北京市大兴区2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题 含解析

大兴区2023~2024学年度第一学期高二期末检测数学1.本试卷共4页，共两部分，21道小题.满分150分.考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称､班级､姓名和准考证号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.椭圆的长轴长为（）A.4 B.5 C.6 D.9【答案】C【解析】【分析】由椭圆的方程即可得出答案.【详解】由可得，则.故选：C.2.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接由渐近线的定义即可得解.【详解】由题意双曲线的渐近线方程为，即.故选：B.3.若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】由可知，直线的方向向量与平面的法向量平行，列方程组求解即可.【详解】∵直线的方向向量为，平面的法向量为，且，∴直线的方向向量与平面的法向量平行，则存在实数使，∴，解得，故选：D.4.两条平行直线与间的距离等于（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】直接利用两平行线间的距离公式求解.【详解】两条平行直线与，由两平行线间的距离公式可知，所求距离为．故选：A．5.过点且被圆截得的弦长最大的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据圆的性质可知所求直线即为过圆心的直线，结合直线的截距式方程求解.【详解】由题意可知：圆的圆心为，显然圆的最大弦长为直径，所求直线即为过圆心的直线，可得直线方程为，即.故选：B.6.圆与圆的位置关系是（）A.相交 B.相离 C.内切 D.外切【答案】D【解析】【分析】求出两个圆的圆心距即可判断得解.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，显然，所以圆与外切.故选：D7.采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：907966181925271932812458569683431257393027556488730113537989根据以上数据估计，该学员三次射击至少击中两次概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据所给数据计数至少击中两次的次数后计算概率．【详解】所给数据中有181，271，932，812，431，393，113共7个数据表示至少击中两次，所以概率为．故选：B．8.若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意得到，再解不等式即可.【详解】依题意，，则或.故选：A9.已知是双曲线与椭圆的左､右公共焦点，是在第一象限内的公共点，若，则的离心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线定义、椭圆定义以及离心率公式，结合已知条件运算即可得解.【详解】由知，所以，∵，∴，∴，∵，∴的离心率是.故选：A.10.平面内与定点距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线是当时的双纽线，是曲线上的一个动点，则下列结论不正确的是（）A.曲线关于原点对称B.满足的点有且只有一个C.D.若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为【答案】D【解析】【分析】由题意得当时的双纽线方程为，对于A，用替换方程中的即可判断；对于B，令，求出点的坐标即可验证；对于C，由即可判断；对于D，由方程无零解，即可得解.【详解】根据双纽线的定义可得，当时，曲线C：，即，整理，得，对于A，用替换方程中的，原方程不变，所以曲线C关于原点中心对称，故A正确；对于B，若，则，所以，此时，即，所以满足的点有且只有一个，即，故B正确；对于C，由，得，所以曲线C上任意一点到原点的距离，即都不超过4，故C正确；对于D，直线与曲线C一定有公共点，若直线与曲线C只有一个交点，将代入方程中，得，当时，方程无零解，则，解得或，故D错误.故选：D.【点睛】关键点睛：判断D选项的关键是首先一定有公共点，然后通过化简方程组得方程无零解，由此即可顺利得解.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.如果事件A与事件B互斥，且，，则＝．【答案】0.5【解析】【分析】表示事件A与事件B满足其中之一占整体的占比．所以根据互斥事件概率公式求解．【详解】【点睛】此题考查互斥事件概率公式，关键点在于理解清楚题目概率表示的实际含义，属于简单题目．12.经过原点且与直线垂直的直线方程为__________.【答案】【解析】【分析】与直线垂直的直线方程可设为：，再将代入即可得出答案.【详解】与直线垂直的直线方程可设为：，又因为经过原点，所以.所求方程为故答案为：.13.已知双曲线是等轴双曲线，则的右焦点坐标为__________；的焦点到其渐近线的距离是__________.【答案】①.②.1【解析】【分析】根据等轴双曲线的概念求得，即可得焦点，再根据点到直线的距离可得结果．【详解】双曲线是等轴双曲线，则，，，则，则则的右焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即，则焦点到渐近线的距离，故答案为：，1．14.探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过射出，则________，光线从点到经过的总路程为________．【答案】①.②.【解析】【分析】由点与点的纵坐标相同和韦达定理可得，利用抛物线的定义可求得总路程.【详解】如图，设第一次射到抛物线上的点记为，第二次射到抛物线上的点记为，易得，因为，所以直线的方程为．联立消去整理得，可设，显然和是该方程的两个根，则，所以．（方法一）光线从点到经过的总路程为．（方法二）设抛物线的准线为，则其方程为，分别过点，做准线的垂线，垂足分别为，，则，，所以，故光线从点到经过的总路程为．故答案为：；20.15.画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上两个动点.直线的方程为.给出下列四个结论：①的蒙日圆的方程为；②在直线上存在点，椭圆上存在，使得；③记点到直线的距离为，则的最小值为；④若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为.