2022-2023学年广西壮族自治区钦州市高一下学期期末教学质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区钦州市2022-2023学年高一下学期期末教学质量监测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是（）A.四棱台 B.四棱柱 C.四棱锥 D.五棱锥〖答案〗C〖解析〗对于A，四棱台是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意；对于B，四棱柱是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意；对于C，四棱锥有一个底面，四个侧面有5个面，不满足题意；对于D，五棱锥有一个底面，五个侧面有6个面，满足题意.故选：C.2.若是第二象限角，则是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角〖答案〗B〖解析〗由与的终边关于轴对称，可知若是第二象限角，则是第三象限角，所以是第二象限角．故选：B.3.已知四边形是平行四边形，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由，得，但由，得，不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.已知为平面外一点，则下列判断错误的是（）A.过点只能作一个平面与平行 B.过点可以作无数条直线与平行C.过点只能作一个平面与垂直 D.过点只能作一条直线与垂直〖答案〗C〖解析〗过平面外一点只能作一个平面与平行，故A正确；平面外一点可以作无数条直线与平行，故B正确；平面外一点只能作一条直线与垂直，故D正确；平面外一点可以作无数个平面与垂直，故C错误.故选：C.6.（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，即，所以.故选：A.7.已知一个底面半径为2，高为的圆锥，被一个过该圆锥高的中点且平行于该圆锥底面的平面所截，则截得的圆台的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意可得圆台的下底面半径为2，上底面半径为1，高为，故该圆台的体积.故选：A.8.武当山，位于湖北省西北部十堰市境内，其自然风光，以雄为主，兼有险、奇、幽、秀等多重特色.主峰天柱峰犹如金铸玉瑑的宝柱雄峙苍穹，屹立于群峰之巅.环绕其周围的群山，从四面八方向主峰倾斜，形成独特的“七十二峰朝大顶，二十四涧水长流”的天然奇观，被誉为“自古无双胜境，天下第一仙山”.如图，若点为主峰天柱峰的最高点，为观测点，且在同一水平面上的投影分别为，，，由点测得点的仰角为，米，由点测得点的仰角为且，则两点到水平面的高度差约为（）（参考数据：）A.684米 B.732米 C.746米 D.750米〖答案〗C〖解析〗如图，过作交于，过作交于，如图所示，因为，所以，又，则，，则，又，所以，由正弦定理，得，，即，又，所以，所以，则两点到平面的高度差为米.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.为奇函数C.的单调递减区间为，D.最小值为〖答案〗AD〖解析〗对于A，的最小正周期，A正确；对于B，，所以为偶函数，B错误；对于C，令，解得，所以的单调递减区间为，C错误；对于D，当，即时，的最小值为，D正确.故选：AD.10.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗因为角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，所以，所以，由，可知，所以角为第二象限的角，所以，所以，所以A错误，B正确；所以，，所以CD正确.故选：BCD.11.已知的内角的对边分别为，已知，锐角C满足，则（）A.的面积为 B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗在中，因为，且，由三角形的面积公式，可得，所以A错误；由为锐角，且，可得，所以B正确；由余弦定理得，可得，所以C正确；由余弦定理得，所以D不正确.故选：BC.12.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则（）A.该圆锥的底面半径为2B.该圆锥的高为C.该圆锥的表面积为D.能制作的零件体积的最大值为〖答案〗BCD〖解析〗由题意得该圆锥的母线长为4，设圆锥的底面半径为，高为，由，得，A错误；则，B正确；所以该圆锥的表面积为，C正确；如图，圆锥内切球的半径等于(轴截面)内切圆的半径，设的内切圆为圆，其半径为，由，得，得，故能制作的零件体积的最大值为，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则_______.〖答案〗〖解析〗由题可知，则.故〖答案〗为：.14.已知为边长为1等边三角形，，则_______.〖答案〗〖解析〗因为，为边长为1的等边三角形，所以.故〖答案〗为：.15.在中，角、、所对的边分别为、、，且，则_______.若，，则_______.〖答案〗〖解析〗设的外接圆半径为，则，由二倍角的余弦公式可得，由余弦定理可得，故.故〖答案〗为：.16.