2023-2024学年江苏省盐城市五校联盟高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题注意事项：1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分.2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上.3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂〖答案〗选项.）1.求的值为（）A.9 B.18 C.24 D.30〖答案〗A〖解析〗，故选：A.2.已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点共面的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，因四点共面,由空间向量基本定理可知，需使，解得.故选：B.3.已知随机变量服从两点分布，若，则（）A.0.6 B.0.3 C.0.2 D.0.4〖答案〗D〖解析〗因为随机变量服从两点分布，则.故选：D.4.已知的展开式共有9项，则（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗C〖解析〗因的展开式有项，故，解得.故选：C.5.设为实数，若直线垂直于平面，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为直线垂直于平面α，所以直线的方向向量与平面的法向量平行，即，解得.故选：A6.从装有4个红球，2个白球的袋子中，不放回地依次抽取两个小球，在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗记事件表示“第一次取到白球”，事件表示“第二次取到白球”，则，所以在第一次抽取到白球的条件下，第二抽到白球的概率.故选：C.7.用4种不同的颜色给如图所示的4块区域上色，要求相邻2块涂不同的颜色，问有（）种不同的涂法？A.24 B.48 C.96 D.120〖答案〗B〖解析〗首先给涂色有种涂法，再涂有种涂法，第三步涂有种涂法，最后涂有种涂法，按照分步乘法计数原理可知一共有种涂法.故选：B8.如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为棱的中点，则下列判断正确的是（）A.平面，且到平面的距离为B.与平面不平行，且与平面所成角大于30°C.与平面不平行，且与平面所成角小于30°D.与平面不平行，且与平面所成角等于30°〖答案〗C〖解析〗连接交点为，以为坐标原点，方向分别轴正方向建立空间直角坐标系，由正四棱锥棱长均为，点为的中点，则,,,,,,，则，，，设是平面的一个法向量，则，取，得，设与平面所成的角为，线面角范围为大于等于下雨等于，则，则，故与平面不平行，且与平面所成的角小于．故选：C．二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂〖答案〗选项.）9.一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球、两个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个.记事件为“第次取到的球是红球（）”，事件为“两次取到的球颜色相同”，事件为“两次取到的球颜色不同”，则（）A.与不互斥 B.C. D.与相互独立〖答案〗AD〖解析〗对于A，，与不互斥，A正确；对于B，，，则，B错误；对于C，，C错误；对于D，，，与相互独立，D正确.故选：AD10.甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（）A.甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有12种排法B.5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有48种排法C.5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法D.5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法〖答案〗ACD〖解析〗选项A，按分步乘法原理计数，甲、乙、丙站前排方法数为，丁、戊站后排方法数为，所以总的方法数为，A正确；选项B，甲、乙捆绑作为一个人（内部不需要排列）与其他3人进行排列，方法数为，B错；选项C，5人全排列后，减去甲在两端的排法，方法数为，C正确；选项D，甲在右端，方法数为，甲在中间方法数为，总方法数为，D正确．故选：ACD．11.在三棱锥中，已知，，点，分别是，的中点，则（）A.B.三棱锥的外接球的表面积为C.异面直线，所成的角的余弦值是D.三棱锥的体积为〖答案〗ABC〖解析〗三棱锥中，已知，，三棱锥补形为长方体，如图所示，则有，解得，，以为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，点分别是的中点，则有，，，，，，所以，A选项正确；长方体的外接球的半径为，这个外接球也是三棱锥的外接球，其表面积为，B选项正确；，，，所以异面直线AN，CM所成的角的余弦值是，C选项正确；三棱锥，三棱锥，三棱锥，三棱锥，体积都为，三棱锥的体积等于长方体体积减去这四个三棱锥体积，为，D选项错误.