第64讲、椭圆及其性质（学生版）

第64讲椭圆及其性质知识梳理知识点一：椭圆的定义平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在．知识点二：椭圆的方程、图形与性质椭圆的方程、图形与性质所示．焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程统一方程参数方程第一定义到两定点的距离之和等于常数2，即（）范围且且顶点、、、、轴长长轴长，短轴长长轴长，短轴长对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称焦点、、焦距离心率准线方程点和椭圆的关系切线方程（为切点）（为切点）对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得切点弦所在的直线方程焦点三角形面积①，（为短轴的端点）②③焦点三角形中一般要用到的关系是焦半径左焦半径：又焦半径：上焦半径：下焦半径：焦半径最大值，最小值通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）弦长公式设直线与椭圆的两个交点为，，，则弦长（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）【解题方法总结】（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为．①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为．（2）椭圆的切线①椭圆上一点处的切线方程是；②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是；③椭圆与直线相切的条件是．必考题型全归纳题型一：椭圆的定义与标准方程例1．（2024·高二课时练习）已知椭圆C上任意一点都满足关系式，则椭圆C的标准方程为.例2．（2024·山东青岛·统考三模）已知椭圆的长轴长为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的标准方程为．例3．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为．变式1．（2024·浙江绍兴·绍兴一中校考模拟预测）已知椭圆E：（），F是E的左焦点，过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的斜率为，的面积为，则E的标准方程为.变式2．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为.变式3．（2024·北京·高二北大附中校考期末）与双曲线有相同焦点，且长轴长为6的椭圆标准方程为.变式4．（2024·福建福州·高二福建省福州屏东中学校考期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且，且，，则的标准方程为.变式5．（2024·山东青岛·高二青岛二中校考期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是．变式6．（2024·浙江丽水·高三校考期中）我们把焦点在同一条坐标轴上，且离心率相同的椭圆叫做“相似椭圆”.若椭圆，则以椭圆E的焦点为顶点的相似椭圆F的标准方程为.变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点（异于M、N），的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为.变式8．（2024·高二课时练习）已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过和两点，则椭圆的标准方程为.【解题方法总结】（1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程.注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为.②与椭圆共焦点的椭圆可设为.③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）.题型二：椭圆方程的充要条件例4．（2024·全国·高三对口高考）若是任意实数，方程表示的曲线不可能是（

）A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线例5．（2024·上海徐汇·位育中学校考三模）已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（

）A．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆B．当曲线表示双曲线时，的取值范围是C．当时，曲线表示一条直线D．存在，使得曲线为等轴双曲线例6．（2024·全国·高三专题练习）已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程；

乙：可以是抛物线的方程；丙：可以是椭圆的标准方程；

丁：可以是双曲线的标准方程．其中，真命题有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式9．（2024·全国·高三专题练习）“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件变式10．（2024·云南楚雄·高三统考期末）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件变式11．（2024·全国·高三专题练习）设为实数，则曲线：不可能是（

）A．抛物线 B．双曲线 C．圆 D．椭圆变式12．（2024·广西钦州·高三校考阶段练习）“”是方程“表示椭圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条【解题方法总结】表示椭圆的充要条件为：；表示双曲线方程的充要条件为：；表示圆方程的充要条件为：.题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题例7．（2024·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．5例8．（2024·北京·高三强基计划）如图，过椭圆的右焦点作一条直线，交椭圆于A，B两点，则的内切圆面积可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4例9．（2024·江西·高三统考阶段练习）已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若的周长为4，则（

）A．2 B．3 C． D．变式13．（2024·河南·高三阶段练习）已知分别为椭圆的两个焦点，且的离心率为为椭圆上的一点，则的周长为（

）A．6 B．9 C．12 D．15变式14．（2024·全国·校联考模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（

）A． B．C． D．变式15．（2024·广东梅州·统考三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆的一个交点为，若，则的面积为（

）A． B． C．4 D．变式16．（2024·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）椭圆的两焦点分别为，是椭圆上一点，当的面积取得最大值时，（

）A． B． C． D．变式17．（2024·河南开封·统考三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（

）A．6 B．12 C． D．变式18．（2024·全国·高三专题练习）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．5变式19．（2024·全国·高三专题练习）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（

）A． B． C． D．变式20．（2024·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）若椭圆的离心率为，两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则（

）A．2 B． C．4 D．变式21．（2024·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点，若，则的面积等于（

