函数的单调性与最值14种常见考点（老师版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学函数的单调性与最值14种常见考点考点1定义法判断或证明函数的单调性1．（2024·山东济南·三模）已知函数，且.(1)求的值;(2)判断函数在上是增函数还是减函数，并证明.【答案】(1)1(2)增函数，证明见解析【分析】（1）将代入函数求值即可；（2）利用单调性的定义判断即可.【详解】（1），（2）函数为增函数，证明如下：设是1,+∞上的任意两个实数，且，则当时，，，从而，即，∴函数在1,+∞上为增函数.2．（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且.(1)求的解析式；(2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.【答案】(1)(2)在区间上为严格增函数，证明见解析【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，求出的值，结合函数的解析式求出的值，计算可得答案；（2）根据题意，根据单调性的定义，结合作差法证明可得答案．【详解】（1）根据题意，是定义在上的奇函数，则有，解得，又由，解得，所以，定义域为，且，所以；（2）在区间上为严格增函数．证明如下：设任意，则，由，得，即，，，所以，即，故在区间上为严格增函数．3．（2024高一下·广东汕头·期中）已知函数为奇函数．(1)求实数a的值；(2)判断函数的单调性（不用证明）；(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)在，上单调递减.(3)【分析】（1）考虑和两种情况，根据奇函数性质计算得到答案.（2）确定定义域，设，且，计算，得到单调性.（3）根据单调性确定时的值域，设，换元得到二次函数，计算最大值和最小值，根据值域的包含关系得到答案.【详解】（1）由已知函数需满足，当时，函数的定义域为，函数为奇函数，所以f−x=−f即在上恒成立，即，（舍），当时，，函数的定义域为，又函数为奇函数，所以，此时，函数定义域为，，函数为奇函数，满足，综上所述：；（2）在和0,+∞上单调递减，证明如下：本号资料全部来源#于微信公众号：数学第六感，定义域为，设，且，则因为，且，所以，所以，所以在0,+∞上单调递减，同理可证，所以在上单调递减；所以在0,+∞，上单调递减.（3）函数在和0,+∞上单调递减，且当时，，当x∈0,+∞时，，时，，所以当时的值域，又，设，则，当时，取最小值为，当时，取最大值为，即在上的值域，又对任意的，总存在，使得成立，即，所以，解得，即.4．（2024高二下·陕西西安·阶段练习）已知奇函数的定义域为.(1)求实数的值；(2)判断函数的单调性，并用定义证明；(3)存在，使得成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2)单调递增，证明见解析；(3).【分析】（1）根据函数是奇函数，由求得，再根据定义域关于原点对称求解；（2）利用定义法证明函数的单调性；（3）存在，使得恒成立，令，，转化为，存在时成立求解.【详解】（1）因为函数是奇函数，所以，即，则，整理可得，所以，又因为定义域关于原点对称，所以，即，所以;（2）在上单调递增，设任意，且,则,因为，所以，又，，所以，即，所以在上单调递增；（3）因为，所以，由存在，使得成立，则，存在时成立，令，，则，存在时成立，构造函数，故，而，当且仅当，即取等号，对于单调递减，在单调递增，所以，,所以,∴故的取值范围为.考点2求函数的单调区间5．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，则下列结论错误的是（

）A． B．的零点为3C．在上为增函数 D．的定义域为【答案】C【分析】由函数性质依次判断各选项可得出结果.【详解】,可知函数的零点为3，可知A,B正确；中，由，解得：，故函数的定义域为，且函数在为增函数，故C错误，D正确.故选：C6．（2024·江西·二模）已知函数若，则的单调递增区间为（

）本号资料全部来源*于微信公众号：数学第六感A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据题目条件求出的值，再根据二次函数的性质求出的单调递增区间【详解】解：依题意，解得a＝－1，故，可知在上单调递增故选：D7．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则（

