2022-2023学年福建省龙岩市高二下学期期末教学质量检查数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE2福建省龙岩市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检查数学试题注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的〖答案〗均填写在答题卡上．2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求请把〖答案〗填涂在答题卡上．1.已知函数，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，则.故选：A2.投掷一个骰子，记事件，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得，，，则，所以.故选：D3.函数的图象大致为（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，令，所以该函数在，当时，，函数为增函数；当时，，函数为减函数；当时，，函数为增函数；当时，，函数为减函数；故函数有两个极大值，一个极小值，所以〖答案〗为D.故选：D4.如图，在平行六面体中，M为的交点．若，，，则向量＝（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗∵在平行六面体中，M为的交点．若，，，∴向量.故选：A．5.已知直三棱柱中，，，，D是的中点，则异面直线与CD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取中点，连接，在直三棱柱中，，因为分别为，的中点，所以，，即四边形为平行四边形，所以，为异面直线与所成的角，因为，，所以，，，在直三棱柱中，，所以，，在中，由余弦定理可得，.故选：B6.已知甲、乙盒子各装有形状大小完全相同的小球，其中甲盒子内有2个红球，1个白球；乙盒子内有3个红球，2个白球．若第一次先从甲盒子内随机抽取1个球放入乙盒子中，则第二次从乙盒子中抽1个球是红球的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗记为从甲盒子中取出一个红球，为从甲盒子中取出一个红球，为从乙盒子中取出一个红球，所以，，，，所以.故选：C7.，，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，则，根据题干条件，，即，故，为常数，即，于是，整理可得，令，整理可得，解得.故选：D8.若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，，令且，则，故上，此时单调递增，故，所以，令且，则，即此时单调递增，所以，则，令得：，故，则，综上．故选：B二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把〖答案〗填涂在答题卡上．9.下列说法正确的是（）A.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B.运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心C.在一个列联表中，计算得到的值，若的值越小，则可以判断两个变量有关的概率越大D.利用独立性检验推断“与是否有关”，根据数据算得,已知，，则有超过的把握认为与无关〖答案〗AB〖解析〗对于A：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于，故A正确；对于B：运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心，故B正确；对于C：在一个列联表中，计算得到的值，若的值越小，则可以判断两个变量有关的概率越小，故C错误；对于D：因为，所以有超过的把握认为与有关，故D错误；故选：AB10.若函数在区间内有最小值，则实数m的取值可能为（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗已知，函数定义域为，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得极小值，极小值，若函数在区间内有最小值，此时，解得，当，即时，整理得，解得或，所以，综上，满足条件的取值范围为，．故选：CD．11.已知函数，则下列选项正确的是（）A.函数的值域为B.函数的单调减区间为，C.若关于x的方程有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是D.若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是〖答案〗ABD〖解析〗当时，，在单调递减，且渐近线为和，当时，，，则在单调递增，在单调递减，且，时，当时，，作出图象如下图所示，对于A，函数的值域为，故A正确；对于B，函数的单调减区间为，，故B正确；对于C，若关于x的方程有3个不相等的实数根，则或共有3个不相等的实数根，又因为解得或，所以与有1个公共点，所以或，故C错误.对于D，若关于x的方程有6个不相等的实数根，即或有6个不相等实数根，又因为解得或，所以与有4个公共点，作出图象如下图所示，显然实数a的取值范围是，故D正确.故选：ABD12.在棱长为2的正方体中，点N满足，其中，，异面直线BN与所成角为，点M满足，则下列选项正确的是（）A.B.C.当线段MN取最小值时，D.当时，与AM垂直的平面截正方体所得的截面面积最大值为〖答案〗BCD〖解析〗因为点N满足，其中，，则点N在正方形内（包括边界），又因为∥，则异面直线BN与所成角即为，可得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，所以A错误；因为且，所以点M在线段上（包括端点），因为平面，平面，则，又因为为正方形，则，，平面，所以平面，且平面，所以，所以B正确；因为，当且仅当三点共线时，等号成立，又因为当时，取到最小值，此时是的中点时，结合对称性可知：当是的中点时，也为圆弧的中点时，则，所以，即，所以，故C正确；当时，则，即与重合，与垂直的平面，即与体对角线垂直的平面，因为平面，且平面，所以，同理可证：，且，平面，所以平面，而与平面平行且面积最大的截面应当过正方体的中心，此时截面为边长是的正六边形，所以截面面积的最大值为，故D正确．