在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点A固定在地面上，使得AD，AB，AA1三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过BB1的中点，若AB=1，则该水平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为___.〖答案〗〖解析〗在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD，AB，AA1与平面A1BD所成的角是相等的，所以水平面平行于平面A1BD，又水平面恰好经过BB1的中点，则水平面截正方体所得的截面是过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题、共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，，且与的夹角为.（1）求的值；（2）求在方向上的投影向量的模.解：（1）由题可知，，由数量积公式可知，即，解得.（2）由（1）可得，所以在方向上的投影向量的模为.18.已知.（1）求的值；（2）若，求.解：（1）.（2）因为，所以，又，则，所以，所以.19.如图，在三棱锥中，已知，，且，、分别为、的中点.（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.解：（1）证明：因为、分别为、的中点，则，因为平面，平面，因此，平面.（2）因为，则异面直线与所成角为或其补角，因为，，则为等边三角形，且，因为为的中点，则，且，易知是边长为的等边三角形，因为为的中点，则，且，因为，、分别为、的中点，则，取线段的中点，连接，因为，，则，所以，，因此，异面直线与所成角的余弦值为.20.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的〖解析〗式；（2）将的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域.解：（1）由图象可知，函数的最小正周期为，则，所以，，因为，可得，因为，则，所以，，解得，因此，.（2）将的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则，当时，，则，所以，，因此，在上值域为.21.在中，角所对的边分别为，__________．在①；②这两个条件中任选一个，补充在上面横线上，并加以解答．（1）求角；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．解：（1）若选择条件①；由正弦定理，得，即，因为，所以，所以，则．若选择条件②；因为，由正弦定理可得，即，所以，因为，所以，所以，又因为，所以．（2）由余弦定理，可得，则，所以，则，由正弦定理，得，因为，所以，所以，即取值范围为．22.如图，在长方体中，点在平面的射影为．（1）证明：为的垂心．（2）若，且点在平面的射影为点，求三棱锥的体积．解：（1）因为平面，平面，所以，又点在平面的射影为，即平面，又平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证，所以为的垂心.（2）因为，所以，记的中点为，则也是的中点，，由（1）知，由（1）知，又在正方形中，，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面，因为平面平面，过作交于，则平面，则平面，因为平面，所以与重合，在四边形中，，因为点在平面的射影为，点在平面的射影为，所以，易知相似，所以，得，同理得，则，易知平面，所以.广西壮族自治区钦州市2022-2023学年高一下学期期末教学质量监测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是（）A.四棱台 B.四棱柱 C.四棱锥 D.五棱锥〖答案〗C〖解析〗对于A，四棱台是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意；对于B，四棱柱是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意；对于C，四棱锥有一个底面，四个侧面有5个面，不满足题意；对于D，五棱锥有一个底面，五个侧面有6个面，满足题意.故选：C.2.若是第二象限角，则是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角〖答案〗B〖解析〗由与的终边关于轴对称，可知若是第二象限角，则是第三象限角，所以是第二象限角．故选：B.3.已知四边形是平行四边形，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由，得，但由，得，不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.已知为平面外一点，则下列判断错误的是（）A.过点只能作一个平面与平行 B.过点可以作无数条直线与平行C.过点只能作一个平面与垂直 D.过点只能作一条直线与垂直〖答案〗C〖解析〗过平面外一点只能作一个平面与平行，故A正确；平面外一点可以作无数条直线与平行，故B正确；平面外一点只能作一条直线与垂直，故D正确；平面外一点可以作无数个平面与垂直，故C错误.