第30讲、三角函数的图像与性质（学生版）

第30讲三角函数的图像与性质知识梳理知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中）函数图象定义域值域周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间递减区间无对称中心对称轴方程无注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是；正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；知识点三：与的图像与性质（1）最小正周期：．（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]．（3）最值假设．①对于，②对于，（4）对称轴与对称中心．假设．①对于，②对于，正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置．（5）单调性．假设．①对于，②对于，（6）平移与伸缩由函数的图像变换为函数的图像的步骤；方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．【解题方法总结】关于三角函数对称的几个重要结论；（1）函数的对称轴为，对称中心为；（2）函数的对称轴为，对称中心为；（3）函数函数无对称轴，对称中心为；（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为必考题型全归纳题型一：五点作图法例1．（2024·湖北·高一荆州中学校联考期中）要得到函数的图象，可以从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．(1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数；(2)用“五点法”画出函数在区间上的简图．

(1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数在上的图像；(2)求，的单调递增区间；(3)当时，的取值范围为，直接写出m的取值范围.例3．（2024·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考阶段练习）函数.(1)请用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，再画图）(2)设，，当时，试研究函数的零点的情况.【解题方法总结】（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．题型二：函数的奇偶性例4．（2024·全国·高三专题练习）函数，则（

）A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数例5．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数为偶函数，则的一个值可以是（

）A． B． C． D．例6．（2024·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若函数是偶函数，则（

）A． B． C． D．变式1．（2024·北京·高三专题练习）已知的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．变式2．（2024·浙江·高三期末）将函数的图象向右平移个单位得到一个奇函数的图象，则的取值可以是（

）A． B． C． D．变式3．（2024·广东·高三统考学业考试）函数是（

）A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（

）A．0 B．2 C．4 D．6变式5．（2024·山东·高三专题练习）设函数，如果，则的值是（

）A．-10 B．8 C．-8 D．-7【解题方法总结】由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：（1）若为奇函数，则；（2）若为偶函数，则；（3）若为奇函数，则；（4）若为偶函数，则；若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数．题型三：函数的周期性例7．（2024·湖北襄阳·高三襄阳五中校考开学考试）已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（

）A． B． C． D．例8．（2024·江西·南昌县莲塘第一中学校联考二模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若对满足的，总有的最小值等于，则（

）A． B． C． D．例9．（2024·河北·高三校联考阶段练习）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．变式6．（2024·高三课时练习）函数（）的图像的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是______.变式7．（2024·河北衡水·高三河北深州市中学校考阶段练习）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（

）A． B．C． D．变式8．（2024·全国·高三专题练习）函数对于，都有，则的最小值为（

）.A． B． C． D．变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为A． B． C． D．变式10．（2024·北京·北京市第一六一中学校考模拟预测）设函数在的图象大致如图所示，则的最小正周期为（

）A． B．C． D．变式11．（2024·全国·高三对口高考）函数的最小正周期是__________.变式12．（2024·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数的最小正周期是______．变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知函数.则__________.变式14．（2024·四川遂宁·统考三模）已知函数，，，且，则=_____变式15．（2024·上海宝山·上海交大附中校考三模）已知函数，则函数的最小正周期是__________．变式16．（2024·上海·上海中学校考模拟预测）已知函数的最小正周期是，则______.变式17．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）设函数相邻两条对称轴之间的距离为，，则的最小值为__________．变式18．（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）函数的最小正周期为___________.变式19．（2024·内蒙古·高三霍林郭勒市第一中学统考阶段练习）设函数（，，是常数，，）．若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为_______．变式20．（2024·全国·高三专题练习）下列6个函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最小正周期为π的偶函数的编号为___________.【解题方法总结】关于三角函数周期的几个重要结论：（1）函数的周期分别为，．（2）函数，的周期均为（3）函数的周期均．题型四：函数的单调性例10．（2024·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）已知函数，则下列说法错误的是（

）A．的值域为B．的单调递减区间为C．为奇函数，D．不等式的解集为例11．（2024·全国·模拟预测）将函数的图象上各点向右平移个单位长度得函数的图象，则的单调递增区间为（

）A． B．C． D．例12．（2024·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）

A．B．C．不等式的解集为D．将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上单调递增变式21．（2024·四川泸州·统考三模）将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数（

