2020年江苏省泰州市(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

泰州市二0二0年初中学业水平测试

数学试卷

请注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两个部分.

2.所有试卷的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效.

3.作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗.

4.考试时间：120分钟满分150分.

第一部分选择题（区18分）

一、选择题：（本大题共有6小题，第小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项

是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.-2的倒数是（）

11

A.-2B.---C.—D.2

22

2.把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是（）

A.三棱柱B.四棱柱C.三棱锥D,四棱锥

3.下列等式成立的是（）

A.3+4&=7行B.73xV2=A/5C.6+笈=26D.,（-3）2=3

4.如图，电路图上有4个开关4、B、C、。和1个小灯泡，同时闭合开关4、3或同时闭合开关C、。都可以

使小灯泡发光.下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（）

AB-1

-----C--------D~~

~~|l0-।

A,只闭合1个开关B.只闭合2个开关C,只闭合3个开关D.闭合4个开关

5.点P（a,b）在函数y=3x+2的图像上，则代数式6a—2〃+1的值等于（）

A.5B.3C.-3D.-1

6.如图，半径为10的扇形中，ZAOB=9Q°.C为A3上一点，CD±OA.CELOB,垂足分别为。、E.若

NCDE为36。,则图中阴影部分的面积为（）

A.10乃B.9万C.8"D.67r

第二部分非选择题（共132分）

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7.9的平方根是.

2

8.因式分解：X-4=.

9.据新华社2020年5月17日消息，全国各地和军队约42600名医务人员支援湖北抗击新冠肺炎疫情，将42600用

科学计数法表示为.

10.方程、+2x—3=0的两根为不、%则占・％2的值为-

12.如图，将分别含有30。、45。角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65。，则图中角

e的度数为.

65

13以水平数轴的原点。为圆心过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将必逆时针依次旋转30。、60。、90°s

330°得至UH条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点4、3的坐标分别表示为（5,0°）、（4,300°）,则点。的

坐标表示为

14.如图，直线。，人，垂足为〃，点P在直线力上，PH=4cm,。为直线b上一动点，若以为半径的与

直线。相切，则。尸的长为

15.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C、在直角坐标系中的坐标分别为（3,6）,

（-3,3），（7,-2）,则ABC内心的坐标为.

3

16.如图，点尸在反比例函数y='的图像上且横坐标为1,过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数

y=V（左＜0）的图像相交于点4、B,则直线与x轴所夹锐角的正切值为

X

三、解答题(本大题共有10题，共102分，请在答题卡规定区域内作答，解答时应写出必要的文字

说明、证明过程或演算步骤)

17.(1)计算：(―》)°+sin60°

3x-l>x+1

(2)解不等式组：

x+4<4x-2

18.2020年6月1日起，公安部在全国开展"一盔一带"安全守护行动.某校小交警社团在交警带领下，从5月29日

起连续6天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查，并将数据绘制

成图表如下：

2020年5月29日6月3日骑乘人员头盔佩戴率折线统计图

头盔佩戴率(%)

1

400

80

60

40

20

2020年6月2日骑乘人员头盔佩戴情况统计表

骑乘摩托车骑乘电动自行车

戴头盔人数1872

不戴头盔人数2m

(1)根据以上信息，小明认为6月3日该地区全天摩托车骑乘人员头盔佩戴率约为95%.你是否同意他的观点？

请说明理由；

(2)相比较而言，你认需要对哪类人员加大宣传引导力度？为什么？

(3)求统计表中加的值.

19.一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀

后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：

摸球的次数200300400100016002000

摸到白球的频数7293130334532667

摸到白球的频率0.36000.21000.32500.33400.33250.3335

(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是(精确到0.01),由此估出红球有

______个.

(2)现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球

的概率.

20.近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道

路，路线3包含快速通道，全程30kn,走路线5比走路线A平均速度提高50%,时间节省67ra力，求走路线3的

平均速度.

21.如图，已知线段。，点A在平面直角坐标系xOy内，

Ox

(1)用直尺和圆规在第一象限内作出点P,使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于4.(保留作图痕

迹，不写作法)

(2)在(1)条件下，若”2非,A点的坐标为(3,1),求尸点的坐标.