）A．在单调递增 B．在单调递减C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称本号资料全部来源于微信#公众号：数学第六*感【答案】C【分析】首先求函数的定义域，再化简函数，分析内层函数的单调性和对称性，从而判断选项.【详解】函数的定义域满足，即，即函数的定义域是，，设，由复合函数单调性可知函数在单调递增，在单调递减，故AB不正确；,,所以，函数关于直线对称.故选：C【点睛】本题考查函数的单调性和对称性，重点考察转化与化归的思想，复合函数判断函数性质的方法，属于基础题型。8．（2024·广东深圳·三模）函数的单调递增区间是．【答案】【分析】作出函数的图象，根据图象即可求出结果.【详解】函数，由，解得或，函数的图象如图所示，由图可知，函数的单调递增区间为.故答案为：.9．（2024·全国·三模）函数的单调递减区间为．【答案】【分析】利用导数求出的单调区间，从而可求出函数的减区间【详解】当时，，则其在上递减，当时，，则，当时，，所以在上递减，综上，的单调递减区间为，故答案为：考点3根据图像判断函数单调性10．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（

）A．函数的定义域为B．函数的值域为C．此函数在定义域中不单调D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应【答案】C【分析】由函数图象确定定义域和值域，单调性判断各项的正误.【详解】由图知：的定义域为，值域为，A、B错；显然在分别递增，但在定义域上不单调，C对；显然，对应自变量x不唯一，D错.故选：C11．（2024·辽宁丹东·二模）设函数由关系式确定，函数，则（

）A．为增函数 B．为奇函数C．值域为 D．函数没有正零点【答案】D【分析】化简已知函数并作出图像，即可得出结论【详解】由题意，在函数中，，可知画以下曲线：，，．这些曲线合并组成图象，是两段以为渐近线的双曲线和一段圆弧构成．因为作图象在轴右侧部分包括点关于x轴对称，得到曲线，再作关于坐标原点对称，去掉点得到曲线，与合并组成图象．由图象可知，不是奇函数，不是增函数，值域为R．当时，图象与图象没有公共点，从而函数没有正零点．故选：D.12．（2024·贵州·模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（

）A．是偶函数B．在上单调递增C．的图象关于直线对称D．的图象与轴围成的三角形面积为2【答案】C【分析】去掉绝对值，得到，画出其图象，进而判断出四个选项.【详解】A选项，，画出其函数图象，如下：故不是偶函数，A错误；B选项，在上单调递减，故B错误；C选项，的图象关于直线对称，C正确；D选项，的图象与轴围成的三角形面积为，D错误.故选：C13．（2024高三上·广西·学业考试）在2小时内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据题意结合单调性判断.【详解】根据题意函数先递增再递减，进而判断C选项符合题意.故选：C.考点4根据解析式直接判断函数的单调性14．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数在上的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可知函数在上单调递减，结合单调性求最值.【详解】因为在上单调递增，且恒成立，可知函数在上单调递减，当时，，所以函数在上的最小值为.故选：B.15．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先检验函数的定义域是否关于原点对称，再考查是否为偶函数，结合函数解析式，分析函数在0,+∞【详解】对于A，因，则函数为偶函数，且显然在0,+∞上先减后增，故A错误；本号资料全部来源于微信公众号：数学第六*#感对于B，因，则函数为偶函数，且，显然函数在0,+∞上为增函数，故B错误；对于C，函数的定义域为0,+∞，故是非奇非偶函数，故C错误；对于D，因的定义域为，关于原点对称，且，即函数是偶函数，且在0,+∞上单调递减,即D正确.故选：D.16．（2024高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数解析式直接判断各选项中的函数单调性即得.【详解】函数、在R上单调递增，AB不是；函数在上单调递增，C不是；函数在上单调递减，D是.故选：D17．（2024高二下·云南·学业考试）下列函数中，在上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数解析式直接判断函数单调性即可.【详解】对于选项A：因为在上单调递减，故A错误；对于选项B：因为在上单调递减，故B错误；对于选项C：因为在上单调递增，故C正确；对于选项D：因为在内单调递减，在上单调递增，故D错误；故选：C.考点5复合函数的单调性18．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性质求解即可.【详解】由题意可得，即，解得或，令（或），则，因为的对称轴为，所以在上递减，在上递增，因为在定义域内递增，所以在上递减，在上递增.故选：C19．（2024高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求函数的定义域，在结合复合函数单调性分析求解.【详解】令，解得，所以函数的定义域为，因为开口向下，对称轴为，可知在上单调递增，在上单调递减，本#号资#料全部来源于微信公众号：数学第六感且在定义域内单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为在定义域内单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，即函数的单调递增区间为.故选：B.20．（2024高三上·广东湛江·开学考试）已知函数，则的增区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复合函数的单调性求函数的增区间.【详解】函数定义域为，令，又在上单调递增，的增区间为，所以的增区间为.故选：A.21．（2024高一上·北京·阶段练习）函数单调递增的区间是.【答案】【分析】把已知函数解析式变形，再由正弦型函数的单调性求解即可．【详解】解：函数，则函数在上的单增区间满足：，，解得，．函数单调递增的区间是．故答案为：．考点6根据函数的单调性求参数值22．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（

