第1讲、集合（教师版）

[在此处键入]第1讲集合知识梳理1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：和.（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.（4）常见数集和数学符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号或说明：①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合应满足.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．4、集合的运算性质（1），，．（2），，．（3），，．【解题方法总结】（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．必考题型全归纳题型一：集合的表示：列举法、描述法例1．（2024·广东江门·统考一模）已知集合，，则集合B中所有元素之和为（

）A．0 B．1 C．－1 D．【答案】C【解析】根据条件分别令，解得，又，所以，，所以集合B中所有元素之和是，故选：C．例2．（2024·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】，则，则中元素的个数为故选：C例3．（2024·全国·高三专题练习）定义集合且.已知集合，，则中元素的个数为（

）A．6 B．5 C．4 D．7【答案】C【解析】根据题意，因为，，所以.故选：C.【解题总结】1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.2、描述法，注意代表元素.题型二：集合元素的三大特征例4．（2024·北京海淀·校考模拟预测）设集合，若，则实数m=（

）A．0 B． C．0或 D．0或1【答案】C【解析】设集合，若，，或，当时，，此时；当时，，此时；所以或.故选：C例5．（2024·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则，故选：A例6．（2024·北京东城·统考一模）已知集合，且，则a可以为（

）A．－2 B．－1 C． D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，可知，故A、C、D错误；，故B正确.故选：B【解题方法总结】1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。题型三：元素与集合间的关系例7．（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，且，解得，故选：B例8．（2024·吉林延边·统考二模）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（

）A． B．0 C．或0 D．无解【答案】C【解析】集合有一个元素，即方程有一解，当时，，符合题意，当时，有一解，则，解得：，综上可得：或，故选：C.例9．（2024·全国·高三专题练习）已知集合，则A中元素的个数为（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】由椭圆的性质得，又,所以集合共有11个元素.故选：C【解题方法总结】1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N与N*的区别．2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数，是还是．题型四：集合与集合之间的关系例10．（多选题）（2024·山东潍坊·统考一模）若非空集合满足：，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由可得：，由，可得，则推不出，故选项错误；由可得，故选项正确；因为且，所以，则，故选项正确；由可得：不一定为空集，故选项错误；故选：.例11．（2024·江苏·统考一模）设，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，因为，所以集合是由所有奇数的一半组成，而集合是由所有整数的一半组成，故.故选：B例12．（2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意集合，，若，则，此时，因为“”是“”的必要不充分条件，故,故；若，则，此时，因为“”是“”的必要不充分条件，故,故；若，则，此时，满足,综合以上可得，故选：C例13．（2024·广东茂名·统考二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】集合，.要使，只需，解得：.故选：A【解题方法总结】1、注意子集和真子集的联系与区别.2、判断集合之间关系的两大技巧：（1）定义法进行判断（2）数形结合法进行判断题型五：集合的交、并、补运算例14．（2024·广东广州·统考二模）已知集合，，则集合的元素个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，则，故集合的元素个数为.故选：B.例15．（2024·河北张家口·统考二模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，即，，所以，，，所以，.故选：C.例16．（2024·广东·统考一模）已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，选项A中Venn图中阴影部分表示，不符合题意；选项B中Venn图中阴影部分表示，符合题意；选项C中Venn图中阴影部分表示，不符合题意；选项D中Venn图中阴影部分表示，不符合题意，故选：B例17．（2024·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.【答案】3【解析】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有(人)，因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有(人)，因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有(人)，因此，至少看了一支短视频的有(人)，所以没有观看任何一支短视频的人数为.故答案为：3【解题方法总结】1、注意交集与并集之间的关系2、全集和补集是不可分离的两个概念题型六：集合与排列组合的密切结合例18．（2024·全国·高三专题练习）设集合，定义：集合，集合，集合，分别用，表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】不妨设，则的值为，显然，，所以集合Y中至少有以上5个元素，不妨设，则显然，则集合S中至少有7个元素，所以不可能，故排除A选项；其次，若，则集合Y中至多有6个元素，则，故排除B项；对于集合T，取，则，此时，，故D项正确；对于C选项而言，，则与一定成对出现，，所以一定是偶数，故C项错误.故选：D.例19．（2024·全国·模拟预测）已知集合A，B满足，若，且，表示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（

）A．9 B．4 C．27 D．8【答案】C【解析】当时，集合B可以为；当时，集合B可以为；当时，集合B可以为；当时，集合B可以为；当时，集合B可以为；当时，集合B可以为；当时，集合B可以为；当时，集合B可以为.故满足题意的“AB互衬对”个数为27.故选：C例20．（2024·北京·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，则集合中元素个数最多为（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【解析】对于条件①，②，必有，若集合中所有的元素是由公差为的等差数列构成，例如，集合中有个元素，又则该集合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集合中元素个数最多不能超过10个，故若要集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，最多有10个元素，例如.故选：B.【解题方法总结】利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思想方法题型七：集合的创新定义例21．（2024·全国·校联考模拟预测）对于集合，定义，且．若，，将集合中的元素从小到大排列得到数列，则（

）A．55 B．76 C．110 D．113【答案】C【解析】因为，所以，所以．相当于集合中除去形式的数，其前45项包含了15个这样的数，所以．则，故选：C.例22．（多选题）（2024·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断下列选项中，可能成立的是（

）A．是一个戴德金分割B．M没有最大元素，N有一个最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M没有最大元素，N也没有最小元素【答案】BD【解析】对于A，因为，，故A错误；对于B，若，则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于C，若M有一个最大元素，设为a，N有一个最小元素，设为b，则，则，而内也有有理数，则，故C错误；对于D，若，，则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确，故选：BD例23．（2024·湖北·统考二模）已知X为包含v个元素的集合（，）．设A为由X的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个v阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为_____________．【答案】7【解析】由题设，令集合，共有7个元素，所以的三元子集，如下共有35个：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，因为中集合满足X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集，所以中元素满足要求的有：、、、、、、，共有7个；、、、、、、，共有7个；、、、、、、，共有7个；、、、、、、，共有7个；、、、、、、，共有7个；、、、、、、，共有7个；、、、、、、，