高考数学大一轮复习核心考点精讲精练(新高考专用)专题3.1函数的概念及其表示【原卷版+解析】

专题3.1函数的概念及其表示【核心素养】1.以常见函数为载体，考查函数的定义域，凸显数学运算的核心素养．2.考查换元法、待定系数法、解方程组法等在求函数解析式中的应用，凸显数学运算的核心素养．3.与不等式、方程等相结合考查分段函数求值或求参数问题，凸显分类讨论思想的应用及数学运算的核心素养．知识点一知识点一函数的概念函数两个集合A，B设A，B是两个非空数集对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应知识点二知识点二函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.知识点三知识点三函数的表示方法1.函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2.【易混辨析】（1）判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．（2）从图象看，直线x=a与图象最多有一个交点.知识点四知识点四分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.知识点五知识点五区间的概念1.一般区间的表示．设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]2.特殊区间的表示.定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)3.特别提醒：(1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．(2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．(3)正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．常考题型剖析常考题型剖析题型一：函数的概念【典例分析】例1-1.（2022秋·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考阶段练习）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（

）A．B．C．D．例1-2.（2023·全国·校联考模拟预测）映射由德国数学家戴德金在1887年提出，曾被称为“基础数学中最为美妙的灵魂”，在计算机科学、数学以及生活的方方面面都有重要的应用．例如，在新高考中，不同选考科目的原始分要利用赋分规则，映射到相应的赋分区间内，转换成对应的赋分后再计入总分．下面是某省选考科目的赋分规则：等级原始分占比赋分区间A3%[91,100]B+79%[81,90]B16%[71,80]C+24%[61,70]C24%[51,60]D+16%[41,50]D7%[31,40]E3%[21,30]转换对应赋分T的公式：其中，Y1，Y2，分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；T1，T2，分别表示原始分对应等级的赋分区间下限和上限（T的结果按四舍五入取整数）若小华选考政治的原始分为82，对应等级A，且等级A的原始分区间为[81，87]，则小华的政治成绩对应的赋分为（

）A．91 B．92 C．93 D．94例1-3.（2023·全国·高三专题练习）已知，则_________【规律方法】函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．【变式训练】变式1-1.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（）A．B．，C．D．变式1-2.某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.变式1-3.，x∈R.(1)计算的值；(2)计算的值．题型二：求函数的定义域例2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域（

）A． B． C． D．例2-2.（2022·北京高考真题）函数的定义域是_________．例2-3.（2022秋·河南驻马店·高三期中）已知的定义域为，则的定义域为__.【规律方法】1.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．2．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．3.求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．【变式训练】变式2-1.（2023·北京·高三统考学业考试）已知函数．若的图象经过原点，则的定义域为（

）A． B．C． D．变式2-2.（2023·上海普陀·统考二模）函数的定义域为______．变式2-3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_____题型三：求函数的解析式【典例分析】例3-1.（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为______.例3-2．（2023·辽宁大连·统考三模）已知函数的定义域为，值域为，且，函数的最小值为2，则（

）A．12 B．24 C．42 D．126例3-3.（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数满足：对任意实数x，都有，且当时，有成立.(1)证明：；(2)设，，若图象上的点都位于直线的上方，求实数m的取值范围.【规律方法】1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法．4.若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．5.应用题求解析式可用待定系数法求解．【变式训练】变式3-1.（2023·辽宁·校联考一模）若函数满足，则（

）A． B． C． D．1变式3-2.（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数_______，=_______．变式3-3.（2023·全国·模拟预测）已知，则______．题型四：求函数的值域【典例分析】例4-1.（2023·全国·高三专题练习）的值域为__________例4-2．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_________例4-3.（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数的最大值为______.【规律方法】函数值域的常见求法：(1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法．(2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．(3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题）(4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则y最小＝f(a)，y最大＝f(b)；若y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则y最小＝f(b)，y最大＝f(a)．②形如y＝ax＋b＋eq\r(dx＋c)的函数，若ad＞0，则用单调性求值域；若ad＜0，则用换元法．③形如y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x＞0时，函数y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0)的单调减区间为(0，eq\r(k)]，单调增区间为[eq\r(k)，＋∞)．一般地，把函数y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0，x＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(eq\r(k)，2eq\r(k))，至于x＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．*(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．【变式训练】变式4-1.（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）下列函数中，定义域和值域不相同的是（

