第60讲、直线与圆、圆与圆的位置关系（教师版）

②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．（2）常见圆的切线方程过圆上一点的切线方程是；过圆上一点的切线方程是．题型四：切点弦问题例10．（2024·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）从抛物线上一点作圆：得两条切线，切点为，则当四边形面积最小时直线方程为.【答案】【解析】如图，由题可知，，由对称性可知，所以求四边形的最小面积即求的最小值设，，则当，即时，，四边形的最小面积为所以所以以为直径的圆的方程为：则为以圆和以为直径的圆的公共弦如图所示两圆方程作差得：所以直线方程为故答案为：例11．（2024·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）已知圆，过直线上任意一点，作圆的两条切线，切点分别为两点，则的最小值为.【答案】【解析】由题意得，圆的圆心为，半径为，如图所示，根据圆的切线长公式，可得，则，当取最小值时，取最小值，此时，则，则.故答案为：.例12．（2024·北京·高三强基计划）如图，过椭圆上一点M作圆的两条切线，过切点的直线与坐标轴于P，Q两点，O为坐标原点，则面积的最小值为（

）A． B． C． D．前三个答案都不对【答案】B【解析】设点，由于点M在椭圆上，所以，由切点弦方程，所以，由于，当时，上述不等式取等号，取得最大值3，此时面积取得最小值．故选：B.变式23．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圆，设，则，则，，则，所以圆心到直线的距离是，，得，．故选：A．变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则圆心到直线的距离的最大值为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由题意可得的圆心到直线的距离为，即与圆相离；设为直线上的一点，则，过点P作圆的切线，切点分别为，则有，则点在以为直径的圆上，以为直径的圆的圆心为，半径为，则其方程为，变形可得，联立，可得：，又由，则有，变形可得，则有，可得，故直线恒过定点，设，由于，故点在内，则时，C到直线的距离最大，其最大值为,故选∶B变式25．（2024·重庆·统考模拟预测）若圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为、，则直线恒过定点，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知：圆的圆心在直线上，即有，设点，则，故以为直径的圆的方程为：，将和相减，即可得直线的方程，即，则直线恒过定点，故选：C变式26．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知圆：，点M在抛物线：上运动，过点引直线与圆相切，切点分别为，则下列选项中能取到的值有（

）A．2 B． C． D．【答案】BC【解析】解析：如图，连接，题意，，而，而，则垂直平分线段，于是得四边形面积为面积的2倍，从而得，即，设点，而，则，即，所以，即，得，所以的取值范围为．故选BC．变式27．（2024·江苏南京·高三统考开学考试）过抛物线上一点作圆的切线，切点为、，则当四边形的面积最小时，直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】连接、，圆的圆心为，半径为，易知圆心为抛物线的焦点，设点，则，则，当且仅当时，等号成立，此时点与坐标原点重合，由圆的几何性质可得，，由切线长定理可得，则，所以，，所以，，此时点与坐标原点重合，且圆关于轴对称，此时点、也关于轴对称，则轴，在中，，，，则，所以，，因此，直线的方程为.故选：C.【解题方法总结】过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．题型五：圆上的点到直线距离个数问题例13．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】将圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径为，设与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为，则，解得或，所以，直线、均与圆相交，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.故选：C.例14．（2024·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】圆C：的圆心，半径R点C到直线的距离为圆C上恰好存在2个点到直线的距离为1，则故选：B例15．（2024·全国·高三专题练习）已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为()A． B．C． D．【答案】A【解析】由圆的方程可知圆心为，半径为2，因为圆上的点到直线的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线的距离，即，解得，故选A.变式28．（2024·全国·高三专题练习）若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为圆心到直线的距离，故要满足题意，只需，解得.故选：A.变式29．（1991·全国·高考真题）圆上到直线的距离为的点共有A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【解析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.圆可变为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离，圆上到直线的距离为的点共有个.故选：C.变式30．（2024·全国·高三专题练习）若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得的取值范围．作出到直线的距离为1的点的轨迹，得到与直线平行，且到直线的距离等于1的两条直线，圆的圆心为原点，原点到直线的距离为，两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为，又圆上有4个点到直线的距离为1，两条平行线与圆有4个公共点，即它们都与圆相交．由此可得圆的半径，即，实数的取值范围是．故选：．【解题方法总结】临界法题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题例16．（2024·湖北·统考模拟预测）已知点在圆运动，若对任意点，在直线上均存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，由题可知，圆心为点，半径为1，若直线上存在两点，使得恒成立，则始终在以为直径的圆内或圆上，点到直线的距离为，所以长度的最小值为.故选：D例17．（2024·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知圆，点在直线上，过点作直线与圆相切于点，则的周长的最小值为.【答案】/【解析】由圆知圆心，半径，因为与圆相切于点，所以，所以，所以越小，越小，当时，最小，因为圆心到直线的距离为，所以的最小值为6，此时，，，故的周长的最小值为.故答案为：.例18．（2024·河北石家庄·高三校联考阶段练习）如图，正方形的边长为4，是边上的一动点，交于点，且直线平分正方形的周长，当线段的长度最小时，点到直线的距离为.