）A．18 B．10 C．9 D．6变式22．（2024·贵州黔西·校考一模）设椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为．P是C上一点，且．若的面积为2，则（

）A．1 B．2 C． D．4变式23．（2024·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则的面积为（

）A． B． C． D．变式24．（2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上的一点与两个焦点的距离的和等于4，且，则的面积为（

）A． B． C． D．变式25．（2024·河北唐山·统考三模）已知椭圆的两个焦点分别为，点为上异于长轴端点的任意一点，的角平分线交线段于点，则（

）A． B． C． D．【解题方法总结】焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即.题型四：椭圆上两点距离的最值问题例10．（2024·湖南·校联考二模）已知分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为（

）A．64 B．16 C．8 D．4例11．（2024·云南·高三校联考阶段练习）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为（

）A．9 B．16 C．25 D．50例12．（2024·河南·高三期末）已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式26．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式27．（2024·全国·高三专题练习）若椭圆C：，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为（）A．3 B．2＋C．2 D．＋1变式28．（2024·全国·高三专题练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（

）A． B． C．5 D．6【解题方法总结】利用几何意义进行转化.题型五：椭圆上两线段的和差最值问题例13．（2024·北京·高三强基计划）设实数x，y满足，则的最小值为（

）A． B．C． D．前三个答案都不对例14．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（

）A．7 B．8 C．9 D．11例15．（2024·江苏·统考三模）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则PQ＋PF的最大值为（

）A．3 B．6C． D．变式29．（2024·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）若平面向量满足，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．变式30．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左焦点为是上一点，，则的最大值为（

）A．7 B．8 C．9 D．11变式31．（2024·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7变式32．（2024·全国·高三专题练习）已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（

）A．2 B． C．4 D．变式33．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆外一点A(5，6)，l为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，则的最小值为（

）A． B． C． D．变式34．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（

）A．1 B．－1 C． D．【解题方法总结】在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．题型六：离心率的值及取值范围方向1：利用椭圆定义去转换例16．（2024·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条的处钻一个小孔，可以容纳笔尖，各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当各在一条槽内移动时，处笔尖就画出一个椭圆.已知，且在右顶点时，恰好在点，则的离心率为（

）A． B． C． D．例17．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．例18．（2024·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知椭圆C的左右焦点分别为，，P，Q为C上两点，，若，则C的离心率为（

）A． B． C． D．变式35．（2024·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）如图，已知圆柱底面半径为2，高为3，是轴截面，分别是母线上的动点（含端点），过与轴截面垂直的平面与圆柱侧面的交线是圆或椭圆，当此交线是椭圆时，其离心率的取值范围是（

）

A． B． C． D．变式36．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．变式37．（2024·重庆巴南·统考一模）椭圆的左右焦点为，，点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N满足，，若四边形的周长等于，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．变式38．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知M，N是椭圆上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于的点，且的最大值是，则椭圆C的离心率是（

）A． B． C． D．方向2：利用与建立一次二次方程不等式变式39．（2024·四川绵阳·高三盐亭中学校考阶段练习）椭圆​的左、右焦点分别为​，焦距为​，若直线​与椭圆​的一个交点为​在​轴上方，满足​，则该椭圆的离心率为（

）A．​ B．​C．​ D．​变式40．（2024·广东深圳·高三校考阶段练习）已知椭圆E：的右焦点为，左顶点为，若E上的点P满足轴，，则E的离心率为（

）A． B． C． D．变式41．（2024·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知为坐标原点，是椭圆上一点，F为右焦点.延长，交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．变式42．（2024·河南开封·校考模拟预测）已知椭圆，，分别是的左顶点和上顶点，是的左焦点，若，则的离心率为（

）A． B．C． D．变式43．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别是，斜率为的直线经过左焦点且交于两点（点在第一象限），设△的内切圆半径为的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率的值为（

）A． B．C． D．变式44．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左顶点为，右焦点为F，B为椭圆上一点，，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．变式45．（2024·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．方向3：利用最大顶角满足变式46．（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．变式47．（2024·全国·高三专题练习）设、是椭圆的左、右焦点，若椭圆外存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围______．变式48．（2024·北京丰台二中高三阶段练习）已知，分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上存在点使得（，是已知数），则该椭圆离心率的取值范围是________.变式49．（2024·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆离心率的取值范围是________．方向4：坐标法变式50．（2024·云南·校联考模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，（如图），过的直线交于，两点，且轴，，则的离心率为（

