高中数学 2.1.4 第2课时 函数的奇偶性的应用课后强化作业 新人教B版必修1

【成才之路】-学年高中数学2.1.4第2课时函数的奇偶性的应用课后强化作业新人教B版必修1一、选择题1．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定过点()A．(a,f(－a)) B．(－a,f(a))C．(－a,－f(a)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，f\f(1,a)))[答案]C[解析]∵点(a，f(a))在函数y＝f(x)的图象上，又∵函数y＝f(x)是奇函数，∴其图象关于原点对称，故点(－a，－f(a))也在函数y＝f(x)的图象上．2．定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则()A．f(3)>f(－4)<f(－π)B．f(－π)<f(－4)<f(3)C．f(3)<f(－π)<f(－4)D．f(4)<f(－π)<f(3)[答案]C[解析]∵f(x)在R上是偶函数，∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)．而3<π<4，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(3)<f(π)<f(4)，即f(3)<f(－π)<f(－4)．3．(～学年度湖南师大附中高一月考)已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，则f(3)＝()A．－15 B．15C．10 D．－10[答案]A[解析]本题主要考查利用函数的奇偶性求函数值．设g(x)＝x7＋ax5＋bx，则g(x)为奇函数，∵f(－3)＝g(－3)－5＝－g(3)－5＝5，∴g(3)＝－10，∴f(3)＝g(3)－5＝－15，故选A.4．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,2)[答案]D[解析]f(x)的对称轴是y轴，f(x)是(－∞，0]上的减函数，则f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(－2)＝f(2)＝0.如图所示，使得f(x)<0的x的取值范围是(－2,2)，D选项是正确的．5．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是()A．y＝f(|x|) B．y＝f(x2)C．y＝x·f(x) D．y＝f(x)＋x[答案]D[解析]∵f(x)的定义域为R，又∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴A是偶函数；令F(x)＝f(x2)，则F(－x)＝f(x2)＝F(x)，∴F(x)是偶函数，即B是偶函数；令M(x)＝x·f(x)，则M(－x)＝－x·f(－x)＝x·f(x)＝M(x)，∴M(x)是偶函数，即C是偶函数；令N(x)＝f(x)＋x，则N(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－[f(x)＋x]＝－N(x)，∴N(x)是奇函数，即D是奇函数，故选D.6．函数f(x)＝eq\f(1,x)－x的图象关于()A．y轴对称 B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称[答案]C[解析]∵f(x)＝eq\f(1,x)－x，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f(－x)＝－eq\f(1,x)＋x＝－(eq\f(1,x)－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称，故选C.二、填空题7．函数f(x)＝x(ax＋1)在R上是奇函数，则a＝________.[答案]0[解析]由奇函数定义知f(－x)＝－f(x)，∴－x(－ax＋1)＝－x(ax＋1)，∴2ax2＝0，x∈R恒成立，∴a＝0.8．(～学年度宝鸡中学高一上学期期中测试)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(2)＝10，则f(2)＝________.[答案]－26[解析]∵f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，∴f(－2)＝(－2)5＋a(－2)3－2b－8＝－25－8a－2b－8＝－(25＋8a＋2∴25＋8a＋2b∴f(2)＝25＋23a＋2b－8＝25＋8a三、解答题9．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，求函数f(x)、g(x)的解析式．[解析]∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，∵f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)①，用－x代换x得f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x－1)，即f(x)－g(x)＝eq\f(1,－x－1)②.由(①＋②)÷2，得f(x)＝eq\f(1,x2－1)；由(①－②)÷2，得g(x)＝eq\f(x,x2－1).一、选择题1．若函数f(x)＝eq\f(x,2x＋1x－a)为奇函数，则a＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4) D．1[答案]A[解析]∵f(－x)＝－f(x)，∴eq\f(－x,－2x＋1－x－a)＝－eq\f(x,2x＋1x－a)，∴(2a－1)x＝0，∴a＝eq\f(1,2).2．(～学年度湖南长沙一中高一期中测试)若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是()A．f(－eq\f(3,2))<f(－1)<f(2)B．f(－1)<f(－eq\f(3,2))<f(2)C．f(2)<f(－1)<f(－eq\f(3,2))D．f(2)<f(－eq\f(3,2))<f(－1)[答案]D[解析]本题主要考查利用函数奇偶性和单调性比较函数值的大小．因为f(x)为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，又－2<－eq\f(3,2)<－1，且函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，所以f(－2)<f(－eq\f(3,2))<f(－1)，即f(2)<f(－eq\f(3,2))<f(－1)，故选D.3．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是()A．4 B．2C．1 D．0[答案]D[解析]∵偶函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称．因此，若一根为x1，则它关于y轴对称的根为－x1；若另一根为x2，则它关于y轴对称的根为－x2.∴f(x)＝0的四根之和为x1＋(－x1)＋x2＋(－x2)＝0.4．设f(x)是定义在R上单调递减的奇函数，若x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则()A．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0B．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0C．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0D．f(x1)＋f(x2)>f(x3)[答案]A[解析]∵f(x)是定义在R上单调递减的奇函数，又∵x1＋x2>0，∴x2＋x3>0，x3＋x1>0，∴x1>－x2，x2>－x3，x3>－x1，即f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，f(x2)<f(－x3)＝－f(x3)，f(x3)<f(－x1)＝－f(x1)，∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<－f(x2)－f(x3)－f(x1)，∴2[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)]<0，∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.二、填空题5．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解是______________．[答案](－2,0)∪(2,5][解析]由于f(x)是奇函数，∴图象关于原点成中心对称，画出f(x)在定义域范围内的图象如图所示，易得f(x)<0的解集是(－2,0)∪(2,5]．6．已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值为________．[答案]－1[解析]由题意，知af(x)＋bg(x)，在(0，＋∞)上有最大值3，由奇函数图象关于坐标原点对称，知af(x)＋bg(x)在(－∞，0)上有最小值－3，故af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－1.三、解答题7．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是单调减函数，试比较feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋2a＋\f(5,2)))的大小关系．[解析]∵a2＋2a＋eq\f(5,2)＝(a＋1)2＋eq\f(3,2)≥eq\f(3,2)，又∵函数f(x)是偶函数，∴f(－eq\f(3,2))＝f(eq\f(3,2))，又∵f(x)在[0，＋∞)上单调递减，∴f(eq\f(3,2))≥f(a2＋2a＋eq\f(5,2))．即f(－eq\f(3,2))≥f(a2＋2a＋eq\f(5,2))．8．已知函数f(x)是偶函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，求满足f(x－1)<0的x的取值范围．[解析]设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－x－1，∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即f(x)＝－x－1(x<0)，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1x≥0,－x－1x<0)).∴f(x－1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2x≥1,－xx<1)).当x≥1时，由f(x－1)＝x－2<0，得x<2，∴1≤x<2；当x<1时，由f(x－1)＝－x<0，得x>0，∴0<x<1，综上可知，满足f(x－1)<0的x的取值范围为{x|0<x<2}．9．定义在(－1,1)上的函数f(x)满足：①对于任意x，y∈(－1,1)都有f(x)＋f(y)＝f(eq\f(x＋y,1＋xy))；②f(x)在(－1,1)是单调递增函数，且f(eq\f(1,2))＝1.(1)求f(0)；(2)证明f(x)为奇函数；(3)解不等式f(2x－1)<1.[解析](1)令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.(2)令y＝