22.我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面

157〃的A处测得在C处的龙舟俯角为23°；他登高6加到正上方的8处测得驶至。处的龙舟俯角为50。，问两次

观测期间龙舟前进了多少？(结果精确到1m，参考数据：tan23%0.42,tan40°®0.84,tan50°~1.19,

tan67°。2.36)

23.如图，在ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,尸为BC边上的动点(与B、C不重合)，PD//AB,

交AC于点。，连接AP,设CP=x,AADP的面积为S.

(1)用含x的代数式表示AO的长；

(2)求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围.

24.如图，在。中，点P为A3中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为"，分别与AD、P£>相交于点E、

N,连接3。、MN.

（1）求证：N为防的中点.

（2）若。的半径为8,A3的度数为90。，求线段的长.

25.如图，正方形ABCD的边长为6,M为45的中点，AMBE为等边三角形，过点E作ME的垂线分别与边AQ、

相交于点尸、G,点尸、。分别在线段所、上运动，且满足NPMQ=60。，连接PQ.

（1）求证：4MEP卷AMBQ.

（2）当点。在线段GC上时，试判断P尸+GQ的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由.

（3）设=点3关于QM的对称点为"，若点8'落在八上牛。的内部，试写出0的范围，并说明理由.

26.如图，二次函数%=。（％-根）2+"、%=6a%2+〃（。<0,m>0,〃>0）的图像分别为G、c2,G交y轴于点

尸，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线K4与。2在y轴左侧的交点为3-

（1）若P点的坐标为（0,2）,q的顶点坐标为（2,4）,求。的值；

（2）设直线Q4与y轴所夹的角为a.

①当&=45°,且A为G的顶点时，求的值；

P4

②若£=90°,试说明：当。、加、〃各自取不同的值时，一的值不变；

PB

(3)若PA=2PB，试判断点A是否为G顶点?请说明理由.

泰州市二0二0年初中学业水平测试

数学试卷

请注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两个部分.

2.所有试卷的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效.

3.作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗.

4.考试时间：120分钟满分150分.

第一部分选择题（区18分）

一、选择题：（本大题共有6小题，第小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项

是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.-2的倒数是（）

11

A.-2B.-----C.—D.2

22

【答案】B

【分析】

根据倒数的定义求解.

【详解】-2的倒数是4

故选B

【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握

2.把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是（）

A.三棱柱B.四棱柱C,三棱锥D.四棱锥

【答案】A

【分析】

根据折线部分折回立体图形判断即可.

【详解】由图形折线部分可知，有两个三角形面平行,三个矩形相连，可知为三棱柱.

故选A.

【点睛】本题考查折叠与展开相关知识点，关键在于利用空间想象能力折叠回立体图形.

3.下列等式成立的是（）

A.3+40=7拒B.=6C.昌熹=26D.^/（-3）2=3

【答案】D

【分析】

根据二次根式的运算法则即可逐一判断.

【详解】解：A、3和4&不能合并，故A错误；

B、也又五=瓜,故B错误；

C、7娓=-\/3x-\/6==3^/2故C错误；

D、7（-3）2=3-正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则.

4.如图，电路图上有4个开关A、B、C、。和1个小灯泡，同时闭合开关4、3或同时闭合开关C、。都可以

使小灯泡发光.下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（）

-------A-------B'

A.只闭合1个开关B.只闭合2个开关C.只闭合3个开关D.闭合4个开关

【答案】B

【分析】

观察电路发现，闭合A3或闭合C,。或闭合三个或四个，则小灯泡一定发光，从而可得答案.

【详解】解：由小灯泡要发光，则电路一定是一个闭合的回路，

只闭合1个开关，小灯泡不发光，所以是一个不可能事件，所以A不符合题意；

闭合4个开关，小灯泡发光是必然事件，所以D不符合题意；

只闭合2个开关，小灯泡有可能发光，也有可能不发光，所以B符合题意；

只闭合3个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，所以C不符合题意.

故选B.

【点睛】本题结合物理知识考查的是必然事件，不可能事件，随机事件的概念，掌握以上知识是解题的关键.