【答案】【解析】根据题意平分正方形周长，可得恒过正方形的中心，设的中心为点，由可知，点的轨迹是以为直径的圆，以为坐标原点，为轴，为轴建立直角坐标系，则，，，，以为直径的圆的方程为，设为圆心，可知坐标为，当最小时，，，三点共线，可知此时直线的方程为，则点到直线的距离为.故答案为：.变式31．（2024·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是.【答案】【解析】对于，当时，，当时，，所以，所以，圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为，所以点P到直线的距离的最大值，点P到直线的距离的最小值，所以面积的最大值为，面积的最小值为，所以面积的取值范围是，故答案为：变式32．（2024·上海徐汇·高三上海民办南模中学校考阶段练习）若，则的最小值为.【答案】【解析】曲线表示的是以点为圆心，以为半径的圆，表示点到点的距离，表示点到直线的距离，设点在直线上的射影点为，则，当且仅当、、三点共线且点为线段与圆的交点时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.变式33．（2024·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知圆与直线相切，函数过定点，过点作圆的两条互相垂直的弦，则四边形面积的最大值为.【答案】5【解析】由题意圆与直线相切，圆心为，半径为，函数过定点如图连接OA、OD作垂足分别为E、F，，四边形OEMF为矩形，已知，，设圆心O到AC、BD的距离分别为、，则四边形ABCD的面积为：，从而：，当且仅当时即取等号，故四边形ABCD的面积最大值是5，故答案为：5.变式34．（2024·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是．【答案】【解析】均为单位向量且，不妨设，，且，，，，的几何意义表示的是点到和两点的距离之和的2倍，点在单位圆内，点在单位圆外，则点到和两点的距离之和的最小值即为和两点间距离，所求最小值为.故答案为：.变式35．（2024·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知，直线为上的动点，过点作的切线，切点为，当最小时，直线的方程为.【答案】【解析】圆的方程可化为，则圆心，半径，可得点到直线的距离为，所以直线与圆相离，依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，原题意等价于取到最小值，当直线时，，此时最小.的直线方程为：，与联立，解得：，即，则的中点为，所以以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即直线的方程为.故答案为：.变式36．（2024·全国·高三专题练习）已知，点A为直线上的动点，过点A作直线与相切于点P，若，则的最小值为.【答案】【解析】设，，连接，所以，且，所以，，所以求的最小值可转化为求到两点和距离和的最小值，如图，连接即可，所以，故答案为：.变式37．（2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）若直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则|PM|的最大值为．【答案】【解析】直线过定点，直线过定点，显然这两条直线互相垂直，因此在以为直径的圆上，设该圆的圆心为，显然点的坐标为，所以该圆的方程为，由圆的切线性质可知：，要想|PM|的值最大，只需的值最大，当点在如下图位置时，的值最大，即，所以|PM|的最大值为，故答案为：变式38．（2024·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知函数的图象恒过定点A，圆上两点，满足，则的最小值为．【答案】【解析】因为时，，所以函数的图象过定点，因为，所以点三点共线，，因为，为圆上两点，所以点为过点的直线与圆的两个交点，设线段的中点为，则，因为表示点，到直线的距离和，表示表示点到直线的距离，分别过点作与直线垂直，垂足为，则，所以，因为，直线过点，所以，所以，所以，化简可得，即点在圆上，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以点到直线的距离的最小值为，所以，所以，所以，故答案为：.变式39．（2024·四川成都·统考模拟预测）已知圆C：与直线l：交与A，B两点，当|AB|最小值时，直线l的一般式方程是.【答案】【解析】由圆的方程可得圆心为，直线的方程可整理为，令，解得，所以直线过定点，当垂直直线时，最小，所以，解得，所以直线的方程为，即.故答案为：.变式40．（2024·北京西城·高三北京市回民学校校考阶段练习）已知圆与直线相交于两点，则的最小值是.【答案】【解析】根据题意，圆即，圆心的坐标为，半径，直线，即，恒过定点，又由圆的方程为，则点在圆内，分析可得：当直线与垂直时，弦最小，此时，则的最小值为；故答案为：.变式41．（2024·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知分别是圆，圆上动点，是直线上的动点，则的最小值为．【答案】3【解析】，，，，，设关于的对称点为，则，解得，即.所以圆关于直线的对称圆：因为，，所以.故答案为：3变式42．（2024·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足：，则的取值范围是．【答案】【解析】解法一：因为，所以令，，则，，故，其中，，因为，所以，所以，故的取值范围为．解法二：因为圆心到直线的距离，所以圆心上的点到直线的距离的取值范围为，又因为，所以的取值范围是．故答案为：．变式43．（2024·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期中）已知是圆上两点，若，则的最大值为.【答案】4【解析】由，得为等腰直角三角形，设为的中点，则，且，则点在以为圆心，为半径的圆上，表示两点到直线的距离之和，两点到直线的距离之和等于中点到直线的距离的2倍，点到直线的距离为，所以点直线的距离的最大值为，所以的最大值为，所以的最大值为.故答案为：4.变式44．（2024·广东广州·高三广州市白云中学校考期中）已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为．【答案】【解析】，即，圆心为，半径，，即最小时，面积最小.，故四边形面积的最小值为.故答案为：变式45．（2024·全国·高三专题练习）设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，，，即．点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．若直线上存在点Q使得，则PQ为圆的切线时最大，，即．圆心到直线的距离，或．故选：C．变式46．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点.若的最大值为，则实数的值为（