）A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递减C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增变式22．（2024·北京密云·统考三模）已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增变式23．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，若函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．变式24．（2024·全国·高一专题练习）的部分图像如图所示，则其单调递减区间为（

）A． B．C． D．变式25．（2024·四川凉山·高一校联考期中）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【解题方法总结】三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体，如由解出的范围，所得区间即为增区间；由解出的范围，所得区间即为减区间．若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可．题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）例13．（2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知函数，若将的图像向右平移个单位长度后图象关于轴对称，则实数的最小值为（

）A． B．C． D．例14．（2024·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知，函数，的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的值是______．例15．（2024·上海松江·校考模拟预测）已知函数的对称中心为，若函数的图象与函数的图象共有6个交点，分别为，，…，，则__________.变式26．（2024·全国·高三对口高考）设函数的图象关于点成中心对称，若，则______.变式27．（2024·新疆喀什·校考模拟预测）函数向左平移个单位长度之后关于对称，则的最小值为______.变式28．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若，且直线为图象的一条对称轴，则的最小值为______．变式29．（2024·河南开封·校考模拟预测）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为________．变式30．（2024·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象关于点对称，则的最小值为______.变式31．（2024·江西吉安·高三统考期末）记函数（）的最小正周期为，且的图象关于对称，当取最小值时，_______.变式32．（2024·福建宁德·高三校考阶段练习）写出满足条件“函数的图象关于直线对称”的的一个值________．变式33．（2024·江西赣州·高三校联考期中）已知函数图象的一条对称轴为．若,则的最大______．变式34．（2024·河北石家庄·统考模拟预测）曲线的一个对称中心为______（答案不唯一）.变式35．（2024·甘肃武威·甘肃省武威第一中学校考模拟预测）函数图象的一个对称中心的坐标是______．【解题方法总结】关于三角函数对称的几个重要结论；（1）函数的对称轴为，对称中心为；（2）函数的对称轴为，对称中心为；（3）函数函数无对称轴，对称中心为；（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为题型六：函数的定义域、值域（最值）例16．（2024·全国·高三专题练习）实数满足，则的范围是___________.例17．（2024·河北·校联考一模）函数的最小值为__________.例18．（2024·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）若函数的最小值为，则常数的一个取值为___________.（写出一个即可）变式36．（2024·全国·高三对口高考）的最小值为__________.变式37．（2024·上海嘉定·校考三模）若关于的方程在上有实数解，则实数的取值范围是__________.变式38．（2024·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）函数的值域为__________．变式39．（2024·上海·高三专题练习）已知函数，，则函数的值域为______．变式40．（2024·全国·高三专题练习）设函数，，则的最小值为________.变式41．（2024·全国·高三专题练习）设，则的最小值为__________.变式42．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，该函数的最大值为__________．变式43．（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）设角、均为锐角，则的范围是______________．变式44．（2024·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）函数的值域是___________.变式45．（2024·全国·高三专题练习）设、且，求的取值范围是________.变式46．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为_____________．变式47．（2024·全国·高三专题练习）函数的最大值为______．变式48．（2024·全国·高三专题练习）函数的定义域为______．变式49．（2024·全国·高三专题练习）函数的值域为______.变式50．（2024·江西·校联考模拟预测）函数的最大值为________．【解题方法总结】求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理．（1），设，化为一次函数在上的最值求解．（2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1）（3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型．（4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解．（5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围．（6）导数法（7）权方和不等式题型七：三角函数性质的综合例19．（多选题）（2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数（）的图象与函数的图象的对称中心完全相同，且在上，有极小值，则（

）A． B．C．函数是偶函数 D．在上单调递增例20．（多选题）（2024·广东潮州·统考模拟预测）设函数，的最小正周期为，且过点，则下列正确的有（

）A．在单调递减B．的一条对称轴为C．的周期为D．把函数的图象向左平移个长度单位得到函数的解析式为例21．（多选题）（2024·广东佛山·统考模拟预测）已知函数的图象关于对称，则（

）A．的最大值为2B．是偶函数C．在上单调递增D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称变式51．（多选题）（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知函数，则下列说法正确的有（

）A．若，则B．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称C．函数的最小正周期为D．若在上有且仅有3个零点，则的取值范围为变式52．（多选题）（2024·海南·高三校联考期末）已知函数，，恒成立，在上单调，则（