5.点P（a,Z?）在函数y=3x+2的图像上，则代数式6a—2）+1的值等于（）

A5B.3C.-3D.-1

【答案】C

【分析】

把P（a,Z?）代入函数解析式得b=3a+2,化简得3a-6=—2,化简所求代数式即可得到结果；

【详解】把打。力）代入函数解析式y=3x+2得：b=3a+2,

化简得至I：3a—b=—2,

6a-2b+l=2（3a—b^+l=2x（―2）+1=-3.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了通过函数解析式与已知点坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的

关键.

6.如图，半径为10的扇形中，ZAOB=90°,C为A3上一点，CD1OA,CELOB,垂足分别为。、E.若

NCDE为36。,则图中阴影部分的面积为（）

A,

EB

A.10〃B.9?rC.8〃D.67r

【答案】A

【分析】

本题可通过做辅助线，利用矩形性质对角线相等且平分以及等面积性，利用扇形ABC面积减去扇形AOC面积求解

本题.

【详解】连接OC交DE为F点，如下图所示：

由已知得：四边形DCEO为矩形.

VZCDE=36°,且FD=FO,

.•.ZFOD=ZFDO=54°,4DCE面积等于△DCO面积.

90・万・1。254

S阴影=S扇形AOBS扇形AOC=107.

360-360-

故选：A.

【点睛】本题考查几何面积求法，在扇形或圆形题目中，需要构造辅助线利用割补法，即大图形面积减去小图形面

积求解题目，扇形面积公式为常用工具.

第二部分非选择题（共132分）

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7.9的平方根是.

【答案】±3

分析：根据平方根的定义解答即可.

详解：：（±3）2=9,

...9的平方根是±3.

故答案为±3.

点睛：本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方

根.

8.因式分解：x2-4=.

【答案】（x+2）（x-2）

【详解】解：X2-4=X2-22=U-+2)(X-2);

故答案为(x+2)(x—2)

9.据新华社2020年5月17日消息，全国各地和军队约42600名医务人员支援湖北抗击新冠肺炎疫情，将42600用

科学计数法表示为—

【答案】4.26xlO4.

【分析】

科学记数法的形式是：ax10",其中1（同〈10,九为整数.所以a=4.26,〃取决于原数小数点的移动位数与

移动方向，九是小数点的移动位数，往左移动，"为正整数，往右移动，〃为负整数。本题小数点往左移动到4的

后面，所以九=4.

【详解】解：42600=4.26xlO4.

故答案为：4.26xlO4.

【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的

值，同时掌握小数点移动对一个数的影响.

10.方程无2+2%—3=0的两根为3、%则的值为.

【答案】-3

【分析】

直接根据韦达定理XI•X2=£可得.

a

【详解】解：：方程V+2%—3=0的两根为XI、X2,

C

.*.X1•X2=-=-3

a

故答案为：-3.

bc

【点睛】本题主要考查韦达定理,xi、X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a^O)的两根时，贝1Jxi+x2=---,xi•X2=—

aa

11.今年6月6日是第25个全国爱眼日，某校从八年级随机抽取50名学生进行了视力调查，并根据视力值绘制成统

【答案】4.65-4.95.

【分析】

根据频率直方图的数据和中位数概念可知，在这50个数据的中位数位于第四组，据此求解即可.

【详解】解：由中位数概念知道这个数据位于中间位置，共50个数据，根据频率直方图的数据可知，中位数位于

第四组，即这50名学生视力的中位数所在范围是4.65-4.95.

故答案为：4.65-4.95.

【点睛】本题考查学生对频率直方图的认识和应用，以及对中位数的理解，熟悉相关性质是解题的关键.

12.如图，将分别含有30。、45。角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65。，则图中角

«的度数为.

【答案】140°.

【分析】

如图，首先标注字母，利用三角形的内角和求解ZADC,再利用对顶角的相等，三角形的外角的性质可得答案.

【详解】解：如图，标注字母，

由题意得：ZACB=90°-65°=25°,

ZA=60°,

ZBDE=ZADC=180°-60°-25°=95°,

NB=45°,

a=AB+ZBDE=45°+95°=140°.

