2024年高考数学三轮冲刺训练三角函数的图象与性质含解析

三角函数的图象与性质近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步探讨三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.学问点1、两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))学问点2、二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).学问点3、在精确娴熟地记住公式的基础上，要敏捷运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等.如Tα±β可变形为tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.学问点4、函数f(x)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)(其中tanφ＝eq\f(b,a))或f(α)＝eq\r(a2＋b2)cos(α－φ)(其中tanφ＝eq\f(a,b)).学问点3、正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRxx∈R，且xeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是kπ＋eq\f(π,2)，0(k∈Z)对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)学问点4．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)振幅周期频率相位初相AT＝eq\a\vs4\al(\f(2π,ω))f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ωx＋φeq\a\vs4\al(0)eq\a\vs4\al(\f(π,2))eq\a\vs4\al(π)eq\a\vs4\al(\f(3π,2))2πx－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0学问点5．由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特别角，解决这类问题的基本思路有：①化为特别角的三角函数值；②化为正、负相消的项，消去求值；③化分子、分母出现公约数进行约分求值.（3）通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦较好.判定三角形形态的2种常用途径（4）．判定三角形形态的3个留意点(1)“角化边”后要留意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；(2)“边化角”后要留意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系；（5）与三角形面积有关问题的解题模型1、设函数在[−π，π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为A． B．C． D．【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：，又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得.所以函数最小正周期为故选C．2、下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=A． B．C．D．【答案】BC【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,当时，，解得：，即函数的解析式为：.而故选：BC．3、设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：①在（）有且仅有3个极大值点②在（）有且仅有2个微小值点③在（）单调递增④的取值范围是[)其中全部正确结论的编号是A．①④ B．②③C．①②③ D．①③④【答案】D【解析】①若在上有5个零点，可画出大致图象，由图1可知，在有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，在有且仅有2个或3个微小值点.故②错误；④当=sin（）=0时，=kπ（k∈Z），所以，因为在上有5个零点，所以当k=5时，，当k=6时，，解得，故④正确.③函数=sin（）的增区间为：，.取k=0，当时，单调递增区间为，当时，单调递增区间为，综上可得，在单调递增.故③正确.所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.4、函数f(x)=在的图像大致为A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，解除A．又，解除B，C，故选D．5、下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x|C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x|【答案】A【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，解除D；因为，周期为，解除C；作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确；作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，解除B，故选A．图1图2图36、已知函数是奇函数，将的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则A． B．C． D．【答案】C【解析】∵为奇函数，∴；又∴，又，∴，∴，故选C.7、【2024年高考全国III卷理数】关于函数f（x）=有如下四个命题：①f（x）的图像关于y轴对称．②f（x）的图像关于原点对称．③f（x）的图像关于直线x=对称．④f（x）的最小值为2．其中全部真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，，，则，所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，，，则，所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；对于命题④，当时，，则，命题④错误.故答案为：②③.8、关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（，）单调递增③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2其中全部正确结论的编号是A．①②④ B．②④C．①④ D．①③【答案】C【解析】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．9、2024年3月14日是全球首个国际圆周率日（Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相像．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．依据阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是A． B．C． D．【答案】A【解析】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆周角为，每条边长为，所以，单位圆的内接正边形的周长为，单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，，则.故选：A．10、已知，且，则A． B．C． D．【答案】A【解析】，得，即，解得或（舍去），又.

故选：A．11、若α为第四象限角，则A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得，所以此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以，故选：D．方法二：当时，，选项B错误；当时，，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；故选：D．12、已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=A．–2 B．–1 C．1 D．2【答案】D【解析】，，令，则，整理得，解得，即.故选：D．13、已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，又，，又，，故选B．14、若，则A． B．C． D．【答案】B【解析】.故选B.15、已知=，则的值是▲．【答案】【解析】故答案为：16、若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．【答案】（均可）【解析】因为，所以，解得，故可取.故答案为：（均可）.17、已知，则_______，_______．【答案】；【解析】，，故答案为：18、将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是▲．【答案】【解析】当时.故答案为：19、已知，则的值是▲.【答案】【解析】由，得，解得，或.，当时，上式当时，上式=综上，20、某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】【解析】设，由题意，，所以，因为,所以，因为，所以，因为与圆弧相切于点，所以，即为等腰直角三角形；在直角中，，，因为，所以，解得；等腰直角的面积为；扇形的面积，所以阴影部分的面积为.故答案为：.单选题1、（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为.故选：B.2、（）A． B． C． D．【答案】C【解析】故选：C3、已知，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，.故选：A4、已知，与是方程的两个根，则（）A． B． C． D．或【答案】C【解析】∵与是方程的两个根，∴+，∴，，∴，∴，∵，又∴.故选:C5、已知为锐角，且满意如，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故，故，因为为锐角，故，故，故选：B.6、在探究系数，，，对函数图象的影响时，我们发觉，系数对其影响是图象上全部点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数对其影响是图象上全部点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数对其影响是图象上全部点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数对其影响是图象上全部点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”.运用上述四种变换，若函数的图象经过四步变换得到函数的图象，且已知其中有一步是向右平移个单位，则变换的方法共有（）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【解析】依据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变换共四步，因为左右平移变换是向右平移个单位，所以要求左右平移变换在周期变换之前，所以变换的方法共有种，故选：B.7、已知，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题得所以因为，所以因为，所以.故选：D8、将曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，则（）A．1 B．-1 C． D．【答案】D【解析】把的图象向左平移个单位长度，得的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得图象的函数式为，，∴，∴．故选：D.多选题9、设函数，则下列结论正确的是（）A．是的一个周期 B．的图像可由的图像向右平移得到C．的一个零点为 D．的图像关于直线对称【答案】ACD【解析】的最小正周期为，故也是其周期，故A正确；的图像可由的图像向右平移得到，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选：ACD10、已知函数，则下列关于该函数性质说法正确的有（）A．的一个周期是 B．的值域是C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递减【答案】AD【解析】A：因为，所以是函数的周期，故本选项说法正确；B：因为，，所以，故本选项说法不正确；C：因为，所以的图象不关于点对称，故本选项说法不正确；D：因为，所以函数是单调递减函数，因此有，而，所以在区间上单调递减，故本选项说法正确.故选：AD11、如图，已知函数的图象与轴交于点A，B，若，图象的一个最高点，则下列说法正确的是（）A．B．的最小正周期为4C．一个单调增区间为D．图象的一个对称中心为【答案】BCD【解析】由，设，则，，选项A中，点A处，，则，即，，解得，A错误；选项B中，依题意，得，故，最小正周期，B正确；选项C中，由，得，结合最高点，知，即，当时，，故是的一个单调增区间，C正确；选项D中，时，故是图象的一个对称中心，D正确.故选：BCD.12、关于函数有下述四个结论正确的有（）A．的最小正周期为 B．在上单调递增C．在上有四个零点 D．的值域为【答案】AC【解析】对A，，故的周期为，又，故的最小正周期为，故A正确；对B，，，故在上不单调递增，故B错误；对C，令，则，即，即，，或，所以在上有四个零点，故C正确；对D，的周期为，故只需考查，当时，，由可得，当时，，由可得，的值域为，故D错误.故选：AC.13、已知函数（其中）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，，下列结论正确的是（）A．B．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象C．当时，有且只有一个零点D．在上单调递增【答案】ACD【解析】由题意，函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，，可得，因为，则，解得，即，解得，因为，所以，即函数的解析式，所以A正确；对于B中，函数的图象向右平移个单位，得到的图象，所以B不正确