）A．B．将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象C．D．若函数在上有5个零点，则变式53．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论不正确的是（

）A．是偶函数 B．的最小正周期为C．在区间上单调递增 D．的最小值为1变式54．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知函数，下列叙述正确的有（

）A．的周期为2π； B．是偶函数；C．在区间上单调递减； D．x1，x2∈R，变式55．（多选题）（2024·重庆·统考模拟预测）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（

）A．的一个周期为 B．的最小值为C．的图象关于点对称 D．在区间上有3个零点变式56．（2024·全国·高三专题练习）设函数．(1)若，求的值．(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．条件①：；条件②：；条件③：在区间上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．变式57．（2024·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；(2)将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在内的零点.变式58．（2024·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知函数在区间上单调，其中，，且．(1)求的图象的一个对称中心的坐标；(2)若点在函数的图象上，求函数的表达式．变式59．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测），，，(1)若，求的值；(2)若函数的最小正周期为①求的值；②当时，对任意，不等式恒成立，求的取值范围变式60．（2024·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数，其中为水深（单位：米），为时间（单位：小时），该函数图像如图所示.(1)求函数的解析式；(2)若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停留多久？变式61．（2024·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知函数的图像相邻对称轴之间的距离是，______；①若将的图像向右平移个单位，所得函数为奇函数．②若将的图像向左平移个单位，所得函数为偶函数，在①，②两个条件中选择一个补充在______并作答(1)若，求的取值范围；(2)设函数的零点为，求的值．变式62．（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数的取值范围.【解题方法总结】三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性．因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）题型八：根据条件确定解析式方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式．例22．（2024·甘肃金昌·高三统考阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，设使成立的a的最小正值为m，，则（

）A． B． C． D．例23．（2024·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试）已知函数（为常数，）的部分图像如图所示，若将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式可以为（

）A． B．C． D．例24．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，把的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的函数图象的解析式是（

）A．， B．，C．， D．，变式63．（2024·全国·高三专题练习）函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（

）A． B．C． D．变式64．（2024·北京通州·统考模拟预测）已知函数（，）的部分图象如图所示，则的解析式为（

）A． B．C． D．变式65．（2024·宁夏·高三银川一中校考阶段练习）已知函数，，，的部分图象如图所示，则函数的解析式为_______________.变式66．（2024·江苏南京·高三统考期中）设函数，（其中，）的部分图象如图，则函数的解析式为_______.方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值），求解函数解析式（即的值的确定）变式67．（2024·全国·模拟预测）已知函数，当时，的最小值为，则______；若将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象在轴上的截距为，则在上的值域为______．变式68．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）某函数满足以下三个条件：①是偶函数；②；③的最大值为4．请写出一个满足上述条件的函数的解析式______．变式69．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，，且，写出一个满足条件的函数的解析式：___________.变式70．（2024·河北·校联考模拟预测）已知函数的图象过点，且相邻两个零点的距离为.若将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则函数的解析式为___________.变式71．（2024·全国·高三专题练习）已知，满足，，且在上有且仅有5个零点，则此函数解析式为_____________．变式72．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数（，）满足，其图象与轴在原点右侧的第一个交点的坐标为，则函数的解析式为__________.变式73．（2024·全国·高三专题练习）函数(，)为偶函数，且函数的图像的两条对称轴之间的最小距离为，则的解析式为________.变式74．（2024·上海虹口·统考一模）设函数（其中,）,若函数图象的对称轴与其对称中心的最小距离为,则______．【解题方法总结】根据函数必关于轴对称，在三角函数中联想到的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解．题型九：三角函数图像变换例25．（2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）如图，函数的图像过两点，为得到函数的图像，应将的图像（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度例26．（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是（

）A． B． C． D．例27．（2024·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）已知把函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则的最小正值为（

）A． B． C． D．变式75．（2024·全国·高三专题练习）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度变式76．（2024·青海西宁·统考二模）为了得到函数图象，只要将的图象（

）A．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变变式77．（2024·全国·高三专题练习）若要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度变式78．（2024·陕西·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象B．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象变式79．（2024·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）已知曲线，则下面结论正确的是（

）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2变式80．（2024·全国·高三专题练习