故选：BCD.第II卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知空间向量，，若，则________．〖答案〗〖解析〗空间向量，，且即，故〖答案〗为：.14.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B有如下关系：．某地有A，B两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳馆游泳，周六选择A，B游泳馆的概率均为0.5．如果甲同学周六去A馆，那么周日还去A馆的概率为0.4；如果周六去B馆，那么周日去A馆的概率为0.8．如果甲同学周日去A馆游泳，则他周六去A馆游泳的概率为________．〖答案〗〖解析〗设事件为“甲同学周日去A馆”，事件为“甲同学周六去A馆”，即求，根据题意得，，，则.故〖答案〗：.15.在棱长为2的正方体中，P是侧面上的动点，且满足，则的最小值为________．〖答案〗〖解析〗以为空间直角坐标系的原点，为轴，为轴，为轴建立如图空间直角坐标系，设.则，故，，由可得，解得，故的轨迹是线段，则的最小值为到线段的距离.故〖答案〗为：16.函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为________．〖答案〗〖解析〗法一：依题意：在上恒成立，设，，则，令，，则在上单调递增，又，，所以使，当时，在单调递减，当时，在单调递增，所以，由得，，设，，则，，所以上单调递增，所以，即，，故，所以，解得，即实数的取值范围为；法二：，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，当且仅当时取“”，令，，即，，当，即时，，此时不等式恒成立；当，即时，设，在上单调递增，，，，使，即，所以与恒成立矛盾，故舍去，综上可得．故〖答案〗为：四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数.（1）若，求函数在点处的切线方程；（2）若函数在处取得极值，求的单调区间.解：（1）因为所以，所以，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为：；（2）由函数在处取得极值可知：，即，解得：，此时，，，当，时，，当时，，所以符合题意.综上，的单调递增区间为，，的单调递减区间为.18.如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．（1）求证：平面PAD；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．解：（1）如图所示，取中点，连接．因为分别为的中点，所以，且．又由已知，可得且，所以四边形为平行四边形，所以又因为平面，平面．所以平面．（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则．由为棱的中点，得．向量，．设为平面的法向量，则．不妨令，得，即为平面的一个法向量．又向量，设直线与平面所成角为，所以．所以直线与平面所成角的正弦值为．19.第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为了让中学生了解亚运会，某市举办了一次亚运会知识竞赛，分预赛和复赛两个环节，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布表（见表）．分组（百分制）频数频率100.1200.2300.3250.25150.15合计1001（1）由频率分布表可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩X服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．利用该正态分布，求；（2）预赛成绩不低于80分的学生将参加复赛，现用样本估计总体，将频率视为概率．从该市参加预赛的学生中随机抽取2人，记进入复赛的人数为Y，求Y的概率分布列和数学期望．附：若，则，，；．解：（1）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：，又由，，．（2）由题意，抽取2人进入复赛的人数，的概率分布列为012的数学期望为．20.如图，在直三棱柱中，，E为的中点，平面平面．（1）求证：；（2）若的面积为，试判断在线段上是否存在点D，使得二面角的大小为．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解：（1）,E是的中点，又平面平面，平面平面，且平面．平面．又平面，．（2）在直三棱柱中，平面．又平面，．又，平面且，平面．又平面平面．平面，、从而可得两两垂直．所以如图以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．的面积为，且矩形中可得解得．则，．设，．又，设平面的法向量，则，不妨取，则，∴，由（1）平面，∴平面的一个法向量，．解得,又可知又由图可知当为的中点时，二面角为钝二面角符合题意，综上，在上存在一点D，此时，使得二面角的大小为．21.三年疫情对我们的学习生活以及各个行业都产生了影响，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，公司旗下的某个楼盘统一推出了为期7天的优惠活动．负责人用表格记录了推出活动以后每天售楼部到访客户的人次，表格中x表示活动推出的天数，y表示每天来访的人次，根据表格绘制了以下散点图．x（天）1234567y（人次）122242681322023924.248705070134.821406.961.78表中，．（1）（i）请根据散点图判断，以下两个函数模型与（a，b，c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（ii）根据（i）的判断结果以及表中的数据，求y关于x的回归方程．