）A． B． C． D．变式4-2.（2023·全国·高三专题练习）已知，x，y满足，且，则t的取值范围是_________．变式4-3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)求函数的值域；(2)证明：；题型五：分段函数及其应用【典例分析】例5-1.（2021·浙江·统考高考真题）已知，函数若，则___________.例5-2.（2022·浙江·统考高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．例5-3．（2023·全国·模拟预测）已知函数.(1)求的最小值；(2)若对任意恒成立，求k的取值范围.【总结提升】1.分段函数求值的解题思路求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．2.解分段函数与方程或不等式问题的策略求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围．3.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则；4.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”.【变式训练】变式5-1.（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知函数，则（

）A．-6 B．0 C．4 D．6变式5-2.（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（

）A． B． C． D．变式5-3.（2020·山东·统考高考真题）已知函数.（1）求的值；（2）求，求实数的取值范围.题型六：根据定义域、值域（最值）求参数【典例分析】例6-1.（2023·湖北十堰·统考二模）已知函数当时，取得最小值，则m的取值范围为（

）．A． B． C． D．例6-2.（2022·北京·统考高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．例6-3．（2022·河南郑州·郑州外国语学校统考一模）已知函数,若存在及,使得成立,则的取值范围为___________.【规律方法】已知函数的定义域（值域）求参数问题的解题步骤(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域、值域（最值）问题转化为方程或不等式的解集问题；(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围．【变式训练】变式6-1.（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学）已知函数的定义域，值域，则（

）．A． B． C． D．变式6-2.（2021·全国高一课时练习）已知a>，则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是（）A．a2+1 B．a+C．a- D．a-变式6-3.（2023·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则的取值范围是_______．一、单选题1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知函数，那么（

）A．7 B．6 C．5 D．43．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考阶段练习）已知函数，对于任意的，总有（

）A． B．C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）若函数的部分图象如图所示，则（

）A． B． C． D．5．（2023·陕西商洛·统考一模）若函数满足：，且，则（

）A．2953 B．2956 C．2957 D．2960二、多选题6．（2022·海南·校联考模拟预测）已知定义在上的函数不恒等于零，同时满足，且当时，，那么当时，下列结论不正确的为（

）A． B．C． D．三、填空题7．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知函数，则______．8.（2019·江苏高考真题）函数的定义域是_____.9．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的值域为______________10.（江苏高考真题）已知实数，函数，若，则a的值为________11．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是___．四、解答题12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．(1)证明：；(2)求的解析式；(3)求在[4，9]上的解析式．专题3.1函数的概念及其表示【核心素养】1.以常见函数为载体，考查函数的定义域，凸显数学运算的核心素养．2.考查换元法、待定系数法、解方程组法等在求函数解析式中的应用，凸显数学运算的核心素养．3.与不等式、方程等相结合考查分段函数求值或求参数问题，凸显分类讨论思想的应用及数学运算的核心素养．知识点一知识点一函数的概念函数两个集合A，B设A，B是两个非空数集对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应知识点二知识点二函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.知识点三知识点三函数的表示方法1.函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2.【易混辨析】（1）判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．（2）从图象看，直线x=a与图象最多有一个交点.知识点四知识点四分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.知识点五知识点五区间的概念1.一般区间的表示．设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]2.特殊区间的表示.定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)3.特别提醒：(1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．(2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．(3)正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．常考题型剖析常考题型剖析题型一：函数的概念【典例分析】例1-1.（2022秋·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考阶段练习）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】依次判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否完全相同，由此可得结果.【详解】对于A，与定义域均为，，与为相等函数，A正确；对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.故选：A.例1-2.（2023·全国·校联考模拟预测）映射由德国数学家戴德金在1887年提出，曾被称为“基础数学中最为美妙的灵魂”，在计算机科学、数学以及生活的方方面面都有重要的应用．例如，在新高考中，不同选考科目的原始分要利用赋分规则，映射到相应的赋分区间内，转换成对应的赋分后再计入总分．下面是某省选考科目的赋分规则：等级原始分占比赋分区间A3%[91,100]B+79%[81,90]B16%[71,80]C+24%[61,70]C24%[51,60]D+16%[41,50]D7%[31,40]E3%[21,30]转换对应赋分T的公式：其中，Y1，Y2，分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；T1，T2，分别表示原始分对应等级的赋分区间下限和上限（T的结果按四舍五入取整数）若小华选考政治的原始分为82，对应等级A，且等级A的原始分区间为[81，87]，则小华的政治成绩对应的赋分为（

