2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数专题突破专练一课一练含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1新20版练B1数学人教A版第四章专题突破专练专题1指数式和对数式的大小比较1.(2024·福建南安一中高一其次阶段考试)设a=152,b=215,c=log215,A.c<a<b B.c<b<aC.a<c<b D.a<b<c答案：A解析：由指数函数y=15x的图像和性质得0<152<1,依据指数函数y=2x的图像和性质得215>1,依据对数函数y=log2x的图像和性质得log212.(2024·海淀二模)设a=log36,b=log510,c=log714,则()。A.c>b>a B.b>c>aC.a>c>b D.a>b>c答案：D解析：a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72,则只要比较log32,log52,log72的大小即可,在同一坐标系中作出函数y=log3x,y=log5x,y=log7x的图像(图略),由三个函数图像的相对位置关系,可知a>b>c。3.(2024·西北工大附中模块测评)设0<b<a<1,则下列不等式成立的是()。A.ab<b2<1B.12<12C.a2<ab<1D.log12b<log答案：B解析：由ab-b2=b(a-b)>0,知ab>b2,因此A不正确;同理可知C不正确;由函数y=12x在R上是减函数,得当0<b<a<1时,有120>12b>12a>121,即12<4.(2024·哈尔滨模拟)若x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则()。A.a<b<c B.c<a<bC.b<a<c D.b<c<a答案：C解析：由x∈(e-1,1),得-1<lnx<0。因为a-b=-lnx>0,所以a>b。因为a-c=(1-ln2x)lnx<0,所以a<c。因此b<a<c。5.(2024·江西临川一中模块检测)已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设a=f(log47),b=f(log123),c=f(0.2-0.6),则a,b,c的大小关系是(A.c<a<b B.c<b<aC.b<c<a D.a<b<c答案：B解析：因为log123=-log23=-log49,所以b=f(log123)=f(-log49)=f(log49)。因为0<log47<log49,0.2-0.6=15-35=535=5125>532=2>log49>0。又f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,故6.(2024·长沙四大名校高一联考)设a,b,c分别是方程2x=log12x,12x=log122x,12x=log2A.c<b<a B.a<b<cC.b<a<c D.c<a<b答案：C解析：因为2a=log12a>0,所以0<a<1。因为12b=log122b=-b>0,所以b<0。因为1专题2指数与对数的运算7.(2024·东北育才中学模块测试)2713+14log23-log8A.9 B.0C.1 D.10答案：D8.(2024·西安二月调考)若x=log43,则(2x-2-x)2=()。A.94 B.C.103 D.答案：D解析：由x=log43,得4x=3,即2x=3,2-x=33,所以(2x-2-x)2=3-33=9.(2024·河南试验中学高一期中)设f(x)=ex-1,x<3,log3(A.1 B.eC.e2 D.e-1答案：D解析：f(29)=log3(29-2)=3,∴f[f(29)]=f(3)=log3(3-2)=0,∴f{f[f(29)]}=f(0)=e-1,故选D。10.(2024·南京金陵中学月考)a3a·5a4答案：a解析：a3a·5a4=11.(2024·贵州遵义第四中学高一期中)求下列各式的值:(1)32-2-4990.5答案：原式=232-73+25×225=49(2)2(lg2)2+lg2·lg5+(lg答案：原式=212lg22+12lg2·lg5+12lg2-12=专题3指数函数与对数函数的图像12.(2024·黑龙江哈尔滨第六中学高三上期末)函数y=1+lnx1-lnx图4-1答案：C解析：特别值法:令x=1e,则y=0,视察图像可知,C正确。故选C13.(2024·云南师范高校附属中学高三上学期适应性月考)函数y=e|lnx|-|x-1|的图像大致是()。图4-2答案：D解析：y=e|lnx|-|x-1|=1x+x-1,0<x<1,1,x≥1,所以当0<x<1时,y=114.