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更多见微信号:alarmact,微信号:abcshuxue,微信号:antshuxue微信号:AA-teacher更多见微信公众号:数学第六感;微信公众号:数学三剑客;微信公众号:ABC数学更多见微信号:alarmact,微信号:abcshuxue,微信号:antshuxue微信号:AA-teacher更多见微信公众号:数学第六感;微信公众号:数学三剑客;微信公众号:ABC数学2-4指数与指数函数近3年考情考题示例考点分析关联考点2024年新高考I卷,第6题,5分从近五年的高考情况来看,指数运算与指数函数是高考的一个重点也是一个基本点,常与幂函数、二次函数、对数函数、三角函数综合,考查数值大小的比较和函数方程问题.在利用指数函数的图像与性质应用上,体现了逻辑推理与数学运算素养.(1)指数幂的运算性质(2)指数函数的图像与性质2024年北京卷,第7题,5分2023年新高考I卷第4题,5分本#号资料全部来源于微信公众号:数学第六感2023年乙卷第4题,5分2022年甲卷第12题,5分本号资料全部来源于微信*公众#号:数学第六感2020年新高考II卷第11题,5分模块一模块一总览热点题型解读(目录)TOC\o"1-3"\n\h\z\u【题型1】指数幂的运算【题型2】指数函数过定点问题【题型3】求指数函数的解析式【题型4】指数函数的图象及应用【题型5】比较指数幂的大小【题型6】解指数方程或不等式【题型7】指数型复合函数单调性【题型8】指数型函数的值域问题【题型9】指数函数的实际应用【题型10】指数型复合函数的奇偶性问题与恒成立综合【题型11】指数函数的综合性问题【题型1】指数幂的运算【方法技巧】(1)灵活运用指数的运算性质进行指数运算,根式形式需要化为分数指数幂形式去求解.(2)运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有负指数又有分母.指数与根式的概念1、n次方根的定义(1)定义:一般地,如果,那么x叫做a的n次方根,其中,且(2)偶次方根的被开方数要为非负数2、根式(1)定义:式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.(2)性质:(,且)a;3、分数指数幂的意义(1)分数指数幂的意义正分数指数幂:规定:负分数指数幂:规定:(3)性质:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义4、分数指数幂的注意事项:(1)分数指数幂是指数概念的又一推广,分数指数幂不可理解为个相乘,它是根式的一种新的写法.在这样的规定下,根式与分数指数幂是表示相同意义的量,只是形式不同而已.(2)把根式化成分数指数幂的形式时,不要轻易对进行约分.(3)在保证相应的根式有意义的前提下,负数也存在分数指数幂,如有意义,但就没有意义.5、无理数指数幂一般地,无理数指数幂(,为无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.【注意】(1)对于无理数指数幂,我们只需要了解两点:①它是一个确定的实数;②它是有理数指数幂无限逼近的结果.(2)定义了无理数指数幂之后,幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围.6、实数指数幂的运算性质①.②.③.(1);(2)已知,,求的值.【巩固练习1】化简或求值:(1);(2);(3);(4)(且).【巩固练习2】已知,求下列各式的值.(1);(2);(3).【巩固练习3】计算(−64)13+A.−132 B.−112 C.【题型2】指数函数过定点问题指数函数图象都经过点,恒过定点.已知函数(且)的图象恒过定点,则点的坐标为.【巩固练习1】函数(且)的图象恒过定点,则等于.【巩固练习2】(2024·山东济宁·一模)已知函数且的图象过定点A,且点A在直线上,则的最小值是.【题型3】求指数函数的解析式图象性质①定义域,值域②,即时,,图象都经过点③,即时,等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤时,;时,时,;时,⑥既不是奇函数,也不是偶函数已知是指数函数,若,则___________.【巩固练习1】已知函数,若为偶函数,且在是增函数,求的解析式【巩固练习2】已知函数是奇函数,且当时,,那么当时,的解析式是()A.B.C.D.【题型4】指数函数的图象及应用对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过伸缩、平移、对称等变换得到,当时,指数函数的图像呈上升趋势;当时,指数函数的图像呈下降趋势.(2024·黑龙江·二模)已知函数的图象经过原点,且无限接近直线,但又不与该直线相交,则(
)A. B. C. D.函数①;②;③;④的图象如图所示,a,b,c,d分别是下列四个数:,,,中的一个,则a,b,c,d的值分别是()本号资#料全部来源于微信公众号:数学第六感A.,,,B.,,,C.,,,D.,,,【巩固练习1】函数的图像如图所示,其中为常数,则下列结论正确的是()A.,B.,C.,D.,【巩固练习2】若函数的图象如图所示,且,则实数,的值可能为(
)A.,B.,C.,D.,【巩固练习3】如图,曲线①②③④分别是指数函数,,,的图像,则实数a、b、c、d的大小关系满足()A.B.C.;D..【题型5】比较指数幂的大小比较指数幂的大小常用方法有:(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断;(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图象的变化规律来判断;(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,可先化为同底的两个幂,或者通过中间值来比较.若,则a、b、c的大小关系是()A.B.C.D.(2024·四川·模拟预测)设a=0.50.4,b=0.41.1,A.a<c<b B.c<a<b C.a<b<c D.b<a<c【巩固练习1】(2024·云南·二模)若,则(
