第65讲、双曲线及其性质（学生版）

第65讲双曲线及其性质知识梳理知识点一：双曲线的定义平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．（3）时，点的轨迹不存在．在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：=1\*GB3①条件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．知识点二：双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质标准方程图形A2A2焦点坐标，，对称性关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标，，范围实轴、虚轴实轴长为，虚轴长为离心率渐近线方程令，焦点到渐近线的距离为令，焦点到渐近线的距离为点和双曲线的位置关系共焦点的双曲线方程共渐近线的双曲线方程切线方程为切点为切点切线方程对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．切点弦所在直线方程为双曲线外一点为双曲线外一点点为双曲线与两渐近线之间的点弦长公式设直线与双曲线两交点为，，．则弦长，，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．通径通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为焦点三角形双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，设，，，则，，焦点三角形中一般要用到的关系是等轴双曲线等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．【解题方法总结】（1）双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．（2）点与双曲线的位置关系对于双曲线，点在双曲线内部，等价于．点在双曲线外部，等价于结合线性规划的知识点来分析．（3）双曲线常考性质性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数；性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）（5）双曲线的切线点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为必考题型全归纳题型一：双曲线的定义与标准方程例1．（2024·全国·模拟预测）已知，分别是离心率为2的双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点，，且，，则的标准方程为.例2．（2024·山东临沂·高二校考期末）已知双曲线：（，），矩形的四个顶点在上，，的中点为的两个焦点，且，则双曲线的标准方程是．例3．（2024·高二课时练习）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为．变式1．（2024·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）渐近线方程为且经过点的双曲线标准方程为．变式2．（2024·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）若双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则双曲线C的标准方程是．变式3．（2024·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是．变式4．（2024·全国·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，M是双曲线C的右支上一点，双曲线C的焦点到渐近线的距离为3，与的夹角为，，则双曲线C的标准方程为.变式5．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线，四点、、、中恰有三点在上，则双曲线的标准方程为．变式6．（2024·高二课时练习）（1）若双曲线过点，离心率，则其标准方程为．（2）若双曲线过点，渐近线方程是，则其标准方程为．（3）若双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过点，则其标准方程为．【解题方法总结】求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数，，，即利用待定系数法求方程．（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程．题型二：双曲线方程的充要条件例4．（2024·全国·高三对口高考）若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．例5．（2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例6．（2024·全国·高三专题练习）若方程表示双曲线，则m的取值范围是（

）A．或 B．C．或 D．变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知方程，则E表示的曲线形状是（

）A．若，则E表示椭圆B．若E表示双曲线，则或C．若E表示双曲线，则焦距是定值D．若E的离心率为，则变式8．（2024·四川南充·统考三模）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（

）A． B．C． D．【解题方法总结】表示椭圆的充要条件为：；表示双曲线方程的充要条件为：；表示圆方程的充要条件为：．题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题例7．（2024·广东揭阳·高三校考开学考试）已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（

）A． B．C． D．例8．（2024·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（

）A．18 B．10 C．9 D．6例9．（2024·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（

）A． B． C． D．变式9．（2024·湖北恩施·校考模拟预测）已知，分别为双曲线C：的左右焦点，且到渐近线的距离为1，过的直线与C的左、右两支曲线分别交于两点，且，则下列说法正确的为（

）A．的面积为2 B．双曲线C的离心率为C． D．变式10．（2024·全国·高三专题练习）设双曲线C的左、右焦点分别为，，且焦距为，P是C上一点，满足，，则的周长为．变式11．（2024·全国·高三专题练习）双曲线的左､右焦点分别是､，过的弦AB与其右支交于A､B两点，，则的周长为（

）A． B． C． D．变式12．（2024·云南保山·统考模拟预测）已知是离心率等于的双曲线的左右焦点，过焦点的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，若的周长20，则等于（

）A．10 B．8 C．6 D．4变式13．（2024·全国·高三专题练习）设，分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（

）A． B． C． D．变式14．（2024·全国·高三专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，下列说法正确的是（