(2024·南宁调考)若函数f(x)=k·ax-a-x(a>0且a≠1)在(-∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则g(x)=loga(x+k)的图像是()。图4-3答案：C解析：∵f(x)=kax-a-x=kax-1ax是奇函数,∴f(0)=0,即k-1=0,∴k=1。∴f(x)=ax-1ax。又∵函数y=ax,y=-1ax在定义域上单调性相同,函数f(x)是增函数,∴a>1,∴函数g(x)=loga(x+k)=loga(x+1)。g(x15.(2024·海淀一模)将曲线C1:y=ln1x关于x轴对称得到曲线C2,再向右平移1个单位长度得到函数f(x)的图像,则f(e+1)=答案：1解析：易知曲线C2的方程为y=-ln1x,再将C2向右平移1个单位长度得到函数f(x)的图像,∴f(x)=-ln1x-1,∴f(e+1)=-ln1(e+116.(2024·厦门调考)若函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图像与函数y=a2的图像有两个公共点,则a的取值范围是答案：(0,1)∪(1,2) 解析：①当a>1时,作出函数y=|ax-1|的图像,如图所示。若直线y=a2与函数y=|ax-1|的图像有两个公共点,由图像可知0<a2<1,解得0<a故a的取值范围是(1,2)。②当0<a<1时,同理也可得a的取值范围是(0,1)。综上,a的取值范围是(0,1)∪(1,2)。专题4应用指数、对数函数的性质确定参数的值或范围17.(2024·湖北荆州高三一调)已知函数f(x)=logax,若不等式|f(x)|>1对于随意x∈[2,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是()。A.0,12∪(1,2) B.C.12,1∪(1,2) D.答案：C解析：先画出函数f(x)=|logax|的大致图像,再画出直线y=1(如图中虚线所示),交点为(a,1)(a>1)或1a,1(0<a<1)。由于不等式|f(x)|>1对于随意x∈[2,+∞)恒成立,当a>1时,得a<2,所以a∈12,1。综上可知,实数a的取值范围是18.(2024·成都诊断)设函数f(x)=log2x,x>0,log12(-x),x<A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)答案：C解析：当a>0时,由log2a>log12a得a>1;当a<0时,由log12(-a)>log2(-a)得0<-a<1,即-1<a<0。所以-1<a<0或19.(2024·福建师大附中高一期中)已知f(x)=|log3x|,0<x≤3,13x2-103x+8,x>3,a,b,c,d是互不相同的正数,且f(a)=f(A.(18,28) B.(18,25)C.(20,25) D.(21,24)答案：D解析：画出函数f(x)的图像,f(a)=f(b)=f(c)=f(d)的含义是平行于x轴的直线与函数f(x)的图像有4个交点。如图所示,不妨将四个交点的横坐标从左到右记为a,b,c,d,则有0<a<1<b<c<d。由f(a)=f(b),得|log3a|=|log3b|,并且0<a<1<b,所以log3a=-log3b,即log3a+log3b=0,所以log3(a·b)=0,从而得出a·b=1。由f(c)=f(d),结合图像可以得出c+d=10,且c∈(3,4),所以a·b·c·d=c·d=c·(10-c),将此式看成关于c的函数,因为c∈(3,4),所以c·(10-c)∈(21,24)。20.(2024·天津模拟)已知函数f(x)=log12ax-2x-1(a为常数)在区间答案：[1,2)解析：设t=ax-2x-1,则函数y=log12t在定义域上单调递减,要使f(x)在区间(2,4)上是减函数,则t=ax-2x-1在(2,4)上为增函数。因为t=ax-2x-1=a(x-1)+a-2x-1=a+a-2x-1,所以要使函数t=ax-2x-1在区间(2,4)上为增函数,则a-2<0,即a<2。要使函数f(x)专题5指数函数与对数函数的综合问题21.(2024·合肥模拟)设f(x)=|3x-1|,c<b<a,且f(c)>f(a)>f(b),则下列关系中肯定成立的是()。A.3c>3b B.3c>3aC.3c+3a>2 D.3c+3a<2答案：D解析：作出函数图像如图所示,借助图像解决.先将y=3x的图像向下平移1个单位长度,再将其x轴下方的部分对称到x轴上方,可得到f(x)=|3x-1|的图像。由图可知,要使c<b<a,且f(c)>f(a)>f(b)成立,则有c<0且a>0,∴3c<3b<1<3a,∴f(c)=1-3c,f(a)=3a-1。又f(c)>f(a),∴1-3c>3a-1,即3a+3c<2,故选D。22.(2024·济南调考)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在区间[-2,2]上的函数值总小于2,则log2a的取值范围是()。