故答案为：140°.

c

【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键

13.以水平数轴的原点。为圆心过正半轴Or上的每一刻度点画同心圆，将3逆时针依次旋转30。、60°、90。、

330。得到H条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点4、3的坐标分别表示为（5,0°）、（4,300°）,则点C的

坐标表示为

【答案】（3,240。）

【分析】

根据同心圆的个数以及每条射线所形成的角度，以及A,B点坐标特征找到规律，即可求得C点坐标.

【详解】解：图中为5个同心圆，且每条射线与x轴所形成的角度已知，4、3的坐标分别表示为（5,0。）、（4,300。），

根据点的特征，所以点C的坐标表示为（3,240°）;

故答案为：（3,240。）.

【点睛】本题考查坐标与旋转的规律性问题，熟练掌握旋转性质，并找到规律是解题的关键.

14.如图，直线;上，，垂足为“，点尸在直线Z?上，PH=4cm,。为直线力上一动点，若以1C7”为半径的与

直线。相切，则OP的长为.

a

n______

PyHb

【答案】3或5

【分析】

根据切线的性质可得OH=1,故OP=PH-OH或OP=PH+OH,即可得解.

【详解】aX-b

.一。与直线。相切，OH=1

当0在直线a的左侧时，OP=PH-OH=4-1=3；

当0在直线a的右侧时，OP=PH+OH=4+1=5；

故答案为3或5.

【点睛】此题主要考查切线的性质，解题的关键是根据题意分情况讨论.

15.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C、在直角坐标系中的坐标分别为（3,6）,

（-3,3）,（7,-2）,贝IABC内心的坐标为.

【答案】（2,3）

【分析】

根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，计算出AABC各边的长度，易得该三角形是直角三角形，设BC

的关系式为：y=kx+b,求出BC与x轴的交点G的坐标，证出点A与点G关于BD对称，射线BD是NABC的平分

线，三角形的内心在BD上，设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r,在BD上找一点M,过点M作MELAB,

过点M作MFXAC,且ME=MF=r,求出r的值，在ABEM中，利用勾股定理求出BM的值，即可得到点M的坐

标.

【详解】解：根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，

根据题意可得：AB=732+62=375，AC=742+82=4百,BC=752+102=5&，

,/AB2+AC2=BC2,

,-.ZBAC=90°,

设BC的关系式为：y=kx+b,

代入B（—3,3）,C（7,-2）,

3=—3k+b

可得＜

-2=1k+b

k=--

解得：＜2

,3

b=—

2

.13

・・BC.y——xH—,

22

当y=0时，x=3,即G(3,0),

・•・点A与点G关于BD对称，射线BD是NABC的平分线，

设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r,在BD上找一点M,过点M作MELAB,过点M作MFLAC,且

ME=MF=r,

ZBAC=90°,

・•・四边形MEAF为正方形，

S^c=-ABxAC=-ABxr+-ACxr+-BCxr,

2222

解得•r=y/5,

即AE=EM=V5,

.-.BE=375-A/5=275,

.,.BM=7BE2+EM2=5，

VB(-3,3),

AM⑵3),

故答案为：（2,3）.

【点睛】本题考查三角形内心、平面直角坐标系、一次函数的解析式、勾股定理和正方形的判定与性质等相关知识

点，把握内心是三角形内接圆的圆心这个概念，灵活运用各种知识求解即可.

3

16.如图，点尸在反比例函数丁二三的图像上且横坐标为1,过点尸作两条坐标轴的平行线，与反比例函数

x

y=勺（左＜0）的图像相交于点4、B,则直线A6与x轴所夹锐角的正切值为.

X

【答案】3

【分析】

由题意,先求出点P的坐标，然后表示出点A和点B的坐标，即可求出答案.

3

【详解】解：•••点P在反比例函数y=三的图像上且横坐标为1,

X

•.•点A、B在反比例函数y=^(Z<0)的图像上,

X

k

...点A为(§,3),点B为(1,k),

直线A3与X轴所夹锐角的正切值为：

3-ko

tana==3

1上

3

故答案为：3.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，解直角三角形的应用，解题的关键是掌握反比例函数的性质与

一次函数的性质进行解题.

