2023-2024学年江苏省南通市高一下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数是纯虚数，则实数a的值为（）A.0 B.1 C.-1 D.〖答案〗A〖解析〗根据题意，复数是纯虚数，所以且，解得.故选：A.2.下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差〖答案〗D〖解析〗平均数、中位数、众数是描述一组数据的集中趋势的量，方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小的量，即刻画一组数据离散程度.故选：D.3.已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根据题意圆锥的母线长，代入即可求得．故选：B.4.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，即，所以，所以，所以.故选：B.5.一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中水果品种相同的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意，设个苹果分别记为：和，个桃子编号为，从盘中任选两个，可得，共种情况；选中的水果品种相同的选法有：，，有种，所以选中的水果品种相同概率为：．故选：C.6.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，，则，令，则，所以.故选：B.7.某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O的正东方向A处，测得旗杆顶端P的仰角为，在A的南偏西方向上的B处，测得P的仰角为（O，A，B在同一水平面内），A，B两点间的距离为20m，则旗杆的高度OP约为（，）（）A.10m B.14m C.17m D.20m〖答案〗C〖解析〗如图，设米，则米，米，在中，由题意可得，，由余弦定理可得，解得米.故选：C.8.在锐角三角形ABC中，，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，又三角形ABC为锐角三角形，所以，所以又因为三角形ABC为锐角三角形，所以，所以，所以.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．下列命题为真命题的是（）A.若，则为直角三角形B.若，则为等腰三角形C.若，则为等腰三角形D.若，则为等腰直角三角形〖答案〗ABD〖解析〗对于A，若，由正弦定理得，所以，所以为直角三角形，故A正确；对于B，若，由正弦定理得，所以，所以为等腰三角形，故B正确；对于C，若，由正弦定理得，即，所以或，即或，则是等腰或直角三角形，故C错误；对于D，若，由正弦定理得，所以，即，所以为等腰直角三角形，故D正确.故选：ABD.10.已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为真命题的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A选项，令，，若，则一定有，，而在同一平面的a，b两条直线可以平行，也可以相交，故A错误；对于B选项，这是线面平行的性质定理，故B正确；对于C选项，这是面面垂直的判定定理，故C正确；对于D项，设，，过平面内一点A，分别作，，如图所示，因为，，，，所以，又因为，所以，同理：，又因为，、，所以，故D项正确.故选：BCD.11.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（）A.A与B互斥 B.A与C相互独立C. D.〖答案〗BC〖解析〗根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则，，，所以有，，对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误；对于B，，A、C相互独立，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D错误．故选：BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.样本数据7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位数为________．〖答案〗11〖解析〗首先对数据从小到大进行排序：7，8，10，11，12，13，15，17，共有8个数据，，所以这个样本数据的第40百分位数为第四位，即11.故〖答案〗为：11.13.已知向量，满足，向量在上的投影向量为，则___________．〖答案〗2〖解析〗由已知向量在上的投影向量为，则，又因为即，所以，所以.故〖答案〗为：2.14.以棱长为2的正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面体，已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为．该多面体的体积为________，其面数为________．〖答案〗〖解析〗根据题意，如图，以棱长为2正方体的一个面为底面的正四棱锥，取底面中心，中点，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，则，所以，从而该多面体的体积为，考虑到四棱锥的侧面夹角为，其面数为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求B；（2）若，求．解：（1），故，因，所以.（2）设，代入中，，故，解得，由余弦定理得，则，故.16.如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点．（1）证明：；（2）证明：平面．解：（1）连接交于点，由四边形是菱形得，因为平面，平面，所以，因为，，，平面，所以平面，又平面，所以．（2）连接，因为四边形是菱形，所以点为中点，又分别是棱的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，因为平面，且，所以平面平面，又平面,所以平面．17.某班学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表如下：分组[7，7.5）[7.5，8）[8，8.5）[8.5，9]频数4x20y频率ab0.40.12（1）计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率．解：（1）因为容量，所以，所以该班学生的平均日睡眠时间为.（2）由（1）知，该班日睡眠时间在和频率比为，由比例分配的分层随机抽样方法，分别从和两组的学生中抽取2人，3人，记中抽取的2人为，中抽取的3人为，设“2人中至少有1人的睡眠时间在”为事件，则，，所以发生的概率，所以2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率为.18.已知面积为9，点D在BC边上，．（1）若，，①证明：；②求AC；（2）若，求AD的最小值．解：（1）①因为，，所以，在中，由正弦定理可得，所以.②设，则，因为，所以，设，因为，所以，在中，，由①知，所以，所以，整理得，又因为，，所以，因为，所以，在中，因为，，所以，所以，则，所以.（2）记的内角为，所对边为，因为，所以，所以，在中，因为，所以由余弦定理可得，整理得，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以AD的最小值为4.19.如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面．（1）证明：；（2）已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3．①求三棱锥B-ADE的体积；②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值．解：（1）证明：在圆台中，平面平面，因为平面平面，平面平面，所以.