第47讲、空间点、直线、平面之间的位置关系（学生版）

第47讲空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理知识点一．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据（2）此推论是判定若干平面重合的依据（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．知识点二．直线与直线的位置关系位置关系相交（共面）平行（共面）异面图形符号a∥b公共点个数100特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何一个平面内知识点三．直线与平面的位置关系：有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）图形符号∥公共点个数无数个10知识点四．平面与平面的位置关系：有平行、相交两种情况．位置关系平行相交（但不垂直）垂直图形符号∥，公共点个数0无数个公共点且都在唯一的一条直线上无数个公共点且都在唯一的一条直线上知识点五．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．必考题型全归纳题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”例1．（2024·山西大同·高一校考期中）如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：

(1)，，，四点共面；(2)与的交点在直线上．例2．（2024·陕西西安·高一校考期中）（1）已知直线，直线与，都相交，求证：过，，有且只有一个平面；（2）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且.求证：直线，，相交于一点.

例3．（2024·河南信阳·高一校联考期中）如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.

(1)证明：四点共面；(2)设，证明：A，O，D三点共线.变式1．（2024·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.求证：(1)E､F､G､H四点共面；(2)EG与HF的交点在直线AC上.变式2．（2024·云南楚雄·高一统考期中）如图，在正四棱台中，E，F，G，H分别为棱，，AB，BC的中点．

(1)证明E，F，G，H四点共面；(2)证明GE，FH，相交于一点．变式3．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点．(1)求证：三线交于点P；(2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．【解题方法总结】共面、共线、共点问题的证明（1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内．（2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．（3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．题型二：截面问题例4．（2024·全国·高三对口高考）如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设，则当时，函数的值域为（

）

A． B． C． D．例5．（2024·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为线段上的动点（不含端点），

①异面直线与AF所成角可以为②当G为中点时，存在点E，F使直线与平面AEF平行③当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为④存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等则上述结论正确的是（

）A．①③ B．②④ C．②③ D．①④例6．（2024·河南·模拟预测）在正方体中，M，N分别为AD，的中点，过M，N，三点的平面截正方体所得的截面形状为（

）A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形变式4．（2024·河南·模拟预测）在正方体中，分别为，的中点，则下列结论正确的个数为（

）①平面；②；③直线与所成角的余弦值为④过三点的平面截正方体所得的截面为梯形A．1 B．2 C．3 D．4变式5．（2024·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，对于如下命题：①异面直线与所成角的余弦值为；②点P为正方形内一点，当平面时，DP的最小值为；③过点，E，F的平面截正方体所得的截面周长为；④当三棱锥的所有顶点都在球O的表面上时，球O的体积为．则正确的命题个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4变式6．（2024·河南新乡·统考三模）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则这两部分中大的体积与小的体积的比值为（

）A． B． C． D．变式7．（2024·新疆·校联考二模）已知在直三棱柱中，E，F分别为，的中点，，，，，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为（

）A． B． C． D．变式8．（2024·新疆阿克苏·校考一模）已知，，是正方体的棱，，的中点，则平面截正方体所得的截面是（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形变式9．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中）在棱长为3的正方体中，点Р是侧面上的点，且点Р到棱与到棱AD的距离均为1，用过点Р且与垂直的平面去截该正方体，则截面在正方体底面ABCD的投影多边形的面积是（

）A． B．5 C． D．8【解题方法总结】（1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．（2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．题型三：异面直线的判定例7．（2024·全国·高三对口高考）两条直线分别和异面直线都相交，则直线的位置关系是（

）A．一定是异面直线 B．一定是相交直线C．可能是平行直线 D．可能是异面直线，也可能是相交直线例8．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列命题中假命题为（

）A．存在点，使得B．存在点，使得C．直线始终与直线异面D．直线始终与直线异面例9．（2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB=2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（）A．AE=CF，AC与EF是共面直线B．，AC与EF是共面直线C．AE=CF，AC与EF是异面直线D．，AC与EF是异面直线变式10．（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知正方体中，，，分别是棱，，的中点，是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（

）A． B． C． D．变式11．（2024·上海·高三校联考阶段练习）如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（

）A．直线与直线CP可能相交 B．直线与直线CP始终异面C．直线与直线CP可能垂直 D．直线与直线BP不可能垂直变式12．（2024·吉林长春·高三长春市第六中学校考期末）如图，在底面为正方形的棱台中，、、、分别为棱，，，的中点，对空间任意两点、，若线段与线段、都不相交，则称点与点可视，下列选项中与点可视的为（

）A． B． C． D．【解题方法总结】判定空间两条直线是异面直线的方法如下：（1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线．（2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面．题型四：异面直线所成的角例10．（2024·全国·高三专题练习）如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为．例11．（2024·高三课时练习）已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的大小为．例12．（2024·新疆喀什·高三统考期中）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是.（1）直线与直线相交；（2）直线与直线平行；（3）直线与直线是异面直线；（4）直线与直线成角.变式13．（2024·全国·高三专题练习）如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一小块，八个顶点共截去八小块，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线与所成角的大小是变式14．（2024·全国·高三对口高考）线段的两端分别在直二面角的两个面内，且与这两个面都成角，则直线与所成的角等于．变式15．（2024·全国·高三专题练习）如图，等腰梯形沿对角线翻折，得到空间四边形，若，则直线与所成角的大小可能为.（写出一个值即可）【解题方法总结】（1）点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判断，常借助正方体为模型．（2）求异面直线所成的角的三个步骤一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．二证：证明作出的角是异面直线所成的角．三求：解三角形，求出所作的角．题型五：平面的基本性质例13．（多选题）（2024·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）已知，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，且，则B．若A，B，C是平面内不共线三点，，，则C．若且，则直线D．若直线，直线，则a与b为异面直线例14．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）有下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题是（

）A．① B．② C．③ D．④例15．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题，在空间中仍然成立的有（

）A．平行于同一条直线的两条直线必平行B．垂直于同一条直线的两条直线必平行C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补变式16．（多选题）（2024·重庆沙坪坝·高三重庆市第七中学校校考阶段练习）下列命题中错误的是（

）A．空间三点可以确定一个平面B．三角形一定是平面图形C．若A，，，既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合D．四条边都相等的四边形是平面图形变式17．（多选题）（2024·全国·模拟预测）如图，点，，，分别是正方体中棱，，，的中点，则（

）A． B．C．直线，是异面直线 D．直线，是相交直线变式18．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是（

）A．线段上存在点E、F使得 B．平面ABCDC．的面积与的面积相等 D．三棱锥A-BEF的体积为定值题型六：等角定理例16．（2024·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）在棱长均相等的四面体中，为棱不含端点上的动点，过点A的平面与平面平行若平面与平面，平面的交线分别为，，则，所成角的正弦值的最大值为．例17．（2024·全国·高三专题练习）过正方体的顶点在空间作直线，使与平面和直线所成的角都等于，则这样的直线共有条．例18．（2024·高三课时练习）若空间两个角与的两边对应平行，当时，则