8.6.3平面与平面垂直课件高一下学期数学人教A版

第八章立体几何初步8.6.3平面与平面垂直人教A版

数学

必修第二册课程标准1.了解二面角及其平面角的概念.2.掌握两个平面互相垂直的定义和画法.3.理解并掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理,能证明性质定理,并能解决有关面面垂直的问题.基础落实·必备知识全过关知识点1

二面角及平面与平面垂直的定义1.二面角概念平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为

.从一条直线出发的两个

所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的

,这两个半平面叫做二面角的

图示

半平面半平面棱面记法棱为AB,面分别为α,β的二面角记作二面角α-AB-β.有时为了方便,也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-AB-Q.如果棱记作l,那么这个二面角记作二面角α-l-β或二面角P-l-Q2.二面角的平面角

概念

由等角定理知,O点位置变化,所求二面角的平面角仍相等在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于

l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角

图示

棱符号OA⊂α,OB⊂β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角范围0°≤∠AOB≤180°规定二面角的大小可以用它的

来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是

的二面角叫做直二面角

3.平面与平面垂直的定义一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作α⊥β.平面角直角过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直.(

)(2)对于确定的二面角,平面角的大小与顶点在棱上的位置有关.(

)(3)二面角的平面角的取值范围是[0,π].(

)(4)平面α和β分别过两条互相垂直的直线,则α⊥β.(

)(5)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.(

)√×√×√2.如何画两个相互垂直的平面?提示

两个互相垂直的平面通常画成如图中的两种样子,此时,把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.3.[苏教版教材例题]如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中:

(1)求二面角D'-AB-D的大小;(2)求二面角A'-AB-D的大小.解

(1)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,AB⊥平面AA'D'D,所以AB⊥AD',AB⊥AD.因此,∠D'AD为二面角D'-AB-D的平面角.在Rt△D'AD中,∠D'AD=45°,所以二面角D'-AB-D的大小为45°.(2)同理,∠A'AD为二面角A'-AB-D的平面角.因为∠A'AD=90°,所以二面角A'-AB-D的大小为90°.知识点2

平面与平面垂直的判定定理

文字语言如果一个平面过另一个平面的

,那么这两个平面垂直

图形语言

符号语言

,l⊥α⇒α⊥β

作用判断两个平面

垂线

l⊂β垂直

名师点睛1.判定定理可简述为“线面垂直,则面面垂直”.因此要证明平面与平面垂直,可转化为寻找平面的垂线,即证线面垂直.2.两个平面互相垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据,而且是找出与一个平面垂直的另一个平面的依据.3.此定理有一个推论:a∥α,a⊥β⇒α⊥β.在做选择、填空题时可直接应用.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b,则α⊥β.(

)(2)平面α内的直线a垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.(

)(3)平面α内的直线a垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β.(

)××√2.在如图所示的长方体中,AA'与平面ABCD有什么位置关系?AA'在长方体的哪几个面内?这几个面与底面ABCD有什么位置关系?提示

AA'与平面ABCD垂直;AA'在平面AA'B'B内,也在平面AA'D'D内,这两个平面都与底面垂直.3.在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,如图,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有

对.

3解析

平面PAB⊥平面PAC,平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.知识点3

平面与平面垂直的性质定理

文字语言两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直符号语言图形语言

作用证明直线与平面

垂直

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)已知两个平面垂直,则一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.(

)(2)已知两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.(

)(3)已知两个平面垂直,则过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.(

)(4)垂直于同一平面的两平面平行.(

)×√××2.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,在平面AB1上任取一点M,作ME⊥AB于E,则(

)

A.ME⊥平面AC

B.ME⊂平面ACC.ME∥平面AC

D.以上都有可能A解析

由于ME⊂平面AB1,平面AB1∩平面AC=AB,且平面AB1⊥平面AC,ME⊥AB,则ME⊥平面AC.重难探究·能力素养全提升探究点一求二面角的平面角的大小【例1】

如图,已知四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD.(1)二面角B-PA-D平面角的大小为

;

(2)二面角B-PA-C平面角的大小为

.

90°45°解析

(1)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA.∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.又由题意∠BAD=90°,∴二面角B-PA-D的平面角的大小为90°.(2)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA.∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.又四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=45°.即二面角B-PA-C的平面角的大小为45°.变式探究在题设条件不变的情况下,若PA=AD,求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小.解

∵CD∥平面PAB,过P作CD的平行线l,如图,∴l为平面PAB和平面PCD的交线.由PA⊥CD,CD⊥AD,PA∩AD=A,PA,PD⊂平面PAD,知CD⊥平面PAD,∴CD⊥PD.又CD∥l,∴l⊥PD.又PA⊥CD,∴PA⊥l.∴∠DPA为平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角,为45°.规律方法

1.求二面角的平面角的大小的步骤如下:2.作二面角的平面角的常用方法:(1)定义法.在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(2)垂面法.过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(3)垂线法.过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.探究点二证明两个平面垂直【例2】