三、解答题(本大题共有10题，共102分，请在答题卡规定区域内作答，解答时应写出必要的文字

说明、证明过程或演算步骤)

17.(1)计算：(――班sin60。

3x-l>x+1

(2)解不等式组：

x+4<4x-2

3

【答案】(1)--，⑵x>2

【分析】

(1)应用零指数鬲、负指数鬲和特殊角的三角函数值化简求值即可；

(2)分别求出两个不等式的解集即可得到结果；

【详解】(1)原式=1+2-±=±

22

(2)解不等式3%一12x+1得；

解不等式x+4<4x—2得x>2；

综上所述，不等式组的解集为：x>2.

【点睛】本题主要考查了实数的运算及不等式组的求解，计算准确是解本题的关键.

18.2020年6月1日起，公安部在全国开展"一盔一带"安全守护行动.某校小交警社团在交警带领下，从5月29日

起连续6天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查，并将数据绘制

成图表如下：

2020年5月29日6月3日骑乘人员头盔佩戴率折线统计图

骑乘摩托车骑乘电动自行车

戴头盔人数1872

不戴头盔人数2in

(1)根据以上信息，小明认为6月3日该地区全天摩托车骑乘人员头盔佩戴率约为95%.你是否同意他的观点？

请说明理由；

(2)相比较而言，你认为需要对哪类人员加大宣传引导力度？为什么？

(3)求统计表中加的值.

【答案】(1)不同意，理由见解析；(2)应该对骑电动自行车骑乘人员加大宣传弓I导力度，理由见解析；(3)m=88

【分析】

(1)根据本次调查是从5月29日起连续6天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头

盔情况进行了调查，可知数据代表比较单一，没有普遍性，据此判断即可；

(2)由折线统计图可知，骑电动自行车骑乘人员戴头盔率比摩托车骑乘人员头盔佩戴率要低很多，据此判断即可；

(3)由折线统计图可知，骑电动自行车骑乘人员不戴头盔率为55%,则有0=坐，据此求解即可.

m55%

【详解】解:(1)不同意。

由题目可知，本次调查是从5月29日起连续6天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴

头盔情况进行了调查，数据代表比较单一，没有普遍性，故不能代表6月3日该地区全天摩托车骑乘人员头盔佩戴

率；

(2)由折线统计图可知，骑电动自行车骑乘人员戴头盔率比摩托车骑乘人员头盔佩戴率要低很多，故应该对骑电

动自行车骑乘人员加大宣传引导力度；

(3)由折线统计图可知，2020年6月2日骑电动自行车骑乘人员戴头盔率为45%,则骑电动自行车骑乘人员不戴

头盔率为：1-45%=55%,

..2=型

m55%

/.m=88.

【点睛】本题考查了统计表和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.

19.一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀

后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：

摸球的次数200300400100016002000

摸到白球的频数7293130334532667

摸到白球的频率0.36000.21000.32500.33400.33250.3335

(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是(精确到0.01),由此估出红球有

______个.

(2)现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球

的概率.

2

【答案】(1)0.33,2；(2)-.

【分析】

(1)通过表格中的数据，随着次数的增多，摸到白球的频率越稳定在0.33左右，进而得出答案；利用频率估计概

率，摸到白球的概率0.33,利用概率的计算公式即可得出红球的个数；

(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸到一个白球一个红球的情况，再利用概

率公式即可求得答案.

【详解】解：(1)随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近0.33,因此接近的常数就是0.33；

设红球由x个，由题意得：

-^-=0.33,解得：xa2,经检验：x=2是分式方程的解；

1+x

故答案为：0.33,2；

(2)画树状图得：

开始

红红白

;共有6种等可能的结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况，

42

...摸到一个白球一个红球的概率为：一=—；

63

2

故答案为：一.

3

【点睛】本题考查了利用频率估计概率的方法，理解频率、概率的意义以及频率估计概率的方法是解决问题的关键；

还考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出”，再从中选出符合事件A的结果

数目牝然后根据概率公式求出事件A的概率.

20.近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道

路，路线3包含快速通道，全程30k〃，走路线3比走路线A平均速度提高50%,时间节省6机沅，求走路线3的

平均速度.