（2）①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，，在圆台中，平面平面，因为平面平面，平面平面，所以，又由（1）可知，所以，又，，，，，平面，所以，所以四边形为平行四边形，所以，在圆台中，，，所以，所以，所以，所以，连接，交于点，所以，所以，到平面的距离之比，所以.②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为，在平面内过点作的平行线交于点，连接，易得，因为平面，所以平面，所以为母线与下底面所成角，因为，，所以，所以，要使最小，只要最小即可，因为，所以，所以，设，因为为圆的直径，所以，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，因为，，所以，因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，所以，因此为二面角的平面角，在中，因为，所以，因为平面，平面，所以，在中，由勾股定理得，所以，所以二面角的正弦值为．江苏省南通市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数是纯虚数，则实数a的值为（）A.0 B.1 C.-1 D.〖答案〗A〖解析〗根据题意，复数是纯虚数，所以且，解得.故选：A.2.下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差〖答案〗D〖解析〗平均数、中位数、众数是描述一组数据的集中趋势的量，方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小的量，即刻画一组数据离散程度.故选：D.3.已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根据题意圆锥的母线长，代入即可求得．故选：B.4.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，即，所以，所以，所以.故选：B.5.一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中水果品种相同的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意，设个苹果分别记为：和，个桃子编号为，从盘中任选两个，可得，共种情况；选中的水果品种相同的选法有：，，有种，所以选中的水果品种相同概率为：．故选：C.6.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，，则，令，则，所以.故选：B.7.某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O的正东方向A处，测得旗杆顶端P的仰角为，在A的南偏西方向上的B处，测得P的仰角为（O，A，B在同一水平面内），A，B两点间的距离为20m，则旗杆的高度OP约为（，）（）A.10m B.14m C.17m D.20m〖答案〗C〖解析〗如图，设米，则米，米，在中，由题意可得，，由余弦定理可得，解得米.故选：C.8.在锐角三角形ABC中，，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，又三角形ABC为锐角三角形，所以，所以又因为三角形ABC为锐角三角形，所以，所以，所以.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．下列命题为真命题的是（）A.若，则为直角三角形B.若，则为等腰三角形C.若，则为等腰三角形D.若，则为等腰直角三角形〖答案〗ABD〖解析〗对于A，若，由正弦定理得，所以，所以为直角三角形，故A正确；对于B，若，由正弦定理得，所以，所以为等腰三角形，故B正确；对于C，若，由正弦定理得，即，所以或，即或，则是等腰或直角三角形，故C错误；对于D，若，由正弦定理得，所以，即，所以为等腰直角三角形，故D正确.故选：ABD.10.已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为真命题的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A选项，令，，若，则一定有，，而在同一平面的a，b两条直线可以平行，也可以相交，故A错误；对于B选项，这是线面平行的性质定理，故B正确；对于C选项，这是面面垂直的判定定理，故C正确；对于D项，设，，过平面内一点A，分别作，，如图所示，因为，，，，所以，又因为，所以，同理：，又因为，、，所以，故D项正确.故选：BCD.11.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（）A.A与B互斥 B.A与C相互独立C. D.〖答案〗BC〖解析〗根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则，，，所以有，，对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误；对于B，，A、C相互独立，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D错误．故选：BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.样本数据7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位数为________．〖答案〗11〖解析〗首先对数据从小到大进行排序：7，8，10，11，12，13，15，17，共有8个数据，，所以这个样本数据的第40百分位数为第四位，即11.故〖答案〗为：11.13.已知向量，满足，向量在上的投影向量为，则___________．〖答案〗2〖解析〗由已知向量在上的投影向量为，则，又因为即，所以，所以.故〖答案〗为：2.14.以棱长为2的正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面体，已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为．该多面体的体积为________，其面数为________．〖答案〗〖解析〗根据题意，如图，以棱长为2正方体的一个面为底面的正四棱锥，取底面中心，中点，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，则，所以，从而该多面体的体积为，考虑到四棱锥的侧面夹角为，其面数为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求B；（2）若，求．解：（1），故，因，所以.（2）设，代入中，，故，解得，由余弦定理得，则，故.16.如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点．（1）证明：；（2）证明：平面．解：（1）连接交于点，由四边形是菱形得，因为平面，平面，所以，因为，，，平面，所以平面，又平面，所以．（2）连接，因为四边形是菱形，所以点为中点，又分别是棱的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，因为平面，且，所以平面平面，又平面,所以平面．17.某班学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表如下：分组[7，7.5）[7.5，8）[8，8.5）[8.5，9]频数4x20y频率ab0.40.12（1）计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率．解：（1）因为容量，所以，所以该班学生的平均日睡眠时间为.（2）由（1）知，该班日睡眠时间在和频率比为，由比例分配的分层随机抽样方法，分别从和两组的学生中抽取2人，3人，记中抽取的2人为，中抽取的3人为，设“2人中至少有1人的睡眠时间在”为事件，则，，所以发生的概率，所以2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率为.18.已知面积为9，点D在BC