如图,在三棱锥A-BCD中,点E,F分别为AC,AD的中点,AD⊥CD,BA=BD.求证:平面EFB⊥平面ABD.证明

在△ACD中,因为E,F分别是AC,AD的中点,所以EF∥CD,在△ACD中,因为AD⊥CD,EF∥CD,所以EF⊥AD,因为在△ABD中,BA=BD,F为AD的中点,所以BF⊥AD,因为EF⊂平面EFB,BF⊂平面EFB,且EF∩BF=F,所以AD⊥平面EFB,因为AD⊂平面ABD,所以平面EFB⊥平面ABD.规律方法

证明平面与平面垂直的方法(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角,其判定的方法是:①找出两相交平面的平面角;②证明这个平面角是直角;③根据定义,这两个相交平面互相垂直.(2)利用面面垂直的判定定理:要证面面垂直,只需证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法,其基本步骤是:变式训练[北师大版教材例题]如图,在四面体A1-ABC中,A1A⊥平面ABC,AB⊥BC,且AA1=AB.(1)四面体A1-ABC中有几组互相垂直的平面?(2)求二面角A-A1B-C和A1-BC-A的大小.解

(1)由A1A⊥平面ABC,A1A⊂平面A1AB,得平面A1AB⊥平面ABC.同理可得平面A1AC⊥平面ABC.因为A1A⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以A1A⊥BC.又因为AB⊥BC,A1A⊂平面A1AB,AB⊂平面A1AB,A1A∩AB=A,所以BC⊥平面A1AB.由BC⊂平面A1BC,得平面A1BC⊥平面A1AB,于是四面体A1-ABC中互相垂直的平面为:平面A1AB⊥平面ABC,平面A1AC⊥平面ABC,平面A1BC⊥平面A1AB.(2)由(1)知,平面A1BC⊥平面A1AB,所以二面角A-A1B-C为90°.由BC⊥平面A1AB,得A1B⊥BC.又AB⊥BC,所以∠A1BA是二面角A1-BC-A的平面角.在Rt△A1AB中,A1A=AB,则∠A1BA=45°,即二面角A1-BC-A为45°.探究点三平面与平面垂直的性质的应用【例3】

如图,已知V是△ABC外一点,VA⊥平面ABC,平面VAB⊥平面VBC.求证:AB⊥BC.证明

在平面VAB内,过点A作AD⊥VB于点D.∵平面VAB⊥平面VBC,且交线为VB,∴AD⊥平面VBC.∴AD⊥BC.∵VA⊥平面ABC,∴VA⊥BC.∵AD∩VA=A,且VA⊂平面VAB,AD⊂平面VAB,∴BC⊥平面VAB.∵AB⊂平面VAB,∴AB⊥BC.变式探究本例中的已知换为“平面VAB⊥平面ABC,平面VAC⊥平面ABC,CA⊥AB”.试证:VA⊥BC.证明

∵平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,AC⊂平面ABC,CA⊥AB,∴CA⊥平面VAB,∴CA⊥VA.同理,BA⊥VA.又AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,∴VA⊥平面ABC,∵BC⊂平面ABC,∴VA⊥BC.规律方法

1.在运用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题.2.平面与平面垂直的其他性质:(1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.(2)如果两个平面垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.(3)如果两个平面垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.本节要点归纳1.知识清单:(1)二面角以及二面角的平面角.(2)平面与平面垂直的定义.(3)平面与平面垂直的判定定理和性质定理.2.方法归纳:转化化归.3.常见误区:面面垂直的性质定理中对判断一个平面的垂线需要的条件记不清.成果验收·课堂达标检测123451.(多选题)已知直线l,m,平面α,β,l⊂α,m⊂β,则下列说法中正确的是(

)A.若l∥m,则必有α∥βB.若l⊥m,则必有α⊥βC.若l⊥β,则必有α⊥βD.若α∥β,则必有l∥βCD解析

对于A,平面α,β可能相交,所以A错误;对于B,平面α,β可能平行或斜交,所以B错误;对于C,因为l⊂α且l⊥β,则必有α⊥β,所以C正确;对于D,因为α∥β,则必有l∥β,所以D正确.故选CD.123452.(多选题)在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中正确的是(

)A.平面PAB⊥平面PADB.平面PAB⊥平面PBCC.平面PBC⊥平面PCDD.平面PCD⊥平面PADABD12345解析

已知PA⊥底面ABCD,可得PA⊥AD,PA⊥CD,又底面ABCD为矩形,∴AD⊥AB,CD⊥AD,而AB∩PA=A,AD∩PA=A,∴AD⊥平面PAB,CD⊥平面PAD.∴平面PAD⊥平面PAB,平面PCD⊥平面PAD.又BC∥AD,∴BC⊥平面PAB,∴平面PBC⊥平面PAB.选项A,B,D可证明正确.选项C错误,故选ABD.123453.如图,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有

对.

3解析

∵AB⊥平面BCD,∴平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.∵BC⊥CD,∴DC⊥平面ABC.∴