成绩的频率分布直方图如图所示．若得分90分以上为及格．从该班任取一位同学，其分数是否及格记为ξ，求ξ的分布列．[解析]由直方图可知该班同学成绩在90分以上的频率为1－(0.01＋0.0025)×20＝0.75，由频率估计概率的原理知，从该班任取一名同学及格的概率为p＝0.75，记及格ξ＝1，不及格为ξ＝0，则ξ的分布列为ξ01P0.250.754.某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间(分)12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时．(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．[分析](1)由表中所给出的数值，第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务应分三种情况，逐一列出后求出其概率．(2)从已知条件知，X的值为0人，1人，2人三种情况，特别当x＝1时要注意再进行分类讨论．[解析]设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；所以X的分布列为X012P0.50.490.01E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.5．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求X的分布列．[解析](1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么P(EA)＝eq\f(A\o\al(3,3),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,40).即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是eq\f(1,40).(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么P(E)＝eq\f(A\o\al(4,4),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,10).所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(eq\x\to(E))＝1－P(E)＝eq\f(9,10).(3)随机变量X可能取的值为1,2，事件“X＝2”是指有两人同时参加A岗位服务，则P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)A\o\al(3,3),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,4).所以P(X＝1)＝1－P(X＝2)＝eq\f(3,4)，X的分布列为：X12Peq\f(3,4)eq\f(1,4)6.在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的．(1)求蜜蜂落入第二实验区的概率；(2)若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；(3)记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望E(X)．[解析](1)记“蜜蜂落入第一实验区”为事件A，“蜜蜂落入第二实验区”为事件B.依题意，P(A)＝eq\f(V小锥体,V圆锥体)＝eq\f(\f(1,3)·\f(1,4)·S圆锥底面·