故选：ABC.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分.不需要写出解答过程，请把〖答案〗写在答题纸的指定位置上.）12.设离散型随机变量满足，则______.〖答案〗〖解析〗由离散型随机变量的数学期望的性质，可知故〖答案〗为：.13.设，则______.〖答案〗15〖解析〗令,则，令,则，所以.故〖答案〗为：.14.在空间直角坐标系中，已知点，向量，平面，则点到平面的距离为______.〖答案〗〖解析〗因为，且为平面的一个法向量，则点到平面的距离为：，故〖答案〗为：.四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知向量，，.（1）当时，若向量与垂直，求实数的值；（2）若向量与向量，共面，求实数的值.解：（1）因为，所以解得，即，由，且得，解得，即的值为.（2）因为向量与向量，共面，所以设，R，因此，即解得，所以的值为.16.把称为的二项展开式所有项的二项式系数之和，其中是正整数.（1）若的所有项的二项式系数的和为64，求展开式的常数项；（2）若展开式中第2项系数为12，求的展开式中的系数.解：（1）由已知得，即，所以，令，得，所以，即展开式中的常数项为：.（2）由已知得，所以，即，所以展开式中含的项为：，即的系数为：.17.（1）已知某中学召开会议，要求数学组的6名老师中至少有1人参加会议，问共有多少种不同的安排方法？（请用数字作答）（2）已知某中学需要选派6名老师去甲、乙、丙三所学校支教，每名老师只能去一所学校.若甲校安排1名老师，乙校安排2名老师，丙校安排3名老师，问共有多少种不同的安排方法？（请用数字作答）解：（1）每人有参加或不参加会议两种状态，6人有种情形，其中都不参加会议的情形只有1种，因此所求方法数为；（2）按分步乘法原理计数，第一步选一人去甲校，第二步在剩下的5人中选2人去乙校，最后还有3人去丙校，总的方法数为．18.如图，在四棱锥中，平面平面，，且，，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.解：（1）在四棱锥中，平面平面，平面平面，又，平面，则平面，取的中点，连接，由，，得，则，而，于是，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，设平面的一个法向量为，则，令，得，显然，则，又平面，所以平面.（2）设平面的一个法向量为，而，，则，令，得，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值.（3）假设线段上存在一点满足条件，令，，则，即，由（1）知平面的一个法向量，于是，整理得：，即，而，解得，所以在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且.19.从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，.①直接写出，，的值；②求与的关系式（），并求（）.解：（1）的可能取值为2和3，则，所以随机变量的分布列为：23（2）①若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，次传球后球在甲手中的概率为，，则有，，.②记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，所以即，，所以，且.所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，所以，所以即次传球后球在甲手中的概率是.江苏省盐城市五校联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题注意事项：1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分.2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上.3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂〖答案〗选项.）1.求的值为（）A.9 B.18 C.24 D.30〖答案〗A〖解析〗，故选：A.2.已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点共面的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，因四点共面,由空间向量基本定理可知，需使，解得.故选：B.3.已知随机变量服从两点分布，若，则（）A.0.6 B.0.3 C.0.2 D.0.4〖答案〗D〖解析〗因为随机变量服从两点分布，则.故选：D.4.已知的展开式共有9项，则（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗C〖解析〗因的展开式有项，故，解得.故选：C.5.设为实数，若直线垂直于平面，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为直线垂直于平面α，所以直线的方向向量与平面的法向量平行，即，解得.故选：A6.从装有4个红球，2个白球的袋子中，不放回地依次抽取两个小球，在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗记事件表示“第一次取到白球”，事件表示“第二次取到白球”，则，所以在第一次抽取到白球的条件下，第二抽到白球的概率.