）本号资料全部来源于微信公众号#：数学第六感A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得，所以的取值范围为.故选：C23．（2024·天津河北·一模）设，则“”是“函数在上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据题意，由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的应用，即可得到结果.【详解】函数的对称轴为，由函数在上单调递增可得，即，所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A24．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）．A．7,+∞ B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得，再由，进而求得的取值范围.【详解】由函数的对称轴是，因为函数在区间上是增函数，所以，解得，又因为，因此，所以的取值范围是7,+∞.故选：A．25．（2024·黑龙江·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由复合函数的单调性分析得在上单调递减，根据单调性即可得到答案.【详解】设，易知函数是增函数，因为在区间上单调递减，所以由复合函数单调性可知，在上单调递减.因为函数在上单调递减，所以，即.故选：D.26．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件得即在上恒成立，构造函数，，由二次函数的性质求出的最值即可解决问题.【详解】因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，变形得，因为，所以，所以当，即时，，所以.故选：A．27．（2024·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分情况讨论，当时直接代入可得函数递减；当时，求导，构造函数，，再由得到抽象函数，求出，最后再讨论时的情况，综合得出结果.【详解】当时，函数在上单调递减，不符合题意，所以，由题可知恒成立，即.令，则，所以在上单调递增，由，可得，即，所以，所以，当时，，不符合题意，故的取值范围是.故选：B28．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于的不等式，即可求解.【详解】根据题意，当时，，可得在上递增，要使得函数是上的单调函数，则满足，且，解可得，所以实数的取值范围为.故选：B.29．（2024·江苏无锡·二模）已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为.【答案】【分析】运用分段函数单调性知识，结合一次函数和指数型函数单调性知识可解.【详解】由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减，所以，解得，则.故答案为：.30．（2024·辽宁·三模）已知函数存在两个极值点，若对任意满足的，均有，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函数的导数，由导函数的两个零点求出的单调区间，求出所在区间，再由已知可得在同一单调递增区间内，进而求得，然后借助对勾函数单调性求出的范围.【详解】函数的定义域为，求导得，由函数存在两个极值点，得，即有两个不等的正根，则，解得，当或时，，当时，，于是函数在上单调递增，在上单调递减，令，，则直线与的图象有3个公共点，此时，显然，令，求导得，即函数在上递增，则，即，于是，本号资料全部来源于微*信公众号：*数学第六感由，得，因为对任意满足的，均有，则有必在同一单调递增区间内，因此，而恒成立，从而，又，则，显然函数在上单调递增，本号资料*全部来源于微信公众号：#数学第六感而，因此，由，得，而函数在上单调递减，则，即，所以实数的取值范围为.故选：C【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是求出所在区间，由已知探讨得在同一单调递增区间内，再求出极小值点的范围.考点7根据函数的单调性解不等式31．（2024高三下·山西·阶段练习）已知函数fx=log2x,0<x≤22x−3,x>2，若A． B． C． D．【答案】D【分析】先求解函数的单调性，接着根据已知条件结合函数定义域和单调性即可求解.本号资*料全部来源于微信公众号：数学第六感【详解】因为当x∈0,2时，fx=当x∈2,+∞时，fx