）

A． B． C． D．变式51．（2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（

）A． B． C． D．变式52．（2024·广东佛山·校考模拟预测）已知椭圆的下焦点为，右顶点为，直线交椭圆于另一点，且，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．变式53．（2024·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设是椭圆的上顶点，是上的一个动点．当运动到下顶点时，取得最大值，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．变式54．（2024·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）已知椭圆C：（）的左焦点为，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．变式55．（2024·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知椭圆的右焦点为，过右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．变式56．（2024·湖南·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左，右焦点为，离心率为，又点是椭圆上异于长轴端点的两点，且满足，若，则（

）A．5 B．4 C．3 D．2变式57．（2024·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知，是椭圆的左、右焦点，是的上顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（

）A． B． C． D．变式58．（2024·全国·高三对口高考）在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以原点O为圆心，a为半径作圆O，过点作圆O的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．变式59．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考开学考试）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．方向5：找几何关系，利用余弦定理变式60．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．变式61．（2024·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）设点、分别为椭圆：的左右焦点，点，在椭圆上，若，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．变式62．（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．变式63．（2024·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的左焦点为，若椭圆上存在点P，使得线段与直线垂直垂足为Q，若，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．变式64．（2024·江西南昌·校联考二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线经过点交于，两点，点在上，，，，则的离心率为（

）A． B． C． D．变式65．（2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．方向6：找几何关系，利用正弦定理变式66．（2024·全国·高三专题练习）已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（

）A． B． C． D．变式67．（2024·全国·高三专题练习（理））已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得中，，则该椭圆离心率的取值范围为()A．(0，－1) B． C． D．(－1,1)变式68．（2024·全国·高三专题练习）过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（

）A． B．C． D．变式69．（2024·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是______．变式70．（2024·全国·高三专题练习）过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（

）A． B．C． D．方向7：利用基本不等式变式71．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．变式72．（2024·江苏南京·高三阶段练习）设、分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆准线上一点，的最大值为60°，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．变式73．（2024·山西运城·高三期末（理））已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________.变式74．（2024·全国·高三专题练习）已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，记椭圆的离心率为e，则的取值范围是___________.方向8：利用焦半径的取值范围为．变式75．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．变式76．（2024·广西南宁·二模（理））已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围是______.变式77．（2024·河南·信阳高中高三期末（文））若椭圆上存在一点，使得，其中分别是的左、右焦点，则的离心率的取值范围为______.变式78．（2024·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．变式79．（2024·陕西西安·统考三模）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，若椭圆上一点Р到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．变式80．（2024·全国·模拟预测）已知，分别是椭圆C：的左､右焦点，B是椭圆C的上顶点，P是椭圆C上任意一点，且C的焦距大于短轴长，若的最大值是的最小值的倍，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C．或 D．方向9：利用椭圆第三定义．变式81．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C：（），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率的取值范围是______．变式82．（2024·全国·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（

）A． B．C． D．变式83．（2024·内蒙古赤峰·校联考三模）下列结论：①若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是；②双曲线与椭圆的焦点相同．③M是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则或1．④直线与椭圆C：交于P，Q两点，A是椭圆上任一点（与P，Q不重合），已知直线AP与直线AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为．错误的个数是（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个变式84．（2024·河南·校联考模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．变式85．（2024·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，点是椭圆上关于轴对称的两点.若直线的斜率之积为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【解题方法总结】求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.题型七：椭圆的简单几何性质问题例19．（2024·甘肃陇南·高三统考期中）已知双曲线的一个焦点是，椭圆的焦距等于，则．例20．（2024·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）若抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点，则.例21．（2024·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等腰直角三角形，则.变式86．（2024·四川南充·高三统考期中）已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为．变式87．（2024·全国·高三专题练习）若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为.变式88．（2024·全国·高三专题练习）AB是平面上长度为4的一条线段，P是平面上一个动点，且，M是AB的中点，则的取值范围是．变式89．（2024·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，，使得它们分别与圆锥的侧面和平面都相切，平面分别与球，相切于点，.数学家GerminalDandelin利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为Dandelin双球.若球，的半径分别为6和3，球心距离，则此椭圆的长轴长为.

变式90．（2024·全国·高三专题练习）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）到地面的距离为，近地点（长轴端点中离地面最近的点）到地面的距离为，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为（用，，R表示）．【解题方法总结】标准方程图形性质焦点，，焦