2023-2024学年江苏省镇江市高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗，故复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.2.正方体中，，分别为棱，中点，则与所成角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，连接，，，，因为，分别为棱，中点，所以，所以为与所成角，因为在正方体中，，所以为等边三角形，所以.故选：C.3.已知向量，满足：，，，则（）A. B.5 C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以.故选：B.4.如图，将一个圆柱4等份切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，则原圆柱的侧面积是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设圆柱的底面圆半径为，高为，则原圆柱的表面积为，新几何体的表面积为，故，原圆柱的侧面积为.故选：B.5.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得.故选：A.6.已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形〖答案〗D〖解析〗因为，所以是三角形的重心，又因为，所以是三角形的外心，所以三角形是等边三角形.故选：D.7.设为锐角，若，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由为锐角，得，而，因此，所以.故选：B.8.在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，在中，设，因为，则M为BC中点，两边平方得到，，即，化简，因为，则AN为角平分线，，即，条件代入化简得，，则，且，联立解得，解得(负值舍去)，所以.故选：D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，是不同平面，，，是不同直线，则“”的充分条件是（）A.， B.，，C.，， D.，，〖答案〗BC〖解析〗对于A，由，，则，可能相交，可能异面，可能平行，故A错误；对于B，由线面平行的性质定理可知，，，则，B正确；对于C，若，，，则，C正确；对于D，若，，，则，异面或者平行，D错误.故选：BC.10.已知复数（是虚数单位），是的共轭复数，下列说法中正确的是（）A.的虚部为4 B.C. D.是的一个平方根〖答案〗ABD〖解析〗A选项，的虚部为4，A正确；B选项，，B正确；C选项，，，故，C错误；D选项，，故是的一个平方根，D正确.故选：ABD.11.设，是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序数对为向量的“仿射坐标”.若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是（）A. B.若，则的“仿射坐标”为C.若，则 D.若，则〖答案〗ABD〖解析〗根据“仿射坐标”定义，，对于A，，即，因此，故A正确；对于B，，则，根据“仿射坐标”定义，的“仿射坐标”为，故B正确；对于C，若，则，化简，即，解得，故C错误；对于D，若，，则，联立得出，故D正确．故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把〖答案〗填在答题卡的横线上.12.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________.〖答案〗〖解析〗正四棱柱的高是4，体积是16，则底面边长为2，底面正方形的对角线长度为，所以正四棱柱体对角线的长度为，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为．故〖答案〗为：.13.将正方形沿对角线折叠成直二面角，则此时与平面所成角的大小是_____________.〖答案〗〖解析〗如图，取中点，连接，，则，，所以是二面角的平面角，所以，不妨设正方形的边长为2，，，故，因为，，，，平面，所以平面，所以是与平面所成的角．所以与平面所成的角是．故〖答案〗为：．14.某校高一学生对学校附近的一段近似直线型高速公路进行实地测绘（如图），结合地形，他们选择了，两地作为测量点.通过测量得知：，两地相距300米，，分别位于地正东和东偏南方向上；，和分别位于地的北偏东，和南偏东方向上.则，两地之间的距离为_________米；若一辆汽车通过高速公路段用时约50秒，则该辆汽车的车速约为_________千米/小时.（参考数据：，，，）〖答案〗100072〖解析〗在中，，，米，，由正弦定理得，即，得米；在中，米，，，，由正弦定理得，即，得米，在中，，米，米，由余弦定理得，即，所以米千米，秒小时，所以速度为千米/小时.故〖答案〗为：100072.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在正方体中.（1）求证：平面；（2）求证：.解：（1）在正方体中，又平面，平面，所以平面.（2）连接、，在正方体中为正方形，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.16.在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点.（1）若，，三点共线，求的值；（2）若向量与的夹角为，求的值；（3）若四边形为矩形，求点坐标.解：（1）向量，，，所以，，由，，三点共线知，，即，解得.（2），解得.（3）设，由，，，，若四边形为矩形，则，即，解得；由，得，解得，故.17.已知角，满足，，且，.（1）求的值；（2）求的大小.解：（1）因为，，所以，所以，；因为，所以；所以.（2）因为，，所以；因为，所以，故，所以；又因为，所以，；所以，又因为，所以.18.在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分）问题：在中，角，，的对边分别为，，，且

