2023-2024学年江苏省南京市五校联合体高一下学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数(为虚数单位)，则复数的虚部是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以复数的虚部是.故选：C.2.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（）A.若，，则B.若m⊥α，n⊥α，则C.若，，且，，则D.若α⊥β，，m⊥n，则n⊥β〖答案〗B〖解析〗A选项，若，，则或异面，A错误；B选项，若m⊥α，n⊥α，则，B正确；C选项，若，则不能得到，C错误；D选项，如图，满足α⊥β，，m⊥n，，但不能推出n⊥β，D错误.故选：B.3.已知数据的平均数为10，方差为5，数据的平均数为，方差为，则（）A.=10，=14 B.=9，=44C.=29，=45 D.=29，=44〖答案〗C〖解析〗原来数据平均值为，方差为则，方差为．故选：C．4.向量与不共线，，()，若与共线，则应满足（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为与不共线，且与共线，则，即，即.故选：C.5.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件“第一枚向上点数为奇数”，事件“第二枚向上点数为偶数”，事件“两枚骰子向上点数之和为8”，事件“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则（）A.与C互斥 B.A与C相互独立C.B与D互斥 D.B与D相互独立〖答案〗C〖解析〗记表示基本事件：第一枚骰子点数为，第二枚骰子的点数为，对A：对事件、都包含基本事件，所以与不互斥，故A错误；对B：因为，，事件包含基本事件，，所以，因为，所以不独立，故B错误；对C：若第二枚骰子的点数是偶数，则两枚骰子的点数之积不可能为奇数，所以事件和互斥，故C正确；对D：因为，，，因为，所以不独立，故D错误.故选：C.6.在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．若，，，则实数a的值为（）A.6 B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，由正弦定理得，，化简得，因为，所以，可得，又，所以，由正弦定理得，.故选：C.7.如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（）A.26π B.28πC.34π D.14π〖答案〗C〖解析〗如图，因为面，四边形为正方形，所以可将四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球也是长方体的外接球，由面，所以就是与平面所成的角，则，所以，设四棱锥的外接球的半径为，因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径，所以，所以，所以四棱锥的外接球的表面积为.故选：C.8.已知，，若，则实数的值（）A B.3 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以，因为，所以，则，上述等式两边平方可得，因为，所以，所以，解得.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设复数(i为虚数单位)，则下列结论正确的是（）A.的共轭复数为 B.C.在复平面内对应的点位于第二象限 D.〖答案〗ACD〖解析〗因为，所以，故A正确；因为，故B错误；因为，所对应点为，故C正确；因为，故D正确.故选：ACD.10.已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（）A若，则B.若，则为等腰三角形C.若，则为锐角三角形D.若的三角形有两解〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为，则由正弦定理可得，，所以，即，故A正确；对于B，由余弦定理得，化简得，故为等腰三角形，故B正确；对于C，由余弦定理，因为，所以，故只能判断为锐角，无法判断，故C错误；对于D，若，则由正弦定理得，因为，所以三角形有两解，故D正确.故选：ABD.11.如图，在棱长为的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（）A.M，N，B，四点共面B.若，则异面直线与MN所成角的正弦值为C.平面PMN截正方体所得截面为等腰梯形D.若，则三棱锥的体积为〖答案〗AD〖解析〗A选项，连接，，因为M，N分别是，的中点，所以，又，故，所以M，N，B，四点共面，A正确；B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，则异面直线与MN所成角的余弦值为，故正弦值为，B错误；C选项，如图所示，设的中点分别为，连接，故平面PMN截正方体所得截面为正六边形，C错误；D选项，连接，则，故，其中，⊥平面，所以，D正确.故选：AD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，不需写出解答过程，请把〖答案〗直接填写在答题卡相应位置上．12.一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是_______．〖答案〗〖解析〗根据题意，设2个白球的编号为，1个红球的编号为c，3个黄球编号为，从中1次随机摸出2个球，共有：，共15种基本事件，其中满足恰有一球是黄球的基本事件有9种，故所求概率，故恰有一球是黄球的概率为：．故〖答案〗为：．13.已知，，，则______．〖答案〗〖解析〗因为，，，所以，，所以，又，所以，即，所以.