A.-12B.0,1C.-12D.-∞,-12答案：C解析：若a>1,则f(x)在[-2,2]上是增函数,∴f(x)max=a2<2,∴1<a<2,∴0<log2a<12。若0<a<1,则f(x)在[-2,2]上是减函数,∴f(x)max=a-2<2,∴22<a<1,∴-12<log2a<0。综上,log2a∈-23.(2024·沈阳调研)为了得到函数y=lgx+310的图像,只需把函数y=lgx的图像上全部的点(A.向左平移3个单位长度,并向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度,并向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度,并向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度,并向下平移1个单位长度答案：C解析：函数的解析式变形为y=lg(x+3)-1,只需把函数y=lgx的图像上全部的点向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度即可。24.(2024·湖南岳阳模块统一考试)对随意实数a,b,定义运算“*”如下:a*b=a,a≤b,b,a>b,则函数f(x)=log1A.[0,+∞) B.(-∞,0]C.log22答案：B解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y=log12(3x-2)和y=log2x的图像,由图像可得f(x)=log2x25.(2024·河北衡水中学高一期中检测)已知函数f(x)=lg1+x(1)推断并证明f(x)的奇偶性;答案：解:f(x)是奇函数。证明如下:易知f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称。∵f(-x)=lg1-∴f(-x)+f(x)=lg1-x1+x+lg1+x1-x=lg1-∴f(x)是奇函数。(2)求证:f(a)+f(b)=fa+答案：证明:∵f(a)+f(b)=lg1+a1-lg1+a+b+ab1-a-b+ab,fa+b1+ab(3)已知a,b∈(-1,1),且fa+b1+ab=1,fa-b1-ab=2,求答案：解:∵f(a)+f(b)=fa+∴f(a)+f(b)=1,f(a)+f(-b)=fa-∴f(a)+f(-b)=2,∵f(-b)=-f(b),∴f(a)-f(b)=2,解得f(a)=32,f(b)=-126.(2024·湖北八校高一上期中联考)已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx与g(x)=log4a·2x-43a(1)求实数k的值;答案：由函数f(x)是偶函数可知f(x)=f(-x),∴log4(4x+1)+kx=log4(4-x+1)-kx,∴log44x+14∴log44x(4x+1即x=-2kx对一切x∈R恒成立,∴k=-12(2)求函数g(x)的定义域;答案：当a·2x-43a>0时,函数g(x)的解析式有意义当a>0时,2x>43,得x>log24当a<0时,2x<43,得x<log24综上,当a>0时,g(x)的定义域为xx当a<0时,g(x)的定义域为xx(3)若函数f(x)与g(x)的图像有且只有一个公共点,求实数a的取值范围。答案：函数f(x)与g(x)的图像有且只有一个公共点,即方程log4(4x+1)-x2=log4a∵log4(4x+1)-x2=log4(4x+1)-log44x2=log4(4x+1)-log42x=log∴方程2x+12x=a·2x-令t=2x>0,则方程(a-1)t2-43at-1=0①当a=1时,t=-34,②当a≠1时,由Δ=0得a=34或若a=34,则t=-2不合题意若a=-3,则t=12满意若Δ>0,则此时方程应有一个正根与一个负根,∴-1a-1又由Δ>0得a<-3或a>34,∴a>1综上,实数a的取值范围是{-3}∪(1,+∞)。专题6函数零点个数、区间的确定27.(2024·临川一中期中)定义在R上的奇函数f(x)满意:当x>0时,f(x)=2024x+log2024x,则方程f(x)=0的实根的个数为()。A.1B.2C.3D.5答案：C解析：由奇函数的性质可知f(0)=0,又当x>0时,f(x)=2024x+log2024x为增函数,当x趋向于0时,函数值趋向于-∞,且f(1)=2024>0,则函数f(x)的图像与x轴正半轴有唯一交点,由函数图像的对称性得方程f(x)=0的实根的个数为3,故选C。28.(2024·潍坊联考)函数y=|log2x|-12x的零点个数是(A.0 B.1 C.2 D.4答案：C解析：令y=|log2x|-12x=0,即|log2x|=12x,在同一坐标系下作出y=|log2x|和y=12x的图像(图略29.