）A．若为直角三角形，则的周长是B．若为直角三角形，则的面积是6C．若为锐角三角形，则的取值范围是D．若为钝角三角形，则的取值范围是变式15．（2024·吉林四平·高三双辽市第一中学校联考期末）设双曲线的左、右焦点分别、，点为双曲线右支上一点，的内切圆圆心为，则的面积与的面积之差为（

）A． B． C． D．变式16．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上一点P使得，求的面积（

）A． B． C． D．变式17．（2024·上海浦东新·统考三模）设为双曲线（）的上一点，，（为左、右焦点），则的面积等于（

）A． B． C． D．【解题方法总结】对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用，及余弦定理等知识；若未知角，则用．题型四：双曲线上两点距离的最值问题例10．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的左右焦点为，，点为双曲线上任意一点，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．3例11．（2024·全国·高三专题练习）已知是双曲线上一点，是左焦点，是右支上一点，与的内切圆切于点，则的最小值为

A． B． C． D．例12．（2024·全国·高三专题练习）已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是．变式18．（2024·河北衡水·统考模拟预测）已知双曲线，其右焦点为，为其上一点，点满足=1，，则的最小值为(

)A．3 B． C．2 D．变式19．（2024·高二课时练习）已知直线l与双曲线交于A，B两点，且（为坐标原点），若M是直线上的一个动点，则的最小值为（

）A．12 B．6 C．16 D．8变式20．（2024·广东韶关·高二统考期末）已知点，是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C右支上一点，过点向的角平分线作垂线，垂足为点Q，则点和点Q距离的最大值为（

）A．2 B． C．3 D．4【解题方法总结】利用几何意义进行转化．题型五：双曲线上两线段的和差最值问题例13．（2024·江苏徐州·高二统考期中）已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（

）A． B． C． D．例14．（2024·全国·高二专题练习）已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（

）A． B．C． D．例15．（2024·全国·高二专题练习）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8变式21．（2024·宁夏银川·校联考二模）已知拋物线上一点到准线的距离为是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（

）A．12 B．11 C．10 D．9变式22．（2024·全国·高二专题练习）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（

）A． B． C． D．变式23．（2024·福建宁德·高三统考阶段练习）已知双曲线，点F是C的右焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则的最小值为（

）A． B． C．8 D．10变式24．（2024·全国·高二专题练习）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（

）A． B． C． D．变式25．（2024·全国·高二专题练习）设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（

）A．6 B．9 C．12 D．14变式26．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知点是右焦点为的双曲线上一点，点是圆上一点，则的最小值是.变式27．（2024·全国·高二专题练习）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（

）A．5 B． C．7 D．8变式28．（2024·全国·高一专题练习）已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（

）A． B． C．7 D．8变式29．（2024·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考期中）已知是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．变式30．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的最小值为A． B． C． D．【解题方法总结】在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．题型六：离心率的值及取值范围方向1：利用双曲线定义去转换例16．（2024·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知，分别为双曲线Ε：的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点（点A在第一象限），延长交E于点C，若，，则双曲线E的离心率为（

）A． B．2 C． D．例17．（2024·陕西西安·高三校联考开学考试）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于，两点（点在第一象限），延长交于点，若，，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．1例18．（2024·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．变式31．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，过原点的直线与相交于两点，，四边形的面积等于，则的离心率等于（

）A． B． C．2 D．变式32．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，已知双曲线的左､右焦点分别是，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为，则的离心率为（

）

A． B． C．2 D．3方向2：建立关于和的一次或二次方程与不等式变式33．（2024·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．变式34．（2024·湖南·校联考模拟预测）如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左、右两支于两点，且，则双曲线的离心率为（

）

A． B． C． D．变式35．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）已知是双曲线的一个焦点，为的虚轴的一个端点，（为坐标原点），直线垂直于的一条渐近线，则的离心率为（

）A． B． C． D．变式36．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，一条渐近线与圆在第一象限交于点，交轴于点，且，则的离心率为（

