高中数学 2.3 第1课时 空间向量的标准正交分解与坐标 表示及空间向量基本定理基础达标 北师大版选修2-1

【成才之路】-学年高中数学2.3第1课时空间向量的标准正交分解与坐标表示及空间向量基本定理基础达标北师大版选修2-1一、选择题1．长方体ABCD—A1B1C1D1中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝3i，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2j，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝5k，则eq\o(AC1,\s\up6(→))等于()A．i＋j＋k B．eq\f(1,3)i＋eq\f(1,2)j＋eq\f(1,5)kC．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k[答案]C[解析]令A点为坐标原点，建立如图的空间坐标系．由于eq\o(AB,\s\up6(→))＝3i，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2j，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝5k，则C1点的坐标为(3,2,5)，即eq\o(AC1,\s\up6(→))＝3i＋2j＋5k，故选C.2．已知线段AB的长度为6eq\r(2)，eq\o(AB,\s\up6(→))与直线l的夹角为120°，则eq\o(AB,\s\up6(→))在l上的投影为()A．3eq\r(2) B．－3eq\r(2)C．3eq\r(6) D．－3eq\r(6)[答案]B[解析]AB在l上的投影为：|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos120°＝－3eq\r(2).3．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底．显然②正确，③中由eq\o(BA,\s\up6(→))、eq\o(BM,\s\up6(→))、eq\o(BN,\s\up6(→))共面且过相同点B，故A、B、M、N共面．下面证明①④正确．①假设d与a、b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝eq\f(λ,k)a＋eq\f(μ,k)b，∴c与a、b共面与条件矛盾．∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．二、填空题4.三棱锥P－ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC中点，以{eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))}为基底，则eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标为________．[答案](eq\f(1,2)，0，－eq\f(1,2))[解析]eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))，即eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－\f(1,2))).5．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PMMC＝21，N为PD中点，则满足eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))的实数x＝________，y＝________，z＝________.[答案]－eq\f(2,3)－eq\f(1,6)eq\f(1,6)[解析]在PD上取一点F，使PFFD＝21，连结MF，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))，∵eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\o(DN,\s\up6(→))－eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DP,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，eq\o(MF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))，∴x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6).三、解答题6.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，连接A1B、B1(1)求：eq\o(A1B,\s\up6(→))与eq\o(B1C,\s\up6(→))的坐标；(2)连接A1C，求eq\o(A1C,\s\up6(→))在平面ABCD上的投影的长．[解析](1)如图，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A1(4,0,3)、B(4,4,0)、B1(4,4,3)、C(0,4,0)．∴eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(0,4，－3)，eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(－4,0，－3)．(2)连结AC，eq\o(A1C,\s\up6(→))在平面ABCD上的投影长为|eq\o(A1C,\s\up6(→))|·cos∠A1CA＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4eq\r(2).一、选择题1．若O，A，B，C为空间四点，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不能构成空间的一个基底，则()A．eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共线 B．eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))共线C．eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共线 D．O，A，B，C四点共面[答案]D[解析]∵eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不能构成空间的一个基底，∴eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))三个向量共面，∴O，A，B，C四点共面．故选D.2．三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别BB1，AC的中点，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则eq\o(NM,\s\up6(→))等于()A．eq\f(1,2)(a＋b＋c) B．eq\f(1,2)(a＋b－c)C．eq\f(1,2)(a＋c) D．a＋eq\f(1,2)(c－b)[答案]D[解析]因为eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)b＋a＋eq\f(1,2)c，所以选D.3．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是()A．a B．bC．c D．无法确定[答案]C[解析]∵a＝eq\f(1,2)p＋eq\f(1,2)q，∴a与p、q共面，∵b＝eq\f(1,2)p－eq\f(1,2)q，∴b与p、q共面，∵不存在λ、μ，使c＝λp＋μq，∴c与p、q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，故选C.4．已知i，j，k为标准正交基，a＝i＋2j＋3k，则a在i方向的投影为()A．1 B．－1C．eq\r(14) D．－eq\r(14)[答案]A[解析]a·i＝|a|·|i|·cos〈a，i〉，则|a|·cos〈a，i〉＝eq\f(a·i,|i|)＝(i＋2j＋3k)·i＝i2＝1，故选A.5．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，又d＝αa＋βb＋γc，则α、β、γ分别为()A．eq\f(5,2)，－1，－eq\f(1,2) B．eq\f(5,2)，1，eq\f(1,2)C．－eq\f(5,2)，1，－eq\f(1,2) D．eq\f(5,2)，1，－eq\f(1,2)[答案]A[解析]d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.又因为d＝e1＋2e2＋3e3，所以有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＋β＋γ＝1，,α＋β－γ＝2，,α－β＋γ＝3.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(5,2)，,β＝－1，,γ＝－\f(1,2).))二、填空题6．在直三棱柱ABO—A1B1O1中，∠AOB＝eq\f(π,2)，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，eq\o(DO,\s\up6(→))的坐标是________，eq\o(A1B,\s\up6(→))的坐标是________．[答案](－2，－1，－4)(－4,2，－4)[解析]eq\o(DO,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OO1,\s\up6(→))＝－2i－j－4k；eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝－4k－4i＋2j.∴eq\o(DO,\s\up6(→))＝(－2，－1，－4)，eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(－4,2，－4)．7．三棱锥P－ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC中点，以{eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))}为基底，则eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标为________．[答案](eq\f(1,2)，0，－eq\f(1,2))[解析]eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))，即eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－\f(1,2))).三、解答题8．如图，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，点E在AC′上，且AEEC′＝12，点F，G分别是B′D′和BD′的中点，求下列各式中的x，y，z的值．(1)eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA′,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AD,\s\up6(→))；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))＝xeq\o(BB′,\s\up6(→))＋yeq\o(BA,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(GF,\s\up6(→))＝xeq\o(BB′,\s\up6(→))＋yeq\o(BA,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→)).[解析](1)∵AEEC′＝12，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3).(2)∵F为B′D′的中点，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BD′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(2eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴x＝1，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2).(3)∵G、F分别为BD′、B′D′的中点，∴eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BB′,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝0，z＝0.9.已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别在AB，PC上且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，如图建立空间直角坐标系，求eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标．[解析]设eq\o(DA,\s\up6(→))＝i，eq\o(AB,\s\up6(→))＝j，eq\o(AP,\s\up6(→))＝k.∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(－eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(－eq\o(DA,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)i＋eq\f(1,3)k，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－eq\f(2,3)，0，eq\f(1,3))．10．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.(1)证明：A、E、C1、F四点共面；(2)若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，求x＋y＋z的值．[解析](1)证明：因为eq\o(AC1,\s\up6(→