故选：C.6.（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，即，所以.故选：A.7.已知一个底面半径为2，高为的圆锥，被一个过该圆锥高的中点且平行于该圆锥底面的平面所截，则截得的圆台的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意可得圆台的下底面半径为2，上底面半径为1，高为，故该圆台的体积.故选：A.8.武当山，位于湖北省西北部十堰市境内，其自然风光，以雄为主，兼有险、奇、幽、秀等多重特色.主峰天柱峰犹如金铸玉瑑的宝柱雄峙苍穹，屹立于群峰之巅.环绕其周围的群山，从四面八方向主峰倾斜，形成独特的“七十二峰朝大顶，二十四涧水长流”的天然奇观，被誉为“自古无双胜境，天下第一仙山”.如图，若点为主峰天柱峰的最高点，为观测点，且在同一水平面上的投影分别为，，，由点测得点的仰角为，米，由点测得点的仰角为且，则两点到水平面的高度差约为（）（参考数据：）A.684米 B.732米 C.746米 D.750米〖答案〗C〖解析〗如图，过作交于，过作交于，如图所示，因为，所以，又，则，，则，又，所以，由正弦定理，得，，即，又，所以，所以，则两点到平面的高度差为米.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.为奇函数C.的单调递减区间为，D.最小值为〖答案〗AD〖解析〗对于A，的最小正周期，A正确；对于B，，所以为偶函数，B错误；对于C，令，解得，所以的单调递减区间为，C错误；对于D，当，即时，的最小值为，D正确.故选：AD.10.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗因为角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，所以，所以，由，可知，所以角为第二象限的角，所以，所以，所以A错误，B正确；所以，，所以CD正确.故选：BCD.11.已知的内角的对边分别为，已知，锐角C满足，则（）A.的面积为 B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗在中，因为，且，由三角形的面积公式，可得，所以A错误；由为锐角，且，可得，所以B正确；由余弦定理得，可得，所以C正确；由余弦定理得，所以D不正确.故选：BC.12.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则（）A.该圆锥的底面半径为2B.该圆锥的高为C.该圆锥的表面积为D.能制作的零件体积的最大值为〖答案〗BCD〖解析〗由题意得该圆锥的母线长为4，设圆锥的底面半径为，高为，由，得，A错误；则，B正确；所以该圆锥的表面积为，C正确；如图，圆锥内切球的半径等于(轴截面)内切圆的半径，设的内切圆为圆，其半径为，由，得，得，故能制作的零件体积的最大值为，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则_______.〖答案〗〖解析〗由题可知，则.故〖答案〗为：.14.已知为边长为1等边三角形，，则_______.〖答案〗〖解析〗因为，为边长为1的等边三角形，所以.故〖答案〗为：.15.在中，角、、所对的边分别为、、，且，则_______.若，，则_______.〖答案〗〖解析〗设的外接圆半径为，则，由二倍角的余弦公式可得，由余弦定理可得，故.故〖答案〗为：.16.在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点A固定在地面上，使得AD，AB，AA1三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过BB1的中点，若AB=1，则该水平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为___.〖答案〗〖解析〗在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD，AB，AA1与平面A1BD所成的角是相等的，所以水平面平行于平面A1BD，又水平面恰好经过BB1的中点，则水平面截正方体所得的截面是过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题、共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，，且与的夹角为.（1）求的值；（2）求在方向上的投影向量的模.解：（1）由题可知，，由数量积公式可知，即，解得.（2）由（1）可得，所以在方向上的投影向量的模为.18.已知.（1）求的值；（2）若，求.解：（1）.（2）因为，所以，又，则，所以，所以.19.如图，在三棱锥中，已知，，且，、分别为、的中点.（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.解：（1）证明：因为、分别为、的中点，则，因为平面，平面，因此，平面.（2）因为，则异面直线与所成角为或其补角，因为，，则为等边三角形，且，因为为的中点，则，且，易知是边长为的等边三角形，因为为的中点，则，且，因为，、分别为、的中点，则，取线段的中点，连接，因为，，则，所以，