其中所有正确结论的序号为__________.【答案】①②④【解析】【分析】由在蒙日圆上可得蒙日圆的方程，结合离心率可得关系，由此可知①正确；由过且在蒙日圆上，可知当恰为切点时，，知②正确；根据椭圆定义可将转化为，可知时，取得最小值，由点到直线距离公式可求得最小值，代入可得的最小值，知③错误；由题意知，蒙日圆为矩形的外接圆，由矩形外接圆特点可知矩形长宽与圆的半径之间的关系，利用基本不等式可求得矩形面积最大值，知④正确．【详解】对于①，过可作椭圆的两条互相垂直的切线：，∴在蒙日圆上，∴蒙日圆方程为，由，得，∴的蒙日圆方程为，故①正确；对于②，由方程知：过，又满足蒙日圆方程，∴在圆上，当恰为过作椭圆两条互相垂直切线的切点时，，故②正确；对于③，∵在椭圆上，∴，∴，当时，取得最小值，最小值为到直线的距离，又到直线的距离，∴，故③错误；对于④，当矩形的四条边均与相切时，蒙日圆为矩形的外接圆，∴矩形对角线为蒙日圆的直径，设矩形的长和宽分别为，则，∴矩形的面积，当且仅当时取等号，即矩形面积的最大值为，故④正确.故答案为：①②④．【点睛】关键点睛：本题考查圆锥曲线中的新定义问题的求解，解题关键是能够根据蒙日圆的定义，结合点在蒙日圆上，得到蒙日圆的标准方程，从而结合圆的方程来判断各个选项．三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知两直线：和：，（1）若与交于点，求的值；（2）若，试确定需要满足的条件．【答案】（1）（2）当或时，【解析】【分析】（1）将点代入则得到方程，解出即可；（2）根据平行列出方程，解出，再排除重合的情况即可.【小问1详解】将点代入两直线方程得：和，解得.【小问2详解】由得：，又两直线不能重合，所以有，对应得，所以当或时，．17.已知椭圆与经过左焦点的一条直线交于两点.（1）若为右焦点，求的周长；（2）若直线的倾斜角为，求线段的长.【答案】（1）8（2）【解析】【分析】（1）直接画出图形结合椭圆的定义即可求解.（2）由题意结合左焦点的坐标以及直线的倾斜角为，可得直线的方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理以及弦长公式即可得解.【小问1详解】由题意，由椭圆定义有，所以的周长为.【小问2详解】设，由题意直线的斜率为，，即，所以直线的方程为，将它与椭圆方程联立得，消去并化简整理得，显然，由韦达定理得，所以线段的长为.18.已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上.（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.【答案】（1）（x﹣1）2+（y+1）2＝2（2）x＝0或3x+4y﹣4＝0【解析】【分析】（1）由圆C的圆心经过直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y＝2的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可.（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离为1，即可得出结论.【小问1详解】因为圆心C在直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.则点C到直线x+y＝2的距离d.据题意，d＝|AC|，则，解得a＝1.所以圆心为C（1，﹣1），半径r＝d，则所求圆的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2.【小问2详解】k不存在时，x＝0符合题意；k存在时，设直线方程为kx﹣y+1＝0，圆心到直线的距离1，∴k，∴直线方程为3x+4y﹣4＝0.综上所述，直线方程为x＝0或3x+4y﹣4＝0.19.如图，在四面体中，平面，点为棱的中点，.（1）证明：；（2）求平面和平面夹角的余弦值；（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由勾股定理得，由平面得，从而平面，进而得出结论；（2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求解；（3）设，则，求得，设直线与平面所成角为，由题意，列式求解即可.【小问1详解】∵，∴，∴，∵平面，平面，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴.【小问2详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，,设平面的法向量为，由，令，则，，设平面的法向量为，由，令，则，，∴，∴平面和平面夹角的余弦值为.【小问3详解】设，则，设，则，得，∴，，平面的法向量为，设直线与平面所成角为，由题意，，∴，此方程无解，∴在线段上是不存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为.20.已知抛物线，过的焦点且垂直于轴的直线交于不同的两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）若过点的直线与相交于不同的两点为线段的中点，是坐标原点，且与的面积之比为，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由题意可得直线方程，进而可得，可求得值，即可得答案.（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线，根据韦达定理及弦长公式求得点的横坐标，，求出到直线距离，由与的面积的关系列式求出，可得答案.【小问1详解】抛物线的焦点，则两点所在的直线方程为：，代入抛物线，得，，则，故，∴抛物线的方程为【小问2详解】由题意，设直线的方程为，，联立，得，∴，解得且，，∴点的横坐标为，∴到直线距离，∴的面积，面积，由题意，∴，整理得，解得或，∴直线的方程为或.21.已知椭圆的上､下顶点为，左､右焦点为，四边形是面积为2的正方形.（1）求椭圆的方程；（2）若是椭圆上异于的点，判断直线和直线的斜率之积是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由；（3）已知圆的切线与椭圆相交于两点，判断以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.【答案】（1）（2）是定值，定值为（3）过定点，定点为【解析】【分析】（1）根据题意列式求，即可