【答案】75km/h

【分析】

根据题意，设走线路A的平均速度为Mm/九则线路B的速度为1.5x3”/〃，由等量关系列出方程，解方程即可

得到答案.

【详解】解：设走线路A的平均速度为Hm/九则线路B的速度为1.5%初2//2,则

25630

x601.5%

解得：%=50,

检验：当x=50时，1.5xw0,

X=50是原分式方程的解；

.••走路线3的平均速度为：50x1.5=75(km/h);

【点睛】本题考查分式方程的应用，以及理解题意的能力，解题的关键是以时间做为等量关系列方程求解.

21.如图，已知线段。，点A在平面直角坐标系xOy内,

(1)用直尺和圆规在第一象限内作出点P,使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于以.(保留作图痕

迹，不写作法)

(2)在(1)的条件下，若”2非,A点的坐标为(3,1),求P点的坐标.

【答案】⑴见解析；⑵P(5,5).

【分析】

(1)作第一象限的平分线OM,再以点A为圆心，a为半径画弧，交OM于点P即可；

(2)根据题意，设点P(t,t),再根据两点之间的距离公式列出方程即可解答.

【详解】解：(1)如图所示，作第一象限的平分线OM,再以点A为圆心，a为半径画弧，交OM于点P,则点P

为所求；

(2)♦.•点P到两坐标轴的距离相等，且在第一象限，

二设点P(t,t),

则AP=7(?-3)2+(/-1)2=2亚，

解得:t=5或t=-l(舍去),

；.P(5,5).

【点睛】本题考查了尺规作图以及两点之间的距离公式，解题的关键是读懂题意，明确如何作图能满足题意.

22.我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面

15/〃的4处测得在C处的龙舟俯角为23。；他登高6加到正上方的3处测得驶至。处的龙舟俯角为50。，问两次

观测期间龙舟前进了多少？(结果精确到1%,参考数据：tan23。夕0.42,tan40°«0.84,tan50°~1.19,

tan67°®2.36)

【答案】两次观测期间龙舟前进了18米.

【分析】

设BA与CD的延长线交于点0,由题意得出/BDO=50。，ZACO=23°,0A=15m,AB=6m,在Rt^BOD中，解直

角三角形求得OD的长度，在Rt^AOC中，解直角三角形求出DC的长度即可.

【详解】解：设BA与CD的延长线交于点0,

根据题意易得：ZBDO=50°,ZACO=23°,OA=15m,AB=6m,

在RtZkBOD中，tanZBD0=—=^^«1.19,

ODOD

解得：OD。17.65m,

在RtAAOC中，tanNACO=—=—————«0.42,

OC17.65+DC

DCh18m,

答：两次观测期间龙舟前进了18米.

【点睛】本题考查解直角三角形实际应用，要理解俯角概念，并且熟练掌握解直角三角形的方法.

23.如图，在ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.P为边上的动点(与B、C不重合)，PD//AB,

交AC于点。，连接AP,设。。=尤，AADP的面积为S

(1)用含x的代数式表示A。的长；

(2)求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而戒小时x的取值范围.

AvA/

【答案】⑴AD=3上；(2)S=—,2W…

428

【分析】

(1)由比例求出CD与CP的关系式,再求出AD.

(2)^EAD当作底,CP当作高，利用三角形面积公式求出S与x的函数表达式，再由条件求出范围即可.

【详解】（1）：PD〃AB,AC=3,BC=4,CP=x,

CPCBx4

..=,艮nn0=一

CDCACD3

CD=—.

4

3x3x2

28

b

对称轴为工=-二七=2,二次函数开口向下,

2a

2--

8

/.S随x增大而减小时x的取值为2W尤＜4.

【点睛】本题考查三角形动点问题和二次函数图象问题,关键在于熟练掌握基础运算方法.

24.如图，在。中，点P为A8的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为"，分别与AD、PZ)相交于点E、

N,连接BD、MN.

(1)求证：N为友;的中点.

(2)若。的半径为8,A3的度数为90。，求线段的长.