（2）此楼盘共有N套房，其中200套特价房，活动期间共卖出300套房，其中50套特价房，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值，X表示卖出的300套房中特价房的数目）．附：对于样本（，2，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．解：（1）（ⅰ）根据散点图可得随的增大，增长速度越来越快，不满足线性回归，故判断适合作为人次关于活动推出天数的回归方程类型．（ⅱ）由（ⅰ）知，，两边同时取对数得，令．则由题意知，又，所以，所以，所以，，，则关于的回归方程为．（2）依题意服从超几何分布，当时，，当时，，记，则，由解得，所以当时，当时，当时，故当或时最大，所以的估计值为．22.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）已知，且是的两个零点，，证明：．解：（1），①若，则，即在单调递减，②若，令，有，令，有，即在单调递减，在单调递增，综上：，在单调递减，若，在单调递减，在单调递增．（2），令得：，因为，，因为是的两个零点，所以，，所以，，要证明，只需证，即证明变形为，令，则证明，设，，在单调递增，所以，即，设，，在单调递减，所以，，即，，综上：．福建省龙岩市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检查数学试题注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的〖答案〗均填写在答题卡上．2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求请把〖答案〗填涂在答题卡上．1.已知函数，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，则.故选：A2.投掷一个骰子，记事件，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得，，，则，所以.故选：D3.函数的图象大致为（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，令，所以该函数在，当时，，函数为增函数；当时，，函数为减函数；当时，，函数为增函数；当时，，函数为减函数；故函数有两个极大值，一个极小值，所以〖答案〗为D.故选：D4.如图，在平行六面体中，M为的交点．若，，，则向量＝（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗∵在平行六面体中，M为的交点．若，，，∴向量.故选：A．5.已知直三棱柱中，，，，D是的中点，则异面直线与CD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取中点，连接，在直三棱柱中，，因为分别为，的中点，所以，，即四边形为平行四边形，所以，为异面直线与所成的角，因为，，所以，，，在直三棱柱中，，所以，，在中，由余弦定理可得，.故选：B6.已知甲、乙盒子各装有形状大小完全相同的小球，其中甲盒子内有2个红球，1个白球；乙盒子内有3个红球，2个白球．若第一次先从甲盒子内随机抽取1个球放入乙盒子中，则第二次从乙盒子中抽1个球是红球的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗记为从甲盒子中取出一个红球，为从甲盒子中取出一个红球，为从乙盒子中取出一个红球，所以，，，，所以.故选：C7.，，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，则，根据题干条件，，即，故，为常数，即，于是，整理可得，令，整理可得，解得.故选：D8.若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，，令且，则，故上，此时单调递增，故，所以，令且，则，即此时单调递增，所以，则，令得：，故，则，综上．故选：B二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把〖答案〗填涂在答题卡上．9.下列说法正确的是（）A.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B.运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心C.在一个列联表中，计算得到的值，若的值越小，则可以判断两个变量有关的概率越大D.利用独立性检验推断“与是否有关”，根据数据算得,已知，，则有超过的把握认为与无关〖答案〗AB〖解析〗对于A：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于，故A正确；对于B：运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心，故B正确；对于C：在一个列联表中，计算得到的值，若的值越小，则可以判断两个变量有关的概率越小，故C错误；对于D：因为，所以有超过的把握认为与有关，故D错误；故选：AB10.若函数在区间内有最小值，则实数m的取值可能为（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗已知，函数定义域为，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得极小值，极小值，若函数在区间内有最小值，此时，解得，当，即时，整理得，解得或，所以，综上，满足条件的取值范围为，．故选：CD．11.已知函数，则下列选项正确的是（）A.函数的值域为B.函数的单调减区间为，C.若关于x的方程有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是D.