故选：C.7.用4种不同的颜色给如图所示的4块区域上色，要求相邻2块涂不同的颜色，问有（）种不同的涂法？A.24 B.48 C.96 D.120〖答案〗B〖解析〗首先给涂色有种涂法，再涂有种涂法，第三步涂有种涂法，最后涂有种涂法，按照分步乘法计数原理可知一共有种涂法.故选：B8.如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为棱的中点，则下列判断正确的是（）A.平面，且到平面的距离为B.与平面不平行，且与平面所成角大于30°C.与平面不平行，且与平面所成角小于30°D.与平面不平行，且与平面所成角等于30°〖答案〗C〖解析〗连接交点为，以为坐标原点，方向分别轴正方向建立空间直角坐标系，由正四棱锥棱长均为，点为的中点，则,,,,,,，则，，，设是平面的一个法向量，则，取，得，设与平面所成的角为，线面角范围为大于等于下雨等于，则，则，故与平面不平行，且与平面所成的角小于．故选：C．二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂〖答案〗选项.）9.一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球、两个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个.记事件为“第次取到的球是红球（）”，事件为“两次取到的球颜色相同”，事件为“两次取到的球颜色不同”，则（）A.与不互斥 B.C. D.与相互独立〖答案〗AD〖解析〗对于A，，与不互斥，A正确；对于B，，，则，B错误；对于C，，C错误；对于D，，，与相互独立，D正确.故选：AD10.甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（）A.甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有12种排法B.5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有48种排法C.5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法D.5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法〖答案〗ACD〖解析〗选项A，按分步乘法原理计数，甲、乙、丙站前排方法数为，丁、戊站后排方法数为，所以总的方法数为，A正确；选项B，甲、乙捆绑作为一个人（内部不需要排列）与其他3人进行排列，方法数为，B错；选项C，5人全排列后，减去甲在两端的排法，方法数为，C正确；选项D，甲在右端，方法数为，甲在中间方法数为，总方法数为，D正确．故选：ACD．11.在三棱锥中，已知，，点，分别是，的中点，则（）A.B.三棱锥的外接球的表面积为C.异面直线，所成的角的余弦值是D.三棱锥的体积为〖答案〗ABC〖解析〗三棱锥中，已知，，三棱锥补形为长方体，如图所示，则有，解得，，以为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，点分别是的中点，则有，，，，，，所以，A选项正确；长方体的外接球的半径为，这个外接球也是三棱锥的外接球，其表面积为，B选项正确；，，，所以异面直线AN，CM所成的角的余弦值是，C选项正确；三棱锥，三棱锥，三棱锥，三棱锥，体积都为，三棱锥的体积等于长方体体积减去这四个三棱锥体积，为，D选项错误.故选：ABC.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分.不需要写出解答过程，请把〖答案〗写在答题纸的指定位置上.）12.设离散型随机变量满足，则______.〖答案〗〖解析〗由离散型随机变量的数学期望的性质，可知故〖答案〗为：.13.设，则______.〖答案〗15〖解析〗令,则，令,则，所以.故〖答案〗为：.14.在空间直角坐标系中，已知点，向量，平面，则点到平面的距离为______.〖答案〗〖解析〗因为，且为平面的一个法向量，则点到平面的距离为：，故〖答案〗为：.四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知向量，，.（1）当时，若向量与垂直，求实数的值；（2）若向量与向量，共面，求实数的值.解：（1）因为，所以解得，即，由，且得，解得，即的值为.（2）因为向量与向量，共面，所以设，R，因此，即解得，所以的值为.16.把称为的二项展开式所有项的二项式系数之和，其中是正整数.（1）若的所有项的二项式系数的和为64，求展开式的常数项；（2）若展开式中第2项系数为12，求的展开式中的系数.解：（1）由已知得，即，所以，令，得，所以，即展开式中的常数项为：.（2）由已知得，所以，即，所以展开式中含的项为：，即的系数为：.17.（1）已知某中学召开会议，要求数学组的6名老师中至少有1人参加会议，问共有多少种不同的安排方法？（请用数字作答）（2）已知某中学需要选派6名老师去甲、乙、丙三所学校支教，每名老师只能去一所学校.若甲校安排1名老师，乙校安排2名老师，丙校安排3名老师，问共有多少种不同的安排方法？（请用数字作答）解：（1）每人有参加或不参加会议两种状态，6人有种情形，其中都不参加会议的情形只有1种，因此