)A. B. C. D.【巩固练习2】设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是()A.B.C.D.【巩固练习3】已知,则的大小关系为()A.B.C.D.【题型6】解指数方程或不等式简单指数不等式的解法1、形如的不等式,可借助的单调性求解2、形如的不等式,可将化为以为底数的指数幂的形式,再借助的单调性求解3、形如的不等式,可借助两函数,的图象求解(2024·河北邯郸·一模)不等式的解集为.【巩固练习1】若x满足不等式,则函数的值域是()A.B.C.D.【巩固练习2】已知函数,那么不等式的解集为__________.【巩固练习3】不等式的解集为.【题型7】指数型复合函数单调性判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.解决步骤第一步:求函数的定义域.第二步:将函数分解成内层函数和外层函数.第三步:判断内层函数和外层函数的单调性.第四步:根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性.函数的单调递减区间是()A.B.C.D.(2024·辽宁·一模)若函数在区间内单调递减,则的取值范围是(
)A. B. C. D.(2024·福建福州·模拟预测)设函数在区间上单调递减,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【巩固练习1】函数的单调递减区间为()A.B.C.D.【巩固练习2】已知函数,若在上减函数,求的取值范围.【巩固练习3】(2023·重庆巴蜀中学高一校考)已知函数在上单调递增,则的取值范围为(
)A. B. C. D.【题型8】指数型函数的值域问题解决步骤第一步:求函数的定义域,然后将复合函数分解成两个函数.第二步:由自变量的范围求内层函数的值域.第三步:由内层函数的值域求外层函数的值域.函数,的值域是()A.B.C.D.【巩固练习1】函数的值域是.【巩固练习2】已知函数,,则函数的值域为().A.B.C.D.【巩固练习3】函数在上的值域为___________.【题型9】指数函数的实际应用1、在自然科学中,指数函数常常用于描述增长或衰减的过程,比如生物群落的增长、放射性物质的衰变等。2、在经济学中,指数函数也可以用来描述复利增长,即资金按比例增长的情况。指数函数在数学和现实生活中都有重要的应用,对于描述增长和衰减过程有着很好的表现能力。心理学家有时用函数来测定人们在时间内能够记忆的单词量,其中表示记忆率.心理学家测定某学生在内能够记忆50个单词,则该学生在从能记忆的单词个数为(
)A.150 B.128 C.122 D.61(2024·安徽合肥·二模)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况,这个时间被称做半衰期,记为(单位:天).铅制容器中有甲、乙两种放射性物质,其半衰期分别为.开始记录时,这两种物质的质量相等,512天后测量发现乙的质量为甲的质量的,则满足的关系式为(
)A. B.C. D.【巩固练习1】已知某种果蔬的有效保鲜时间(单位:小时)与储藏温度(单位:)近似满足函数关系(,为常数,为自然对数底数),若该果蔬在的保鲜时间为216小时,在的有效保鲜时间为8小时,那么在时,该果蔬的有效保鲜时间大约为小时.【巩固练习2】某种病毒的繁殖速度快、存活时间长,a个这种病毒在t天后将繁殖到个.已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍.且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍,则(
)A.4 B.8 C.12 D.16【巩固练习3】把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是,空气的温度是,那么后物体的温度(单位:)可由公式求得,其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有的物体,放在的空气中冷却,60分钟以后物体的温度是.要使物体的温度变为,还要经过分钟.【题型10】指数型复合函数的奇偶性问题与恒成立综合1、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法:(1)函数法:讨论参数范围,通常借助函数单调性求解;(2)分离参数法:首先将参数分离,转化成求函数的最值或值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,再利用数形结合的方法来解决.本号资料全部来源于*微信公众号:数学第六感2、指数函数常与其他函数形成复合函数问题,解题时要清楚复合的层次,外层是指数函数还是内层是指数函数,其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题,则要按复合函数的性质规律求解.已知函数为定义在R上的奇函数,求实数m,n的值.(2024·贵州毕节·三模)已知函数是奇函数,若,则实数a的值为(
)A.1 B. C. D.0已知函数是奇函数,且.(1)求的值;(2)若,不等式恒成立,求的取值范围.【巩固练习1】已知定义域为的函数是奇函数.(1)求,的值;(2)若存在,使成立,求的取值范围.【巩固练习2】已知函数在区间上有最小值2和最大值10.(1)求,的值;(2)设,若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.【巩固练习3】已知函数,若,使得,则实数a的取值范围是.【巩固练习4】已知定义在上的函数,满足不等式,则的取值范围是
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