若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是〖答案〗ABD〖解析〗当时，，在单调递减，且渐近线为和，当时，，，则在单调递增，在单调递减，且，时，当时，，作出图象如下图所示，对于A，函数的值域为，故A正确；对于B，函数的单调减区间为，，故B正确；对于C，若关于x的方程有3个不相等的实数根，则或共有3个不相等的实数根，又因为解得或，所以与有1个公共点，所以或，故C错误.对于D，若关于x的方程有6个不相等的实数根，即或有6个不相等实数根，又因为解得或，所以与有4个公共点，作出图象如下图所示，显然实数a的取值范围是，故D正确.故选：ABD12.在棱长为2的正方体中，点N满足，其中，，异面直线BN与所成角为，点M满足，则下列选项正确的是（）A.B.C.当线段MN取最小值时，D.当时，与AM垂直的平面截正方体所得的截面面积最大值为〖答案〗BCD〖解析〗因为点N满足，其中，，则点N在正方形内（包括边界），又因为∥，则异面直线BN与所成角即为，可得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，所以A错误；因为且，所以点M在线段上（包括端点），因为平面，平面，则，又因为为正方形，则，，平面，所以平面，且平面，所以，所以B正确；因为，当且仅当三点共线时，等号成立，又因为当时，取到最小值，此时是的中点时，结合对称性可知：当是的中点时，也为圆弧的中点时，则，所以，即，所以，故C正确；当时，则，即与重合，与垂直的平面，即与体对角线垂直的平面，因为平面，且平面，所以，同理可证：，且，平面，所以平面，而与平面平行且面积最大的截面应当过正方体的中心，此时截面为边长是的正六边形，所以截面面积的最大值为，故D正确．故选：BCD.第II卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知空间向量，，若，则________．〖答案〗〖解析〗空间向量，，且即，故〖答案〗为：.14.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B有如下关系：．某地有A，B两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳馆游泳，周六选择A，B游泳馆的概率均为0.5．如果甲同学周六去A馆，那么周日还去A馆的概率为0.4；如果周六去B馆，那么周日去A馆的概率为0.8．如果甲同学周日去A馆游泳，则他周六去A馆游泳的概率为________．〖答案〗〖解析〗设事件为“甲同学周日去A馆”，事件为“甲同学周六去A馆”，即求，根据题意得，，，则.故〖答案〗：.15.在棱长为2的正方体中，P是侧面上的动点，且满足，则的最小值为________．〖答案〗〖解析〗以为空间直角坐标系的原点，为轴，为轴，为轴建立如图空间直角坐标系，设.则，故，，由可得，解得，故的轨迹是线段，则的最小值为到线段的距离.故〖答案〗为：16.函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为________．〖答案〗〖解析〗法一：依题意：在上恒成立，设，，则，令，，则在上单调递增，又，，所以使，当时，在单调递减，当时，在单调递增，所以，由得，，设，，则，，所以上单调递增，所以，即，，故，所以，解得，即实数的取值范围为；法二：，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，当且仅当时取“”，令，，即，，当，即时，，此时不等式恒成立；当，即时，设，在上单调递增，，，，使，即，所以与恒成立矛盾，故舍去，综上可得．故〖答案〗为：四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数.（1）若，求函数在点处的切线方程；（2）若函数在处取得极值，求的单调区间.解：（1）因为所以，所以，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为：；（2）由函数在处取得极值可知：，即，解得：，此时，，，当，时，，当时，，所以符合题意.综上，的单调递增区间为，，的单调递减区间为.18.如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．（1）求证：平面PAD；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．解：（1）如图所示，取中点，连接．因为分别为的中点，所以，且．又由已知，可得且，所以四边形为平行四边形，所以又因为平面，平面．所以平面．（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则．由为棱的中点，得．向量，．设为平面的法向量，则．不妨令，得，即为平面的一个法向量．又向量，设直线与平面所成角为，所以．所以直线与平面所成角的正弦值为．19.第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为了让中学生了解亚运会，某市举办了一次亚运会知识竞赛，分预赛和复赛两个环节，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布表（见表）．分组（百分制）频数频率100.1200.2300.3250.25150.15合计1001（1）由频率分布表可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩X服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．利用该正态分布，求；（2）预赛成绩不低于80分的学生将参加复赛，现用样本估计总体，将频率视为概率．从该市参加预赛的学生中随机抽取2人，记进入复赛的人数为Y，求Y的概率分布列和数学期望．附：若，则，，；．解：（1）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：，又由，，．（2）由题意，抽取2人进入复赛的人数，的概率分布列为012的数学期望为．20.如图，在直三棱柱中，，E为的中点，平面平面．（1）求证：；（2）若的面积为，试判断在线段上是否存在点D，使得二面角的大小为．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解：（1）,E是的中点，又平