所以fx=log所以若fa+1−f2a−1则a+1≥2a−1>0，⇒1故选：D.32．（2024·陕西商洛·三模）已知为偶函数，且在上单调递增，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函数的对称性、单调性即可列出不等式求解.【详解】因为为偶函数，所以函数的图象关于对称，又在上单调递增，，所以，解得．故选：B．33．（2024·黑龙江大庆·三模）已知函数fx=2x,x≥0x3A．−∞,−2∪3,+∞ B．−2,3 【答案】D【分析】由函数的图象可知其单调性，进而利用单调性求解即可.本号资料全部来源于*微信公众号：数学第六感【详解】函数的图象如下，由图可知在R上单调递增.因为fa所以a<6−a2，解得故选：D.34．（2024·四川资阳·二模）若定义在R上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据偶函数的性质，结合不等式特征构造新函数，利用新函数的单调性和奇偶性进行求解即可.【详解】由，可得.令，因为是偶函数，且在上单调递增，所以也是偶函数，且在上单调递增，从而，解得或.故选：A35．（2024·四川德阳·三模）已知函数及其导函数f′x在定义域均为且是偶函数，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依题意得函数在上单调递增，因为，所以，得，求解即可．【详解】由，得，则当时，得，，则当时，，得函数在上单调递增，因为，所以，由于是偶函数，则，而函数在上单调递增，得，得，得，故选：C36．（2024·云南·模拟预测）已知f′x是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为．【答案】【分析】由已知，设，可得函数单调递减，则由，可得，即为不等式的解集.【详解】设，，所以函数在上单调递减，，即，得，所以，所以不等式的解集为．故答案为：．考点8比较函数值的大小关系37．（2024·湖北·模拟预测）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】转化和，设，根据导数求出的单调性，比较和的大小，转化和，设，求出，令，利用导数求出的单调性，利用导数求出的单调性，比较和的大小.【详解】，设，则，当时，在1,+∞上单调递增，，即，，又，设，则，令，则，在1,+∞上单调递减，当时，，在上单调递减，，，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键在于通过所比较值的变形，构造函数和进行大小比较.38．（2024·湖南·三模）已知函数的导函数是，且，则下列命题正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先得出，是偶函数，且在上单调递增，再结合对数函数性质逐一判定即可.【详解】依题意，（c为常数），是偶函数，且在上单调递增，又，，则，对于A，，A错误；对于B，，，，B正确；对于C，，，C错误；对于D，，，，D错误.故选：B39．（2025·全国·模拟预测）已知：，，，那么三者的关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先比较和，注意到，，从而通过比较的大小可，再比较和，注意到，而又有,从而只需要证明即可.【详解】因为，，而，所以，得，令，则，所以在上递减，因为当时，，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查对数式和指数式比较大小，考查对数的运算，考查导数的应用，解题的关键是构造函数，利用导数可求其单调性，从而可得其取值范围，考查计算能力和转化思想，属于较难题.40．（2024·四川自贡·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可判断.【详解】因为在上单调递增，所以即；因为为增函数，故即；因为为减函数，故即，综上.故选：A.41．（2024·新疆喀什·三模）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦函数、对数函数性质易得，构造，利用导数判断单调性，再判断大小关系即可得，即可得结果.【详解】因为在内单调递增，则，即，又因为在0,+∞内单调递增，则，，可得；令，则，，构建，则，可知在上递减，则，即；综上所述：.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据构建，利用导数判断其单调性，进而可得.42．（2024·四川雅安·三模）已知函数，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用导数判断函数的单调性，作差比较得，令，利用导数判断的单调性得，进而利用函数单调性可得函数值的大小.本号资料全部来源于微信公众*号：数学第六感【详解】因为，所以，当时，f′x<0，故函数在上单调递减，当时，f′x>0，故函数在上单调递增，因为，所以，令，则，即函数在上单调递减，故，即，所以，因为函数在上单调递减，所以，即.故选：D【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤：（1）作差或变形；（2）构造新的函数ℎx（3）利用导数研究ℎx（4）根据单调性及最值，得到所证不等式.43．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知定义在上的函数，记，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用指数函数，对数函数，正弦函数的性质比较的大小，再利用的单调性可比较出的大小.【详解】因为在上递减，且，所以，因为在上递增，且，所以，得，因为在上递增，所以，因为在上递增，，所以，即，所以，所以，因为在上递减，所以，即.故选：C44．（2024·陕西·模拟预测）已知函数，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用导数判断的单调性，再构造函数，利用导数判断得，从而得解.【详解】因为，所以，令，则恒成立，所以当时，，即，又在上单调递增，所以，所以在上恒成立，则在上单调递增，构造函数，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，可得，，所以，，所以，，即所以，，即.故选：D.【点睛】思路点睛：先利用导数判断的单调性，再构造函数，利用导数判断得，是解决本题的关键.45．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，令，利用导数判断的单调性，从而可得，进而可得比较函数值的大小．【详解】∵，∴，∴是偶函数，，当时，，故函数在上单调递增，令，则，即函数在上单调递减，故，即可，而，所以，∴．故选：C．【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)利用导数研究的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．考点9利用函数单调性求最值或值域46．（2024高一·上海·课堂例题）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，求a的值．【答案】【分析】根据对数函数的单调性，结合已知列出方程，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，函数在区间1,2上单调递增，又对数函数在区间1,2上的最大值比最小值大1，所以，，解得.故答案为：.47．（24-25高一上·全国·课前预习）设，函数是定义域为R的偶函数．(1)求实数a的值；(2)求在上的值域．【答案】(1)．(2)．【分析】（1）由偶函数定义即可求解；（2）利用单调性定义和指数函数的单调性可以判断在上单调递增，进而可得在上的值域.本号资料全部来源于微信公众号#：数学第六感【详解】（1）由，得，即，所以，根据题意，可得，又，所以．（2）由（1）可知，设任意的，且，则．因为，又指数函数增函数，所以，所以．又因为，所以，所以，所以，即．所以函数在上单调递增．所以函数在上的最大值为；最小值为．故在上的值域为．48．（2024高一·上海·课堂例题）设t是实数，且．求函数，的最小值．【答案】【分析】先将函数去绝对值符号化为分段函数并求其单调性，进而可求得参数的不同取值对函数单调性的影响，从而依据单调性即可求得函数最值.【详解】令，所以函数，又因为是增函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，如图：所以当时，函数在上单调递增，此时函数的最小值为；当时，函数在上单调递减，在2,4上单调递增，此时函数的最小值为.所以函数，的最小值为.49．（2024高一上·上海·阶段练习）已知函数，记函数值域为，若，则的最小值为【答案】5【分析】根据图象得到函数的值域，然后借助对勾函数的单调性求最小值即可.【详解】函数的图象如下：