故〖答案〗为：.14.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，是的中线，且，则的最大值为_______．〖答案〗4〖解析〗由题意得，，因为是的中线，所以，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以，得，当且仅当时取等号，所以的最大值为4.故〖答案〗为：4.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，所以，所以，所以.（2）因为，所以，因为，所以，所以.16.某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率直方图．（1）求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩；（2）若成绩在的为A等级，的为B等级，其他为C等级，①在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中抽取25人，求从B等级中抽取的人数．②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概率．（注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取）解：（1）由频率直方图知(0.004＋0.022＋0.030＋0.028＋m＋0.004)×10＝1，∴0.012，易知，，，，，相应的频率分别为0.04，0.22，0.30，0.28，0.12，0.04，∴100名同学的平均成绩估计值为：0.04×45＋0.22×55＋0.30×65＋0.28×75＋0.12×85＋0.04×95＝68.4.（2）①由(1)知A等级的频率为0.04，A等级的人数为100×0.04＝4人，B等级的频率为(0.28＋0.12)＝0.4，B等级的人数为100×0.4＝40人，C等级的频率为(0.04＋0.22＋0.30)＝0.56，C等级的人数为100×0.56＝56人，∴抽取25人中B等级中的人数为25×＝10人.②用频率代替概率，所以抽取一次，B等级被抽中的概率为0.4，抽取三次都没有抽中B等级的概率＝(1－0.4)3＝0.216，所以随机抽取3人至少有一人为B等级的概率＝1－0.216＝0.784.17.如图，在平行四边形中，，垂足为P，E为中点，（1）若·=32，求的长；（2）设||＝，||＝，＝－，＝x＋y，求的值．解：（1），∴是在方向上的投影向量，∴·＝，即.法二：，∴·||·||||·||，即.（2）在中，，所以，＝＝，因为，所以，，以P为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，建系如图：易知因为E为中点，所以，，，，∵＝x＋y，∴，由平面向量基本定理得：，解得：，所以：.法二：在中，，所以，＝＝，因为，所以，，因为，所以，又∵由平面向量基本定理得：，解得：，所以：.18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，在棱上且侧面，，垂足为．（1）求证：平面；（2）若平面与直线交于点，证明：；（3）侧面为等边三角形时，求二面角的平面角的正切值．解：（1）如图：因为侧面，平面，所以，又因为四边形为正方形，所以，又，平面，所以平面，因为侧面，所以，因，且，平面，所以平面.（2）因为底面为正方形，所以，又因为平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.（3）如图：由题为等边三角形，，故为中点，在线段上取点，使得，因为是正方形，所以，又，所以，又因为底面，底面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以，所以即为二面角的平面角，设，不妨设等边的边长为2，则，，所以在中，.19.已知函数f(x)＝sinx＋mcosx.（1）若函数f(x)的图象关于直线x=轴对称，求实数m的值．（2）已知锐角△ABC的角A，B，C对边分别是a，b，c，c=且当m=1时满足f(A)=.（i）若∠BCA的角平分线交边AB于D，且CD=，求△ABC的周长；（ii）求的取值范围．解：（1）因为图象关于直线轴对称，所以，所以解得：经检验：此时满足即时图象关于直线轴对称.法二：因为图象关于直线轴对称，所以对任意都成立，即化简得：对任意都成立，所以m＝3.（2）（i）由正弦定理得：，∴，∴，∵∴，∴，∴，即而，解得：因为是的角平分线，所以，，，∴，，所以的周长.（ii），，，，由正弦定理得：，，，，，，，，，即，，即的取值范围为江苏省南京市五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数(为虚数单位)，则复数的虚部是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以复数的虚部是.故选：C.2.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（）A.若，，则B.若m⊥α，n⊥α，则C.若，，且，，则D.若α⊥β，，m⊥n，则n⊥β〖答案〗B〖解析〗A选项，若，，则或异面，A错误；B选项，若m⊥α，n⊥α，则，B正确；C选项，若，则不能得到，C错误；D选项，如图，满足α⊥β，，m⊥n，，但不能推出n⊥β，D错误.故选：B.3.已知数据的平均数为10，方差为5，数据的平均数为，方差为，则（）A.=10，=14 B.=9，=44C.=29，=45 D.=29，=44〖答案〗C〖解析〗原来数据平均值为，方差为则，方差为．故选：C．4.向量与不共线，，()，若与共线，则应满足（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为与不共线，且与共线，则，即，即.故选：C.5.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件“第一枚向上点数为奇数”，事件“第二枚向上点数为偶数”，事件“两枚骰子向上点数之和为8”，事件“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则（）A.与C互斥 B.A与C相互独立C.B与D互斥 D.B与D相互独立〖答案〗C〖解析〗记表示基本事件：第一枚骰子点数为，第二枚骰子的点数为，对A：对事件、都包含基本事件，所以与不互斥，故A错误；对B：因为，，事件包含基本事件，，所以，因为，所以不独立，故B错误；对C：若第二枚骰子的点数是偶数，则两枚骰子的点数之积不可能为奇数，所以事件和互斥，故C正确；对D：因为，，，因为，所以不独立，故D错误.