）A．91 B．92 C．93 D．94【答案】C【分析】根据赋分公式，分别代入数据等级A赋分区间[91,100]及原始分区间[81,87]的端点即可得出结果.【详解】等级A赋分区间[91,100]，原始分区间为[81,87]，据赋分公式，得，解得．故选：C．例1-3.（2023·全国·高三专题练习）已知，则_________【答案】【分析】根据函数解析式求出，进而可得，由此可得结果.【详解】解：因为，所以，所以，所以故答案为：【规律方法】函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．【变式训练】变式1-1.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（）A．B．，C．D．【答案】ACD【分析】通过函数的定义域，对应法则是否一致进行判断.【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；对于B，因为时，；时，；所以表示同一函数；对于C，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；对于D，的定义域为，而的定义域为，所以不是同一函数；故选：ACD.变式1-2.某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.【答案】见解析【解析】(1)列表法：x(台)12345678910y(元)30006000900012000150001800021000240002700030000(2)图象法：如图所示：(3)解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．变式1-3.，x∈R.(1)计算的值；(2)计算的值．【答案】【解析】思路分析：(1)将函数的自变量代入计算即可，(2)可以分别将的函数值算出再相加，也可以根据待求式中数据的特征，结合(1)中所得结果求解．详解：(1)由于，，所以.(2)解法一：因为，，，，，，，所以.解法二：因为，从而，即，而，所以.题型二：求函数的定义域例2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.【详解】因为函数的定义域为，对于函数，则有，解得或.因此，函数的定义域为.故选：A.例2-2.（2022·北京高考真题）函数的定义域是_________．【答案】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为，所以，解得且，故函数的定义域为；故答案为：例2-3.（2022秋·河南驻马店·高三期中）已知的定义域为，则的定义域为__.【答案】【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案.【详解】∵，∴，∴，∴.即的定义域为.故答案为：【规律方法】1.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．2．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．3.求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．【变式训练】变式2-1.（2023·北京·高三统考学业考试）已知函数．若的图象经过原点，则的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用点在函数的图象上及偶次根式有意义即可求解.【详解】因为函数的图象经过原点，所以，解得，所以函数的解析式为.要使有意义，只需要，所以的定义域为.故选：A.变式2-2.（2023·上海普陀·统考二模）函数的定义域为______．【答案】【分析】求函数的定义域，保证根号下的式子大于等于0，分母不为0即可.【详解】，，或所以定义域为：.故答案为：变式2-3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_____【答案】【分析】令进行换元，根据已知函数的定义求u的范围即可.【详解】令，由得：，所以，即，所以，函数的定义域为.故答案为：题型三：求函数的解析式【典例分析】例3-1.（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为______.【答案】【分析】赋值法得到，，求出函数解析式.【详解】中，令，解得，令得，故，不妨设，满足要求.故答案为：例3-2．（2023·辽宁大连·统考三模）已知函数的定义域为，值域为，且，函数的最小值为2，则（