所以，函数在0,2上单调递减，上单调递增，所以在时取得最小值，最小值为5.故答案为：5.考点10复合函数的最值50．（2024高二·全国·竞赛）的最大值为．本号资料全部来源于微信公众号#：数学第六感【答案】【分析】根据换元后的新函数，利用导数求解单调区间，再求最大值即可.【详解】令所以，所以，令，所以；令，所以.所以.故答案为：.51．（2024·青海·模拟预测）若函数的最小值为，则函数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于与的最小值相同，故可知的最小值，由即可确定答案.【详解】由题意知定义域为，则，由于的最小值为，则最小值也为m，因为，故的最小值为，故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用整体代换思想得出，明确与的最小值相同，从而由解决问题.本号*资料全部来源*于微信公众号：数学第六感52．（2024高三下·河北石家庄·期中）已知为整数，若关于的方程有正数解，则．【答案】【分析】将方程化为，运用换元法可求得，进而可得，解方程即可.【详解】由得，所以．设，则，，因为为整数，所以，即，解得，即，解得．故答案为：.考点11判别式法求最值53．（2024高一上·陕西西安·期末）已知正实数满足则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，则，代入已知等式，化为关于x的方程，由判别式非负，解得t的最大值.【详解】设，则，因为，所以，即：，所以，解得：，又因为，为正实数，所以，所以的最大值为.故选：C.54．（2024·广东茂名·二模）已知实数a，b满足，则的最小值是.【答案】【分析】先判断出，且.令，利用判别式法求出的最小值.【详解】因为实数a，b满足，所以，且.令，则，所以，代入，则有，所以关于b的一元二次方程有正根，只需，解得：.此时，关于b的一元二次方程的两根，所以两根同号，只需，解得.综上所述：.即的最小值是（此时，解得：）.故答案为：.55．（2024高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．0【答案】D【分析】将已知转化为关于的二次方程，根据，可求得最值.【详解】根据题意，若方程有解，则，即，所以，当时，，此时，即，也就是说当且仅当时，.故选：D考点12根据函数的最值求参数56．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围.【详解】因为，所以当时，函数取得最小值2，因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2，所以.故选：D57．（2024·江西鹰潭·三模）若的最小值是4，则实数的值为（