）A． B．2C． D．变式37．（2024·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知双曲线为左焦点，分别为左､左顶点，为右支上的点，且（为坐标原点）.若直线与以线段为直径的圆相交，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．变式38．（2024·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．方向3：利用，其中为焦距长，变式39．（2024·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知分别是双曲线的左､右焦点，斜率为的直线过，交的右支于点，交轴于点，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．变式40．（2024·四川巴中·高三统考开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段恰被轴平分，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．3变式41．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知点是双曲线右支上一点，分别是的左、右焦点，若的角平分线与直线交于点，且，则的离心率为（

）A．2 B． C．3 D．变式42．（2024·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）已知，分别是双曲线C：（，）的两个焦点，P为双曲线C上一点，且，那么双曲线C的离心率为（

）A． B． C．2 D．方向4：坐标法变式43．（2024·上海嘉定·校考三模）已知双曲线的离心率为，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则（

）A． B．C． D．变式44．（2024·江西·江西师大附中校考三模）已知是双曲线C：的左焦点，，直线与双曲线有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．变式45．（2024·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）圆（为原点）是半径为的圆分别与轴负半轴､双曲线的一条渐近线交于两点（在第一象限），若的另一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（

）A．3 B．2 C． D．变式46．（2024·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考开学考试）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限的点，且轴.若直线PB与直线PA的斜率之比为3，则C的离心率为（

）A． B． C．2 D．3变式47．（2024·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）如图，已知双曲线的右焦点为，点分别在的两条渐近线上，且在第一象限，为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（

）

A． B．C． D．变式48．（2024·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）设过原点且倾斜角为的直线与双曲线C：的左，右支分别交于A、B两点，F是C的焦点，若三角形的面积大于，则C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．方向5：找几何关系，利用余弦定理变式49．（2024·河南郑州·三模）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．变式50．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若，的周长为8a，则C的离心率为（

）A． B．C． D．变式51．（2024·江西南昌·校联考模拟预测）已知分别为双曲线E：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于两点．若是等边三角形，则双曲线E的离心率为（

）A． B．3 C． D．变式52．（2024·江苏·校联考模拟预测）已知圆O：与双曲线C：的右支交于点A，B，若，则C的离心率为（

）A．2 B． C． D．变式53．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于点为坐标原点，过点作，垂足为，若，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．变式54．（2024·重庆·统考模拟预测）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，点为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点B，若，且，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C．2 D．变式55．（2024·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）已知分别是双曲线的左、右焦点，过点作直线交于两点.现将所在平面沿直线折成平面角为锐角的二面角，如图，翻折后两点的对应点分别为，且若，则的离心率为（

）

A． B． C． D．变式56．（2024·河南·校联考二模）已知双曲线：的左､右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，，，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．方向6：找几何关系，利用正弦定理变式57．（多选题）（2024·湖南·高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为（

）A． B． C． D．2变式58．（2024·全国·高三专题练习（理））已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．变式59．（2024·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知、分别为双曲线C：的左、右焦点，O为原点，双曲线上的点P满足，且，则该双曲线C的离心率为（

）A． B． C．2 D．方向7：利用基本不等式变式60．（2024·四川成都·高三开学考试（文））已知双曲线，F为右焦点，过点F作轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当取得最大值时，双曲线的离心率为______．变式61．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________．变式62．（2024·四川·高三开学考试（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的部分的旋转体．若该双曲线上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为______．方向8：利用渐近线的斜率求离心率变式63．（2024·广西·校联考模拟预测）已知双曲线C：，O为坐标原点，过C的右焦点F作C的一条渐近线的平行线交C的另一条渐近线于点Q，若，则C的离心率为（

）A． B．3 C． D．变式64．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．变式65．（2024·山东聊城·统考三模）已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为（）A． B． C． D．变式66．（2024·辽宁葫芦岛·统考二模）设F1，F2是双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝3|OP|，则C的离心率为（

）A． B．2 C． D．变式67．（2024·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知P为双曲线上的动点，O为坐标原点，以OP为直径的圆与双曲线C的两条渐近线交于，两点（A，B异于点O），若恒成立，则该双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．变式68．（2024·四川雅安·高三雅安中学校联考阶段练习）已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（

