高中数学 2-3 1.1基本计数原理同步测试 新人教B版选修2-3

【成才之路】-学年高中数学2-31.1基本计数原理同步测试新人教B版选修2-3一、选择题1．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是()A．56B．65C.eq\f(5×6×5×4×3×2,2)D．6×5×4×3×2[答案]A[解析]本题主要考排列组合知识．1名同学有5种选择，则6名同学共有56种选择．2．有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或者不亮灯，则共可以发出的不同信号有()种A．25 B．52C．35 D．53[答案]C3．将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方案有()A．8 B．15C．125 D．243[答案]D4．(·长安一中质检、北京西城模拟)用0、1、…、9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252C．261 D．279[答案]B[解析]用0,1，…，9十个数字，可以组成的三位数的个数为9×10×10＝900，其中三位数字全不相同的为9×9×8＝648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.5．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作点的坐标，则在直角坐标系中，第一、第二象限不同点的个数为()A．18 B．16C．14 D．10[答案]C[解析]可分为两类．以集合M中的元素做横坐标，N中的元素做纵坐标，集合M中取一个元素的方法有3处，要使点在第一、第二象限内，则集合N中只能取5、6两个元素中的一个有2种．根据分步计数原理有3×2＝6(个)．以集合N的元素做横坐标，M的元素做纵坐标，集合N中任取一元素的方法有4种，要使点在第一、第二象限内，则集合M中只能取1、3两个元素中的一个有2种，根据分步计数原理，有4×2＝8(个)．综合上面两类，利用分类计数原理，共有6＋8＝14(个)．故选C.6．某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有()A．510种 B．105种C．50种 D．以上都不对[答案]A[解析]任何一个乘客可以在任一车站下车，且相互独立，所以每一个乘客下车的方法都有5种，由分步计数原理知N＝510.故选A.7．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则x·y可表示不同的值的个数是()A．1＋1＝2 B．1＋1＋1＝3C．2×3＝6 D．3×3＝9[答案]D[解析]由分步计数原理N＝3×3＝9(种)．故选D.二、填空题8．已知a∈{3,4,5}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同圆的个数为____________个．[答案]24[解析]确定圆的方程可分三步：确定a有3种方法，确定b有4种方法，确定r有2种方法，由分步计数原理知N＝3×4×2＝24(个)．9．用数字1,2,3组成三位数．(1)假如数字可以重复，共可组成____________个三位数；(2)其中数字不重复的三位数共有____________个；(3)其中必须有重复数字的有____________个．[答案](1)27(2)6(3)21[解析](1)排成数字允许重复的三位数，个位、十位、百位都有3种排法，∴N＝33＝27(个)．(2)当数字不重复时，百位排法有3种，十位排法有两种，个位只有一种排法，∴N＝3×2×1＝6(个)(也可先排个位或十位)．(3)当三数必须有重复数字时分成两类：三个数字相同，有3种，只有两个数字相同，有3×3×2＝18(个)，∴N＝3＋18＝21(个)．三、解答题10．某文艺小组有20人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中14人会唱歌，10人会跳舞．从中选出会唱歌与会跳舞的各1人，有多少种不同选法？[解析]只会唱歌的有10人，只会跳舞的有6人，既会唱歌又会跳舞的有4人．这样就可以分成四类完成：第一类：从只会唱歌和只会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得10×6＝60(种)；第二类：从只会唱歌和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得10×4＝40(种)；第三类：从只会跳舞和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得6×4＝24(种)；第四类：从既会唱歌又会跳舞的人中选2人，有6种方法．根据分类加法计数原理，得出会唱歌与会跳舞的各选1人的选法共有60＋40＋24＋6＝130(种).一、选择题1．已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a、b、c∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有()A．125 B．15C．100 D．10[答案]C[解析]由二次函数的定义知a≠0.∴选a的方法有4种．选b与c的方法都有5种．只有a、b、c都确定后，二次函数才确定．故由乘法原理知共有二次函数4×5×5＝100个．故选C.2．(·福建理，5)满足a、b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13C．12 D．10[答案]B[解析]①当a＝0时，2x＋b＝0总有实数根，∴(a，b)的取值有4个．②当a≠0时，需Δ＝4－4ab≥0，∴ab≤1.a＝－1时，b的取值有4个，a＝1时，b的取值有3个，a＝2时，b的取值有2个．∴(a，b)的取法有9个．综合①②知，(a，b)的取法有4＋9＝13个．3．某电话局的电话号码为168×××××，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有()A．20个 B．25个C．32个 D．60个[答案]C[解析]五位数字是由6或8组成的，可分五步完成，每一步都有两种方法，根据分步乘法计数原理，共有25＝32个．二、填空题4．大小不等的两个正方体玩具，分别在各面上标有数字1,2,3,4,5,6，则向上的面标着的两个数字之积不小于20的积的结果有____________种．[答案]5[解析]第1个正方体向上的面标有的数字必大于等于4.如果是3，则3与第二个正方体面上标有数字最大者6的积3×6＝18＜20，4×5＝5×4＝20,4×6＝6×4＝24,5×5＝25，5×6＝6×5＝30,6×6＝36，以上积的结果为20,24,25,30,36共五种．5．(·北京理，13)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．[答案]36[解析]本题考查了计数原理与排列组合知识．先只考虑A与产品B相邻，此时用捆绑法，将A和B作为一个元素考虑，共有Aeq\o\al(4,4)＝24种方法，而A和B有2种摆放顺序，故总计24×2＝48种方法，再排除既满足A和B相邻，又满足A与C相邻的情况，此时用捆绑法，将A，B，C作为一个元素考虑，共有Aeq\o\al(3,3)＝6种方法，而A，B，C有2种可能的摆放顺序，故总计6×2＝12种方法．综上，符合题意的摆放共有48－12＝36种．三、解答题6．若x，y∈N＋，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．[解析]按x的取值进行分类，x＝1时，y＝1,2，…，5，共构成5个有序自然数对．x＝2时，y＝1,2，…，4，共构成4个有序自然数对．……x＝5时，y＝1共构成1个有序自然数对，根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对．7．设椭圆eq\f(x2,a)＋eq\f(y2,b)＝1的焦点在y轴上，其中a∈{1,2,3,4,5}，b∈{1,2,3,4,5,6,7}，求满足上述条件的椭圆的个数．[解析]因为椭圆的焦点在y轴上，所以b＞a.则当a＝1时，b可取2,3,4,5,6,7，有6种取法；当a＝2时，b可取3,4,5,6,7，有5种取法；当a＝3时，b可取4,5,6,7，有4种取法；当a＝4时，b可取5,6,7，有3种取法；当a＝5时，b可取6,7，有2种取法．故共有6＋5＋4＋3＋2＝20个满足条件的椭圆．8．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，集合B＝{b1，b2}，其中ai，bj(i＝1,2,3,4；j＝1,2)均为实数．(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？(2)能构成多少个以集合A为定义域，以集合B为值域的不同函数？[解析]