.（1）求角；（2）若，求面积的最大值；（3）在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围.解：（1）若选①：由正弦定理得，则，，，．若选②：，切化弦，得到，则由正弦定理得，，即，，.若选③：，则，由正弦定理得，，.（2）由余弦定理得，，则，当且仅当“”时，取“＝”号，即，，则，当且仅当“”时取得最大值．（3）由正弦定理得，则，，由于为锐角三角形，则，，.19.已知在多面体中，，，.（1）若，，，四点共面，求证：多面体为棱台；（2）在（1）的条件下，平面平面，，，，且.①求多面体的体积；②求二面角正切值.解：（1）因为，平面，平面，所以平面，同理可证：平面，又因为，平面，平面，所以平面平面，而，故共面，因为，设，而，且平面，所以平面，同理可证平面，所以面面，又因平面平面，所以，则交于同一点，又因为平面平面，所以多面体为棱台.（2）三棱台中，由(1)知侧棱交于同一个点，连结，在侧面梯形中，有，，所以梯形为直角梯形，又因为，，所以，所以，故，又因面面，面面，面，所以平面，即的长度等于点到平面的距离，在三棱台中，有，即，所以，侧面梯形中，，，，，所以侧面梯形的面积，又，解得，故，所以，因为，故，所以所求棱台的体积为②在内，过点作，记垂足为，连接，由①知平面，又平面，所以，，又因为，，所以平面，又因为平面，所以，又，所以的值等于二面角的值，在中，，，，所以，故，解得，故由即知，所以二面角的正切值为.江苏省镇江市2023-2024学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗，故复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.2.正方体中，，分别为棱，中点，则与所成角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，连接，，，，因为，分别为棱，中点，所以，所以为与所成角，因为在正方体中，，所以为等边三角形，所以.故选：C.3.已知向量，满足：，，，则（）A. B.5 C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以.故选：B.4.如图，将一个圆柱4等份切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，则原圆柱的侧面积是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设圆柱的底面圆半径为，高为，则原圆柱的表面积为，新几何体的表面积为，故，原圆柱的侧面积为.故选：B.5.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得.故选：A.6.已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形〖答案〗D〖解析〗因为，所以是三角形的重心，又因为，所以是三角形的外心，所以三角形是等边三角形.故选：D.7.设为锐角，若，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由为锐角，得，而，因此，所以.故选：B.8.在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，在中，设，因为，则M为BC中点，两边平方得到，，即，化简，因为，则AN为角平分线，，即，条件代入化简得，，则，且，联立解得，解得(负值舍去)，所以.故选：D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，是不同平面，，，是不同直线，则“”的充分条件是（）A.， B.，，C.，， D.，，〖答案〗BC〖解析〗对于A，由，，则，可能相交，可能异面，可能平行，故A错误；对于B，由线面平行的性质定理可知，，，则，B正确；对于C，若，，，则，C正确；对于D，若，，，则，异面或者平行，D错误.故选：BC.10.已知复数（是虚数单位），是的共轭复数，下列说法中正确的是（）A.的虚部为4 B.C. D.是的一个平方根〖答案〗ABD〖解析〗A选项，的虚部为4，A正确；B选项，，B正确；C选项，，，故，C错误；D选项，，故是的一个平方根，D正确.故选：ABD.11.设，是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序数对为向量的“仿射坐标”.若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是（）A. B.若，则的“仿射坐标”为C.若，则 D.若，则〖答案〗ABD〖解析〗根据“仿射坐标”定义，，对于A，，即，因此，故A正确；对于B，，则，根据“仿射坐标”定义，的“仿射坐标”为，故B正确；对于C，若，则，化简，即，解得，故C错误；对于D，若，，则，联立得出，故D正确．故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把〖答案〗填在答题卡的横线上.12.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________.〖答案〗〖解析〗正四棱柱的高是4，体积是16，则底面边长为2，底面正方形的对角线长度为，所以正四棱柱体对角线的长度为，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为．故〖答案〗为：.13.将正方形沿对角线折叠成直二面角，则此时与平面所成角的大小是_____________.〖答案〗〖解析〗如图，取中点，连接，，则，，所以是二面角的平面角，所以，不妨设正方形的边长为2，，，故，因为，，，，平面，所以平面，所以是与平面所成的角．所以与平面所成的角是．故〖答案〗为：．14.某校高一学生对学校附近的一段近似直线型高速公路进行实地测绘（如图），结合地形，他们选择了，两地作为测量点.通过测量得知：，两地相距300米，，分别位于地正东和东偏南方向上；，和分别位于地的北偏东，和南偏东方向上.则，两地之间的距离为_________米；若一辆汽车通过高速公路段用时约50秒，则该辆汽车的车速约为_________千米/小时.（参考数据：，，，）〖答案〗100072〖解析〗在中，，，米，，由正弦定理得，即，得米；在中，米，，，，由正弦定理得，即，得米，在中，，米，米，由余弦定理得，即，所以米千米，秒小时，所以速度为千米/小时.故〖答案〗为：100072.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在正方体中.（1）求证：平面；（2）求证：.解：（1）在正方体中，又平面，平面，所以平面.（2）连接、，在正方体中为正方形，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.16.在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点.（1）若，，三点共线，求的值；（2）若向量与的夹角为，求的值；（3）若四边形为矩形，求点坐标.解：（1）向量，，，所以，，由，，三点共线知，，即，解得.（2），解得.（3）设，由，，，，若四边形为矩形，则，即，解得；由，得，解得，故.17.已知角，满足，，且，.（1）求的值；（2）求的大小.解：（1）因为，，所以，所以，；因为，所以；所以.（2）因为，，所以；因为，所以，故，所以；又因为，所以，；所以，又因为，所以.18.在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.①；②；③的面积为（如多选，则