8.1.2向量数量积的运算律课件高一数学人教B版

第八章向量的数量积与三角恒等变换向量数量积的运算律人教B版

数学

必修第三册课程标准1.掌握向量数量积的运算律,并要注意运算律的适用范围以及与实数乘法运算律的区别.2.会应用运算律进行相关的计算或证明等问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点向量数量积的运算律已知向量a,b,c与实数λ,则

交换律a·b=

结合律(λa)·b=

=

分配律(a+b)·c=a·c+b·cb·aλ(a·b)a·(λb)名师点睛1.在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为0.但是在向量数量积的运算中,不能由a·b=0推出a=0或b=0.事实上,当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量,这是因为对任意一个与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.实际上,由a·b=0可推出以下四种结论:(1)a=0,b=0;(2)a=0,b≠0;(3)a≠0,b=0;(4)a≠0,b≠0,但a⊥b.总而言之,a·b=0⇔a⊥b.2.

已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc⇒a=c.但对于向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·ca=c,因为a·b=b·c(b≠0)表示向量c,a在向量b方向上的投影的数量相等,并不能说明a=c.如图所示,虽然a·b=b·c,但a≠c.3.对于实数a,b,c,有(a·b)c=a(b·c).但对于向量a,b,c,(a·b)c=a(b·c)未必成立.这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)未必成立.4.重要公式

平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式(a±b)2=a2±2a·b+b2过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)(a·b)·c=a·(b·c).(

)(2)若a⊥b,则a·b=0.(

)(3)若a∥b,则a·b>0.(

)(4)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R).(

)×××√2.[北师大版教材习题]已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,计算下列各式:(1)(a+b)·(a-b);(2)(2a-b)·(a+3b).解

(1)(a+b)·(a-b)=a·a-b·b=|a|2-|b|2=62-42=20.(2)(2a-b)·(a+3b)=2a·a+5a·b-3b·b=2×62+5×6×4cos

60°-3×42=84.重难探究·能力素养全提升探究点一向量数量积的计算【例1】

已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°,求:(1)e1·e2;(2)(2e1-e2)·(-3e1+2e2);(3)(e1+e2)2.变式探究对本例变形:已知e1,e2是两个单位向量,且(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=,求<e1,e2>.规律方法

求向量的数量积时,常用到的结论(1)a2=|a|2;(2)(xa+yb)·(mc+nd)=xma·c+xna·d+ymb·c+ynb·d,其中x,y,m,n∈R,类似于多项式的乘法法则;(3)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.同时还要注意几何性质的应用,将向量适当转化,转化的目的是用上已知条件.变式训练1[2023江西上饶一模]已知平面向量a,b满足|a|=2|b|=2,它们的夹角为,则(a-2b)·(a+b)=

.

1则(a-2b)·(a+b)=a2-a·b-2b2=4-1-2=1.探究点二向量数量积运算律的应用角度1.求向量的模【例2】

已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为,求|a+b|,|a-b|.变式探究在本例中条件不变,求|3a-2b|.规律方法

求向量的模一般先求模的平方,借助|a|2=a2进行转化,最后开方即可.角度2.向量的夹角和垂直问题【例3】

(1)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(

)BB(3)[人教A版教材习题]已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61,求a与b的夹角θ.解

因为(2a-3b)·(2a+b)=4a2-4a·b-3b2=61,变式探究若将本例(1)条件改为“|a|=3|b|=|a+2b|”,试求a与b夹角的余弦值.解

设a与b夹角为θ,因为|a|=3|b|,所以|a|2=9|b|2.又|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b=|a|2+4|b|2+4|a||b|cos

θ=13|b|2+12|b|2cos

θ,即9|b|2=13|b|2+12|b|2cos

θ,故有cos

θ=.分析利用向量垂直的充要条件求参数.B解析

由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),又n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m||n|cos

θ+|n|2=t×3k×4k×+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4.规律方法

1.求向量夹角问题的两种思路(1)数量积a·b与模积|a||b|好求解,直接用变形公式cos

θ=求值定角.(2)a·b与|a||b|不好求,可采用寻求两者关系,再用变形公式cos

θ=求值定角.2.两个向量的夹角与其数量积的关系(1)向量a,b夹角为锐角的等价条件是a·b>0,且a与b不同向.(2)a,b夹角为钝角的等价条件是a·b<0,且a与b不反向.(3)a与b垂直的等价条件是a·b=0.变式训练2[人教A版教材例题]已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线.当k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直?解

a+kb与a-kb互相垂直的充要条件是(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0.因为a2=32=9,b2=42=16,所以9-16k2=0,解得k=.也就是说,当k=