【答案】(1)证明见详解；(2)472

【分析】

(1)通过同弧或等弧所对的圆周角相等，结合A。、PC互相垂直，证明一。£乂MDBN,可得结果；

(2)连接AC,OA,OB,AB,证明M为AE中点，得MN为ZkABE的中位线，结合A3的度数为90。，半径为

8,得到AB的长度，进而得到MN长度.

【详解】(1).••点P为A3的中点

AP=PB

：.NPCE=NPDE=ZPDB

'：/CEM=ADEN

：.NPCE+ZCEM=ADEN+ZPDE

：.ZCME=ZDNE

•••PCIAD

：.ZEMC=ZDNE=90°

在..DEN和DBN中

ZEDN=ZBDN

<DN=DN

ZDNE=ADNB

：.DEN=.DBN

：.EN=BN

...点N为BE中点

(2)连接CA,AB,OA,OB,如图所示：

:点P为AB的中点

•*-AP=PB

ZECM=ZACM

在△血纥和_9纥中

/EMC=ZAMC=90°

<CM=CM

NECM=ZACM

：./\EMC=^AMC

:.EM=AM,即M为AE中点

：N为BE中点

/.MN为^AEB的中位线

又：O的半径为8,AB的度数为90°

•••ZAOB=90°,OA=OB=8

AB=8A/2

:.MN=上AB=4版

2

【点睛】本题考查了利用圆周角定理的性质结合全等三角形证明中点问题，同时考查了直角三角形的边长的计算，

及中位线的作用，熟知以上知识是解题的关键.

25.如图，正方形ABCD的边长为6,M为A3的中点，AMBE为等边三角形，过点E作ME的垂线分别与边A。、

相交于点尸、G,点尸、。分别在线段£/、上运动，且满足ZPMQ=60。，连接PQ.

（1）求证：AMEPMMBQ.

（2）当点Q在线段GC上时，试判断依+GQ的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由.

（3）设NQM3=tz,点3关于的对称点为8,若点日落在AMP。的内部，试写出戊的范围，并说明理由.

【答案】⑴证明见详解；⑵不变，GQ+PF=2g；⑶当30°<a<60°时，点8'落在AMP。的内部.

【分析】

（1）由"ASA"可证DMBQ@DMEP;

（2）连接MG,过点F作FH上BC于H,由"m,"可证RtDMBG@RtDMEG,可得BG=GE,

?BMG1EMG30?,1BGM?EG/0,由直角三角形的性质可求BG=GE=石，由锐角三角函数可求G歹=,

由全等三角形的性质可求PE=BQ=BG+GQ,即可求GQ+PF=243；

（3）当点8'落在PQ上时，，当点8'落在MP上时，分别求出点8'落在上和"P上时a的值，即可求解.

【详解】解：•••为等边三角形，

MB=ME,ZBME=60,

1BME?PMQ600,

?BME?QME?PMQ?QME

即有：？BMQTEMP,

四边形A3CD是正方形，MEzFG

：.1MBQ?MEP90°

在VMBQ和2WE尸中

I?BMQ?EMP

IMB=ME

MBQ?MEP

：.\MBQ@MEP(ASA)

(2)尸尸+GQ的值不变,

理由如下：如图1,连接MG,过点尸作FH_LBC于

图1

ME=MB,MG=MG,

\RtDMBG@RtDMEG(HL),

\BG=GE,1BMG1EMG30?,1BGM1EGM,

\MB=-J3BG=3,1BGM1EGM60?,

\GE=日ZFGH=60°,

FH±BC,ZC=ZZ)=90°,

二四边形DCHF是矩形，

\FH=CD=6,

FH_A/1_6

Qsin?FGH

GF_-2_一~FG

\FG=4A/3,

QDMBQ@DMEP,

\BQ=PE,

\PE=BQ=BG+GQ,

QFG=EG+PE+FP=EG+BG+GQ+PF=26+GQ+PF,

\GQ+PF=2不；

(3)当点8'落在PQ上时，如图2示,

QDMBQ@DMEP,

\MQ=MP,

Q?QMP60?,

是等边三角形,

当点8'落在PQ上时，点3关于。河的对称点为B',

\DMBQ@AMBfQ,

\?MBQ1MB</Q90?

:.ZQME^30°

二点