）A．12 B．24 C．42 D．126【答案】D【分析】方法一：采用赋值法及基本不等式可得，从而结合条件可化简得，累加求和即可；方法二：特殊函数法由题意不妨设满足条件，依次求函数值即可.【详解】解：方法一令，有，则满足，又因为，所以，因为，所以，所以，所以，方法二：抽象出特殊函数，其满足题目要求，从而快速求得答案，故选：D例3-3.（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数满足：对任意实数x，都有，且当时，有成立.(1)证明：；(2)设，，若图象上的点都位于直线的上方，求实数m的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）依题意，时，恒成立，即，得证；（2）求出函数的解析式，将问题转化为对恒成立，再分离参数构造函数并求函数最值即可得解.【详解】（1）由知：恒成立．又因x＝2时，恒成立，∴（2）由（1）知，而，联立解得：，即，则，显然，否则恒成立，矛盾，因此，若二次函数值永远不小于0，则，即，解得，，则，因，函数图象上的点位于直线的上方，则，恒成立，所以，所以，即，当时，成立，此时，因此，，所以，当时，，当且仅当，即时取“=”，从而有，综合得：，所以实数m的取值范围是.【规律方法】1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法．4.若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．5.应用题求解析式可用待定系数法求解．【变式训练】变式3-1.（2023·辽宁·校联考一模）若函数满足，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】将和分别代入，联立即可求解.【详解】代入可得①，代入可得②联立①②解得，故选：B变式3-2.（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数_______，=_______．【答案】11【分析】利用换元法可求出，进一步可得.【详解】令，则，所以，所以，所以.故答案为：；.变式3-3.（2023·全国·模拟预测）已知，则______．【答案】/2.5【分析】根据函数解析式，令，得，代入函数解析式计算即可求解.【详解】由题意得，，令，由，得，∴．故答案为：.题型四：求函数的值域【典例分析】例4-1.（2023·全国·高三专题练习）的值域为__________【答案】【分析】通过换元法，求换元后的值域即可.【详解】设则，，故函数的值域为.故答案为：例4-2．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_________【答案】【分析】将函数两边同时平方，然后利用二次函数的性质求值域即可.【详解】由已知得函数的定义域为，，，又，，又，故答案为：.例4-3.（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数的最大值为______.【答案】或【分析】依题意可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得解.【详解】因为，令，则，令，，因为函数在上单调递增，所以，即，则，即函数的最大值为，当且仅当时取等号.故答案为：【规律方法】函数值域的常见求法：(1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法．(2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．(3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题）(4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则y最小＝f(a)，y最大＝f(b)；若y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则y最小＝f(b)，y最大＝f(a)．②形如y＝ax＋b＋eq\r(dx＋c)的函数，若ad＞0，则用单调性求值域；若ad＜0，则用换元法．③形如y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x＞0时，函数y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0)的单调减区间为(0，eq\r(k)]，单调增区间为[eq\r(k)，＋∞)．一般地，把函数y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0，x＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(eq\r(k)，2eq\r(k))，至于x＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．*(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．【变式训练】变式4-1.（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）下列函数中，定义域和值域不相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.【详解】对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意；对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意；对于C：的定义域和值域都为，不符合题意；对于D：的定义域为；当时，；当时，；所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意；故选：D．变式4-2.（2023·全国·高三专题练习）已知，x，y满足，且，则t的取值范围是_________．【答案】【分析】根据题意分析可得，结合二次函数求取值范围.【详解】∵，解得，∴，又∵，则，对于，可知二次函数开口向上，对称轴，故当时，取到最小值；当时，取到最大值；故，即t的取值范围是.故答案为：.变式4-3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)求函数的值域；(2)证明：；【答案】(1)(2)证明见解析．【分析】(1)根据倒数代换和二次函数的值域以及反比例函数的特点即可求解.(2)根据函数不动点的定义即可求解.【详解】（1），设，则有，所以函数的值域为；（2）当时，此时显然；当时，必有两点位于函数图像上，且两点关于直线对称．又因为，所以．因为当时，．即对恒成立，所以不存在两点关于直线对称．综上，．题型五：分段函数及其应用【典例分析】例5-1.（2021·浙江·统考高考真题）已知，函数若，则___________.【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.【详解】，故，故答案为：2.例5-2.（2022·浙江·统考高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．【答案】/【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.【详解】由已知，，所以，当时，由可得，所以，当时，由可得，所以，等价于，所以，所以的最大值为.故答案为：，.例5-3．（2023·全国·模拟预测）已知函数.(1)求的最小值；(2)若对任意恒成立，求k的取值范围.【答案】(1)0(2)【分析】（1）由题意分别画出三个函数的图象，即可分析出的图象，通过图象可得最小值；（2）设，可知恒过点，作图并分类讨论，结合条件根据图象，求出k的取值范围.【详解】（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数，，的图象，如图1所示，由，解得或；由，解得或.由图象易得，结合图象可知，当时，取得最小值，即.（2）设，则恒过点，因为，所以记，由（1）知，的图象如图2所示，当时，，即，所以，不等式恒成立.当时，易知直线AM的斜率，由图象可知，根据恒成立，可得，解得，所以，综上所述，k的取值范围是.【总结提升】1.分段函数求值的解题思路求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．2.解分段函数与方程或不等式问题的策略求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围．3.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则；4.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”.【变式训练】变式5-1.（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知函数，则（