）A．2 B．3 C．或 D．2或4【答案】C【解析】根据米勒定理，当最大时，的外接圆与轴正半轴相切于点.设的外接圆的圆心为，则，圆的半径为.因为为，所以，即为等边三角形，所以，即或，解得或.故选：C.变式47．（2024·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知直线与轴和轴分别交于A，两点，以点A为圆心，2为半径的圆与轴的交点为（在点A右侧），点在圆上，当最大时，的面积为（

）A． B．8 C． D．【答案】A【解析】如图所示，不难发现当BP为圆的一条位于AB下方的切线时满足最大，由题意可得，不妨设，则A到BP的距离为，或（舍去）.则，此时到BP的距离为，所以的面积为故选：A变式48．（2024·江西赣州·统考模拟预测）已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆交于A，B两点，则当最大时，（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【解析】依题意，在中，，如图，显然，是锐角，，又函数在上递增，因此当且仅当公共弦最大时，最大，此时弦为圆的直径，在中，，所以.故选：D变式49．（2024·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考期中）已知点P在圆上，点，，则错误的是（

）A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2C．当最小时， D．当最大时，【答案】B【解析】圆的圆心为，半径为4，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，则点到直线的距离的最小值为，最大值为，所以点到直线的距离小于10，但不一定大于2，故选项A正确，B错误；如图所示，当最大或最小时，与圆相切，点位于时最小，位于时最大），连接，，可知，，，由勾股定理可得，故选项CD正确．故选：B．变式50．（2024·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角原理”：对定点、和在直线上的动点，当与的外接圆相切时，最大．若，，是轴正半轴上一动点，当对线段的视角最大时，的外接圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，则，，，当且仅当时成立,解得，，设的外接圆的方程为，则，解得，，，的外接圆的方程为．故选：．【解题方法总结】直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题．题型七：圆与圆的位置关系例19．（2024·河南·校联考模拟预测）已知直线与圆相切，则满足条件的直线l的条数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由已知直线，则原点到直线l的距离为，由直线l与圆相切，则满足条件的直线l即为圆和圆的公切线，因为圆和圆外切，所以这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，所以满足条件的直线l有3条．故选:B．例20．（2024·黑龙江大庆·统考三模）已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【解析】由已知可得，圆心，半径.由点到直线的距离是2，所以直线是以为圆心，为半径的圆的切线，又直线是圆的切线，所以，直线是圆与圆的公切线.因为，所以，两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线有4条.故选：D.例21．（2024·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，则与的位置关系是（