）A． B．或C． D．或变式69．（2024·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P为第一象限内一点，且点P在双曲线C的一条渐近线上，，且，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．变式70．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知双曲线C的方程为，斜率为的直线与圆相切于M，与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B，且M为AB中点，则双曲线C的离心率为（

）A．2 B． C． D．变式71．（2024·江苏无锡·校联考三模）已知点在双曲线上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的最大值为（

）A． B． C．2 D．方向9：利用双曲线第三定义变式72．（多选题）（2024·云南·罗平县第一中学高二期中）已知双曲线：的左焦点为，过点作的一条渐近线的平行线交于点，交另一条渐近线于点.若，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的离心率为B．双曲线的渐近线方程为C．点到两渐近线的距离的乘积为D．为坐标原点，则变式73．（2024·湖南郴州·高二期末）双曲线的左右顶点为，过原点的直线与双曲线交于两点，若的斜率满足，则双曲线的离心率为_________．变式74．（2024·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）设直线与双曲线相交于两点，为上不同于的一点，直线的斜率分别为，若的离心率为，则（

）A．3 B．1 C．2 D．变式75．（2024·江西南昌·统考三模）不与x轴重合的直线l经过点，双曲线上存在两点关于l对称，中点M的横坐标为，若，则C的离心率为（

）A． B． C．2 D．方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围变式76．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为.若双曲线的右支上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围为___________.变式77．（2024·吉林长春·二模（文））已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是A． B． C． D．变式78．（2024·江苏·金沙中学高二阶段练习）设双曲线的焦距为，左、右焦点分别是，，点P在C的右支上，且，则C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．变式79．（2024·山西·朔州市朔城区第一中学校高二开学考试）设双曲线的左､右焦点分别为､，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．变式80．（2024·湖南·衡阳市八中一模（文））已知双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为（

）A． B． C． D．变式81．（2024·全国·高三专题练习）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【解题方法总结】求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围．具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法．题型七：双曲线的简单几何性质问题例19．（2024·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）等轴双曲线的焦距为.例20．（2024·四川自贡·统考三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B点，则的内切圆的半径为．例21．（2024·四川·校联考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过双曲线上一点（）的直线与直线相交于点，与直线相交于点，则.变式82．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，存在过点的直线与双曲线的右支交于两点，且为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线的方程：．变式83．（2024·陕西渭南·统考一模）已知双曲线的焦距为4，焦点到C的一条渐近线的距离为1，则C的渐近线方程为变式84．（2024·江西南昌·校联考模拟预测）已知双曲线（，）的一条渐近线恰好平分第一、三象限，若的虚轴长为4，则的实轴长为.变式85．（2024·河北唐山·统考二模）已知直线：过双曲线：的一个焦点，且与的一条渐近线平行，则的实轴长为．变式86．（2024·北京房山·高三统考开学考试）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于两点，则.【解题方法总结】处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混．题型八：利用第一定义求解轨迹例22．（2024·全国·高三对口高考）已知动圆P过点，且与圆外切，则动圆P圆心的轨迹方程为.例23．（2024·全国·高考真题）设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为．例24．（2024·全国·高三专题练习）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.变式87．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线，、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的平分线，过作的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为．变式88．（2024·全国·高三专题练习）已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是.变式89．（2024·全国·高三专题练习）若动圆与两定圆及都外切，则动圆圆心的轨迹方程是.变式90．（2024·全国·高三专题练习）已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为.变式91．（2024·全国·高三专题练习）已知A(－5，0)，B(5，0)，动点P满足，，8成等差数列，则点P的轨迹方程为.变式92．（2024·全国·高三专题练习）已知点，，，动圆与直线切于点，分别过点且与圆相切的两条直线相交于点，则点的轨迹方程为.变式93．（2024·全国·高三专题练习）若动圆过定点且和定圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是.变式94．（2024·全国·高三专题练习）已知点是双曲线右支上一动点，是双曲线的左、右焦点，动点满足下列条件：①，②，则点的轨迹方程为.变式95．（2024·河北张家口·高三统考阶段练习）已知圆：和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是.变式96．（2024·全国·高三专题练习）在△ABC中，A为动点，B，C为定点，(a