）A．-6 B．0 C．4 D．6【答案】A【分析】由分段函数解析式，利用周期性求得，进而求目标函数值.【详解】由分段函数知：当时，周期，所以，所以．故选：A变式5-2.（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.【详解】因，又当时，，当，，时，，则，，当，，时，，则，，作出函数的大致图象，对任意，都有，设的最大值为，则，且所以，解得所以m的最大值为.故选：A.变式5-3.（2020·山东·统考高考真题）已知函数.（1）求的值；（2）求，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断的取值范围，再代入分段函数解析式，得到的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为，所以，因为，所以.（2）因为，则，因为，所以，即，解得.题型六：根据定义域、值域（最值）求参数【典例分析】例6-1.（2023·湖北十堰·统考二模）已知函数当时，取得最小值，则m的取值范围为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】通过分段函数进行求导，取得最小值，从而可得，当时，取得最小值，继而可求出结论.【详解】由题可知解得．故选：B.例6-2.（2022·北京·统考高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．【答案】0（答案不唯一）1【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，

解得.【详解】解：若时，，∴；若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；若时，当时，单调递减，，当时，∴或，解得，综上可得；故答案为：0（答案不唯一），1例6-3．（2022·河南郑州·郑州外国语学校统考一模）已知函数,若存在及,使得成立,则的取值范围为___________.【答案】【分析】由题意即为当及时,函数的值域有交集,根据函数的单调性求出两个函数的值域,先求没有交集的情况,再取其补集即可.【详解】根据一次函数性质易知函数在上的值域为，函数在上的值域为.若函数值域和函数的值域没有交集,则或,解得或,所以要使当及时,函数的值域有交集,则.故答案为：.【规律方法】已知函数的定义域（值域）求参数问题的解题步骤(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域、值域（最值）问题转化为方程或不等式的解集问题；(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围．【变式训练】变式6-1.（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学）已知函数的定义域，值域，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的定义域和值域分析列式求解，进而可得集合，再根据交集运算求解.【详解】∵，由题意可得，解得，可得，故.故选：B.变式6-2.（2021·全国高一课时练习）已知a>，则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是（）A．a2+1 B．a+C．a- D．a-【答案】D【解析】先化简函数的解析式得再分类讨论，求出每一段的最小值，即得函数的最小值.【详解】函数f(x)=x2+|x-a|=当x≥a>时，函数f(x)=x2+x-a的对称轴方程为x=-，函数在[a，+∞)上单调递增，其最小值为a2；当x<a时，f(x)=x2-x+a的对称轴方程为x=，当x=时函数求得最小值为a-.因为a2-=a2-a+=>0.所以a2>a-.所以函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是a-.故选：D变式6-3.（2023·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则的取值范围是_______．【答案】【分析】由，可知，解不等式即可.【详解】由，可知，解得，故答案为：.一、单选题1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由根式性质求函数定义域得集合B，应用集合交运算求结果.【详解】由题设，则.故选：A2．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知函数，那么（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】根据分段函数的概念代入解析式计算即可.【详解】因