）A．外切 B．内切 C．相交 D．外离【答案】C【解析】圆的圆心为，圆的圆心为，所以所以圆与的位置关系是相交.故选:C.变式51．（2024·全国·高三专题练习）圆：与圆：公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根据题意，圆：，即，其圆心为，半径；圆：，即，其圆心为，半径，两圆的圆心距，所以两圆相外切，其公切线条数有3条．故选：C．变式52．（2024·山西·校联考模拟预测）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【答案】B【解析】圆：的圆心为，半径为a，所以圆心到直线的距离为，解得或．因为，所以.所以圆：的圆心为，半径为．圆：的标准方程为，圆心坐标为，半径，圆心距，所以两圆相内切．所以两圆的公切线只有1条.故选：B．变式53．（2024·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)，在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】设P(x,y)，则(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，圆心为，半径为2，又圆圆心为，半径为2，因为，所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2.故选：B.变式54．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知两点，到直线的距离分别是1与4，则满足条件的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【解析】分别以为圆心，以为半径作圆，因为，所以两圆外切，有三条公切线，即满足条件的直线共有3条，故选：C变式55．（2024·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】由，得点P在圆上，故点P在圆上，又点P在圆C上，所以，两圆有交点，因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为1，所以，又，所以，解得，所以a的最小值为4.故选：C.变式56．（2024·全国·高三专题练习）已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为（

）A．3 B．8 C．4 D．9【答案】D【解析】因为圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，所以两圆相内切，其中C1(－2a，0)，r1＝2；C2(0，b)，r2＝1，故|C1C2|＝，由题设可知，当且仅当a2＝2b2时等号成立．故选：D.【解题方法总结】已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则：（1）两圆外离；（2）两圆外切；（3）两圆相交；（4）两圆内切；（5）两圆内含；题型八：两圆的公共弦问题例22．（2024·天津和平·耀华中学校考二模）圆与圆的公共弦所在的直线方程为．【答案】【解析】联立，两式相减得.故答案为：例23．（2024·河南·校联考模拟预测）若圆与圆交于P，Q两点，则直线PQ的方程为.【答案】【解析】∵圆与圆相交，则两圆方程之差即为直线PQ的方程，将与作差得，整理得，即直线PQ的方程为.故答案为：.例24．（2024·天津滨海新·统考三模）已知圆：与圆：，若两圆相交于A，B两点，则【答案】【解析】圆的方程为，即①，又圆：②，②－①可得两圆公共弦所在的直线方程为圆的圆心到直线的距离，所以．故答案为:.变式57．（2024·天津和平·耀华中学校考一模）圆与圆的公共弦的长为．【答案】【解析】将圆与圆的方程作差可得，所以，两圆相交弦所在直线的方程为，圆的圆心为原点，半径为，原点到直线的距离为，所以，两圆的公共弦长为.故答案为：.变式58．（2024·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知圆与圆相交于两点，则.【答案】【解析】将圆与圆的方程相减，即得的方程为，则的圆心为，半径为，则到直线的距离为，故，故答案为：变式59．（2024·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）已知圆与圆相交于两点，则.【答案】【解析】因为圆与圆相交于两点，所以直线AB的方程为：，即，圆心到弦AB的距离，所以，故答案为：.【解题方法总结】两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．题型九：两圆的公切线问题例25．（2024·全国·高三专题练习）点，到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足条件的直线l的方程：.【答案】或或（填其中一个即可）【解析】设，，连接MN，则.以M为圆心，1为半径作圆M，以N为圆心4为半径作圆N，则两圆外切，所以两圆有3条公切线，即符合条件的直线l有3条.当公切线的斜率不存在时，显然公切线的方程为.当公切线的斜率存在时，设公切线的方程为，则有，由①②得，所以或.由①及得，由①及得，所以公切线方程为或.综上，直线l的方程为或或.故答案为：或或例26．（2024·湖南岳阳·统考三模）写出与圆和都相切的一条直线方程．【答案】或中任何一个答案均可【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，则，所以两圆外离，由两圆的圆心都在轴上，则公切线的斜率一定存在，设公切线方程为，即，则有，解得或或或所以公切线方程为或.故答案为：.（答案不唯一，写其它三条均可）例27．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程