时,a+kb与a-kb互相垂直.探究点三向量在几何中的应用【例5】在边长为1的菱形ABCD中,∠A=60°,E是线段CD上一点,满足

(2)在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE?若存在,确定F点的位置,并求||;若不存在,请说明理由.规律方法

利用向量法证明几何问题的方法技巧(1)利用向量表示几何关系,如位置关系、长度关系、角度关系.(2)进行向量计算,如向量的线性运算、数量积运算.(3)将向量问题还原成几何问题,如向量共线与三点共线或者直线平行,向量的夹角与直线的夹角等.变式训练3[人教A版教材例题]如图,CD是△ABC的中线,,用向量方法证明△ABC是直角三角形.成果验收·课堂达标检测A级必备知识基础练1234567891011121314151617181920211.[探究点一]已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,则(a+2b)·(a-3b)=(

)A.-72 B.72

C.84 D.-84A解析

因为|a|=6,|b|=4,a与b为夹角为60°,所以a·b=|a||b|cos

60°=6×4×=12,则(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a|2-a·b-6|b|2=36-12-6×16=-72,故选A.123456789101112131415161718192021D123456789101112131415161718192021A.6 B.3 C.-3 D.-6D1234567891011121314151617181920214.[探究点三]已知|m|=2,|n|=1,且(m+kn)⊥(m-3n),m⊥n,则k等于(

)A解析

由题意知,(m+kn)·(m-3n)=m2-3kn2=4-3k=0,解得k=.1234567891011121314151617181920215.[探究点二(角度1)]已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,则|a+3b|等于(

)C1234567891011121314151617181920216.[探究点二(角度2)]若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则<a,b>=(

)A.30°

B.60°

C.120° D.150°C解析

由(2a+b)·b=0,得2a·b+b2=0,所以2|a||b|·cos<a,b>+|b|2=0.所以1234567891011121314151617181920217.(多选题)[探究点二·2023河南汝州月考]若向量a,b,c满足|a|=2,

ACD1234567891011121314151617181920218.[探究点二(角度2)·2023安徽蒙城二模]已知非零向量a,b,c满足|a|=1,(a-b)·(a+b)=-1,a·b=1,c=-2b,则向量a与c的夹角为(

)A.45°

B.60° C.135°

D.150°C又<a,c>∈[0,π],∴向量a与c的夹角为135°.故选C.1234567891011121314151617181920219.[探究点二(角度2)]已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7,是否存在实数μ,使μa+b与a-2b垂直?解

若(μa+b)⊥(a-2b),则(μa+b)·(a-2b)=0,μa2-2b2-2μa·b+a·b=0.∵a+b+c=0,c=-a-b,12345678910111213141516171819202110.[探究点二]已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61.求:(1)a与b的夹角θ;(2)|a+b|的值.解

(1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61.∴a·b=-6,123456789101112131415161718192021(2)如果∠A=60°,AB=2AC,CD,EF有什么关系?用向量方法证明你的结论.123456789101112131415161718192021(2)CD⊥EF.证明如下:设AC=m,则AB=2m,EF=m.123456789101112131415161718192021B级关键能力提升练12.(多选题)设a,b,c是平面内任意的非零向量,且相互不共线,其中正确的有(

)A.(a·b)c-(c·a)b=0B.|a|-|b|<|a-b|C.(b·c)a-(c·a)b不与c垂直D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2BD解析

由b,c是平面内任意向量知选项A错误;由三角形的三边关系得选项B正确;由[(b·c)a-(c·a)b]·c=(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0得选项C错误;选项D显然正确.12345678910111213141516171819202113.[2023安徽期中]已知向量a是非零向量,b是单位向量,a,b的夹角为120°,且a⊥(a+b),则|a-b|=(

)A123456789101112131415161718192021A123456789101112131415161718192021A解析

由|3a-b|≤可得|3a-b|2≤12,即(3a-b)2=9|a|2+|b|2-6a·b≤12,而-6a·b≤6|a||b|≤9|a|2+|b|2,当且仅当3|a|=|b|,且a,b反向时等号成立,所以-12a·b≤12,即a·b≥-1,等号成立的条件为b=-3a.故选A.12345678910111213141516171819202116.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=|b|=1,c与a+b同向,则|a-c|的最小值为(

)D12345678910111213141516171819202117.已知△ABC中