）A．6或 B．或18C．6或18 D．或【答案】A【分析】分，，三种情况，得出每种情况下的最小值，令其为4，解出的值.【详解】当时，，，解得，符合题意；当时，，，解得，符合题意；当时，，，舍掉.故选：A.58．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值比最小值大，则.【答案】1【分析】根据函数的奇偶性和和对勾函数的性质可知在上单调减，在上单调递增，分和两种情况讨论，求出最值即可求解.【详解】，所以为奇函数，且在上的最大值比最小值大，所以在上的最大值比最小值大.由对勾函数的性质可得在上单调减，在上单调递增.当时，即时，在上单调递增.则，解得.当时，即时，在上单调递减，在上单调递增.，因为，所以，所以，解得（舍去）或9（舍去）.综上，故答案为：159．（2024高一下·上海·阶段练习）若函数无最大值，则实数a的取值范围.【答案】【分析】分类讨论a的取值范围，脱掉绝对值符号，结合函数的单调性以及无最大值，列出相应不等式，即可求得答案.*本号资料全部来源于微信公众号：数学第六感【详解】由题意知当时，，当时，在上，，此时在上单调递增，且，故时，有最大值，不合题意；当时，在时，，在上单调递减，在时，，在上单调递增，此时要使得函数无最大值，需满足且，即，解得，结合，则；当时，在上，，在上单调递减，此时要使得函数无最大值，需满足，即，即，结合，可得，综合以上，实数a的取值范围为，故答案为：60．（2024高一下·陕西咸阳·期末）已知函数且．(1)若，求的值；(2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值．【答案】(1)(2)或．【分析】（1）由，结合对数运算即可求解.（2）结合题意，根据对数函数的单调性分类讨论求解.【详解】（1），，即，解得或（舍）．（2）当时，在上单调递增，则，由题意得，，解得．当时，在上单调递减，则，由题意得，，解得．综上，或．61．（2024高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数.(1)若函数是上的奇函数，求实数的值；(2)若函数在上的最小值是4，救实数的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用函数奇偶性的性质即可得解；（2）利用换元法，分类讨论的取值范围，结合基本不等式即可得解.本号资料全*部#来源于微信公众号：数学第六感【详解】（1）若函数是上的奇函数，则，即，此时，经检验满足，符合题意，故；（2）令，则，原函数可化为，因为函数在上的最小值是4，即在时的最小值为4，故，当时，在上单调递增，此时没有最小值，不符合题意；当时，，当且仅当，即时取等号，本号资料全部来源于微信公众号：数#学第六感所以，即.考点13函数不等式恒成立问题62．（2024·河北·模拟预测）当时，恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化简得到，再由，结合三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】由，可得，因为，可得，所以，可得，又因为，所以即，因为，因为，可得，所以，则，则，要使得不等式，即恒成立，所以，即实数的取值范围为.故选：D.63．（2024·北京昌平·二模）已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（

）本号资料全部来源于微信公众号：数#学第六感A． B． C． D．【答案】B【分析】首先画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围.【详解】因为，令，作出图象，如图所示，令，由图知，要使对任意的都有恒成立，则必有，本*号资料全部来源#于微信公众号：数学第六感当时，，由，消得到，由，得到，即，由图可知，故选：B.64．（2024·上海黄浦·二模）设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分和两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可.【详解】当时，恒成立，即恒成立，当时，上式成立；当，，明显函数在上单调递增，所以，所以；当时，恒成立，即恒成立，令，则在上恒成立，又开口向下，对称轴为，所以的最大值为，所以，综上：实数a的取值范围是.故选：D.65．（2024·全国·模拟预测）已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在区间恒成立，只需要即可，再根据指数函数的单调性求出最大值即可得解.【详解】由解析式易知：单调递增，当时，恒成立，则，得．故选：B．66．（2024高二下·广西玉林·期末）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【分析】恒成立求参数的取值范围，分离参数转化为求函数最值的问题求解即可.本号资料全#部来源于微信公#众号：数学第六感【详解】因为，所以，不等式在上恒成立，所以在恒成立即可，在恒成立即可，令，则即可，所以的对称轴为：，所以在的最大值为：，所以，故实数的取值范围是.故答案为：67．（20