故选：C.6.在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．若，，，则实数a的值为（）A.6 B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，由正弦定理得，，化简得，因为，所以，可得，又，所以，由正弦定理得，.故选：C.7.如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（）A.26π B.28πC.34π D.14π〖答案〗C〖解析〗如图，因为面，四边形为正方形，所以可将四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球也是长方体的外接球，由面，所以就是与平面所成的角，则，所以，设四棱锥的外接球的半径为，因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径，所以，所以，所以四棱锥的外接球的表面积为.故选：C.8.已知，，若，则实数的值（）A B.3 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以，因为，所以，则，上述等式两边平方可得，因为，所以，所以，解得.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设复数(i为虚数单位)，则下列结论正确的是（）A.的共轭复数为 B.C.在复平面内对应的点位于第二象限 D.〖答案〗ACD〖解析〗因为，所以，故A正确；因为，故B错误；因为，所对应点为，故C正确；因为，故D正确.故选：ACD.10.已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（）A若，则B.若，则为等腰三角形C.若，则为锐角三角形D.若的三角形有两解〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为，则由正弦定理可得，，所以，即，故A正确；对于B，由余弦定理得，化简得，故为等腰三角形，故B正确；对于C，由余弦定理，因为，所以，故只能判断为锐角，无法判断，故C错误；对于D，若，则由正弦定理得，因为，所以三角形有两解，故D正确.故选：ABD.11.如图，在棱长为的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（）A.M，N，B，四点共面B.若，则异面直线与MN所成角的正弦值为C.平面PMN截正方体所得截面为等腰梯形D.若，则三棱锥的体积为〖答案〗AD〖解析〗A选项，连接，，因为M，N分别是，的中点，所以，又，故，所以M，N，B，四点共面，A正确；B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，则异面直线与MN所成角的余弦值为，故正弦值为，B错误；C选项，如图所示，设的中点分别为，连接，故平面PMN截正方体所得截面为正六边形，C错误；D选项，连接，则，故，其中，⊥平面，所以，D正确.故选：AD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，不需写出解答过程，请把〖答案〗直接填写在答题卡相应位置上．12.一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是_______．〖答案〗〖解析〗根据题意，设2个白球的编号为，1个红球的编号为c，3个黄球编号为，从中1次随机摸出2个球，共有：，共15种基本事件，其中满足恰有一球是黄球的基本事件有9种，故所求概率，故恰有一球是黄球的概率为：．故〖答案〗为：．13.已知，，，则______．〖答案〗〖解析〗因为，，，所以，，所以，又，所以，即，所以.

故〖答案〗为：.14.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，是的中线，且，则的最大值为_______．〖答案〗4〖解析〗由题意得，，因为是的中线，所以，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以，得，当且仅当时取等号，所以的最大值为4.故〖答案〗为：4.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，所以，所以，所以.（2）因为，所以，因为，所以，所以.16.某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率直方图．（1）求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩；（2）若成绩在的为A等级，的为B等级，其他为C等级，①在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中抽取25人，求从B等级中抽取的人数．②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概率．（注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取）解：（1）由频率直方图知(0.004＋0.022＋0.030＋0.028＋m＋0.004)×10＝1，∴0.012，易知，，，，，相应的频率分别为0.04，0.22，0.30，0.28，0.12，0.04，∴100名同学的平均成绩估计值为：0.04×45＋0.22×55＋0.30×65＋0.28×75＋0.12×85＋0.04×95＝68.4.（2）①由(1)知A等级的频率为0.04，A等级的人数为100×0.04＝4人，B等级的频率为(0.28＋0.12)＝0.4，B等级的人数为100×0.4＝40人，C等级的频率为(0.04＋0.22＋0.30)＝0.56，C等级的人数为100×0.56＝56人，∴抽取25人中B等级中的人数为25×＝10人.②用频率代替概率，所以抽取一次，B等级被抽中的概率为0.4，抽取三次都没有抽中B等级的概率＝(1－0.4)3＝0.216，所以随机抽取3人至少有一人为B等级的概率＝1－0.216＝0.784.17.如图，在平行四边形中，，垂足为P，E为中点，（1）若·=32，求的长；（2）设||＝