4.2.1等差数列的概念及通项公式（课件）高二数学课件（人教A版2019选择性）

4.2等差数列4.2.1.1等差数列的概念和通项公式1.数列的定义：按确定的顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做数列的项.2.数列的通项公式：如果数列的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式。如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.3.数列的递推公式：复习回顾1.理解等差数列的概念；2.探索并掌握等差数列的通项公式；3.掌握＂判断数列是否为等差数列＂常用的方法.学习目标5,3,1,-1,-3......1，1，1，1，1，1......思考:观察下面的三个数列①②③这些数列有什么共同特点呢?0,5,10,15,20......

从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数.考点1、等差数列的概念1.等差数列的定义:

公差常用字母d表示.

一般地，如果一数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列;②这个常数叫做等差数列的

,公差2.等差数列定义的符号语言:

（

其中d∈R）3.等差数列的再理解:

如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，注意:①等差数列要求从第2项起，后一项与前一项作差,不能颠倒.②作差的结果要求是同一个常数.可以是整数，也可以是０和负数.已知数列{an}是等差数列，d是公差，则：当d=0时，{an}为常数列；当d>0时，{an}为递增数列；当d<0时，{an}为递减数列；是不是(1)1，3，5，7，…(2)9，6，3，0，-3…(3)-8x，-6x，-4x，-2x，0x，…(4)3，3，3，3，…

(5)15，12，10，8，6，…是是是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8x,d=2xa1=3,d=0例:判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d,如果不是，说明理由.跟踪训练:判断题:(1)数列a，2a，3a，4a，…是等差数列;()(2)数列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差数列;()(3)若an－an+1=3(n∈N*)，则{an}是公差为3的等差数列;()(4)若a2－a1=a3－a2,则数列｛an｝是等差数列.(1)解：是等差数列证明：由已知得an+1-an=[4(n+1)-3]-(4n-3)=4（常数）所以数列{an}是等差数列等差数列的判定方法：1.判断下列数列是否是等差数列(1)an=4n-3;(2)an=n2+n(2)解：不是等差数列证明：由已知得an+1-an=[(n+1)2+(n+1)]-(n2+n)=2n+2（变量）所以数列{an}不是等差数列数列{an}是等差数列拓展延伸

an+1-an=d（常数）

在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：（1）2，（），4（2）-12，（），0

3-6由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项。2.

等差中项由等差数列的定义可知考点2、等差中项知识探究2:巩固新知2容易看出，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；反之,如果一个数列从第2项起,每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项，那么这个数列是等差数列.（广东高考）、已知三角形△ABC的三个角A、B、C成等差数列，且b=1,求三角形△ABC的外接圆面积

。考点3、等差数列的通项公式a2-a1=d……an-an-1=d(1)式+(2)式+…+(n-1)式得：a3-a2=da4-a3=dan-a1=(n-1)d，（1）（2）（3）（n-1）an=a1+(n-1)d∴

an=a1+(n-1)d又∵当n=1时，上式也成立即

等差数列的通项公式迭代法

等差数列的通项公式公式运用:1.已知等差数列的首项a1是3,公差d是2，求它的通项公式.2.求等差数列8，5，2，…，的第20项.等差数列思考:an=a1

+(n-1)dam=a1

+(m-1)dan-am

=(n-m)dd=an-am

/(n-m)

am=?an-am

=?an

=am+(n-m)da1、d、n、an中知三求一通项公式推导公式:任意两项an和am之间的关系:例1.在等差数列中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.题型训练[例3]

(1)等差数列的前三项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为(

)A．an＝2n－5 B．an＝2n－3C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1[分析]结合等差中项的定义求解．[解析]∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前三项，∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.[答案]

B(2)已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．[分析]

根据已知条件可设出这三个数，结合等差中项，建立方程组求解，关键注意设法．3.等差数列通项公式与一次函数的关系若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，an)落在直线

(d≠0)上．(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加

.(3)当d>0，数列{an}是

；当d<0，数列{an}是

．当d＝0时，数列{an}是常数列．y＝dx＋(a1－d)d递增数列递减数列noannoan直线上均匀排开的一群孤立的点[素养提升]等差数列的判定方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列．(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．特别地，在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．

[答案]

D等差数列

an=a1+(n-1)d直线上均匀排开的一群孤立的点1定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数公差:d=an-an-1(n≥2，n∈N*)2通项公式:推导公式:

an=am+(n－m)d

4图象:

四、课堂小结3等差中项：a,A,b成等差数列2A=a+b课堂训练：1.-401是不是等差数列-5，-9，-13，·····的项？如果是，是第几项？2.已知递增等差数列{an}的前三项和为15，前三项的积为105，求此数列的通项公式。3.已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．4.已知数列{an}是递增的等差数列，a3,a5是方程x2-10x+21=0的两个根，求此数列的通项公式.思考.（2020高三一模）已知f(x)是定义在R上的偶函数,令F(x)=(x-b)f(x-b)+2017,若b是a、c的等差中项，则F(a)+F(c)=

2021年11月高三衡水大联考（2021高考）

今有金锤，长五尺。斩本一尺，重四斤。斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？