(2024·洛阳统考)已知x1,x2是函数f(x)=e-x-|lnx|的两个零点,则()。A.1e<x1x2<1 B.1<x1x2C.1<x1x2<10 D.e<x1x2<10答案：A解析：在同始终角坐标系中画出函数y=e-x与y=|lnx|的图像(图略),结合图像不难看出,在x1,x2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+∞)。不妨设x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),则有e-x1=|lnx1|=-lnx1∈(e-1,1),e-x2=|lnx2|=lnx2∈(0,e-1),e-x2-e-x1=lnx2+lnx1=ln(x1x2)∈(-1,0),于是有e-1<x1x2<e030.(2024·河南登封高一期中)已知函数f(x)的定义域为R且f(x)=x2+2,x∈[0,1],2-x2,x∈(-1,0),fA.-8 B.-2 C.0 D.1答案：D解析：∵f(x+1)=f(x-1),即有f(x+2)=f(x),∴当变量x值相差2时,函数f(x)值相等。又∵f(x)=x2+2,x∈[0,1],2-x2,x∈(-1,0),作出函数f(x)与函数y=2+1x在区间[-3,3]31.(2024·抚顺十中期中)函数f(x)=3x+12x-2的零点所在的一个区间是()A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)答案：C解析：由已知可知,函数f(x)=3x+12x-2单调递增且连续,∵f(-2)=-269<0,f(-1)=-136<0,f(0)=-1<0,f(1)=32>0,∴f(0)·f(1)<0。由函数零点存在性定理可知,函数f(x)=3x+12x-232.(2024·北京西城13中高一月考)设f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函数,且f-12·f12<0,则方程f(x)=0在[-1,1]内(A.可能有3个实根 B.可能有2个实根C.有唯一实根 D.没有实根答案：C解析：由于f(x)=x3+bx+c是[-1,1]上的增函数,且f-12·f12<0,所以f(x)在-12,12上有唯一零点,33.(2024·安徽阜阳临泉一中高一月考)函数f(x)=x2-2答案：2解析：令x2-2=0,得x=±2,只有x=-2符合题意;令2x-6+lnx=0,得6-2x=lnx,在同一坐标系中作出函数y=6-2x和y=lnx的图像如图所示,视察知,两函数图像有1个交点。所以函数f(x)有2个零点。专题7方程的根与函数的零点的应用34.(2024·郑州预料)设函数f(x)=ex+2x-4,g(x)=lnx+2x2-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点,则()。A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0答案：A解析：依题意,f(0)=-3<0,f(1)=e-2>0,且函数f(x)是增函数,因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内,即0<a<1。g(1)=-3<0,g(2)=ln2+3>0,且函数g(x)在(0,+∞)上是增函数,因此函数g(x)的零点在区间(1,2)内,即1<b<2,于是有f(b)>f(1)>0。又g(a)<g(1)<0,所以g(a)<0<f(b),选A。35.已知函数f(x)=x2,0≤x<a,2x,x≥a。若存在实数b,使函数g(x)=A.(0,2) B.(2,+∞)C.(2,4) D.(4,+∞)答案：C解析：令g(x)=0,得f(x)=b。若要使函数y=f(x)与函数y=b的图像有两个交点,则a2>2a。又当a=2或4时,a2=2a。所以当2<a<4时,a2>2a。故选C。专题8二分法及其应用36.用二分法求函数的零点时,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|<ε(ε为精确度)时,函数零点的近似值x0=a+b2与真实零点的误差最大不超过(A.ε4 B.ε2 C.ε D.答案：B解析：真实零点离近似值x0最远即靠近a或b,则b-a+b2=a+b2-a=b37.(2024·四川广安高一期末)某同学在借助计算器求方程lgx=2-x的近似解(精确到0.1)时,设f(x)=lgx+x-2,计算得f(1)<0,f(2)>0,然后他用二分法又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出推断:方程的近似解是x≈1.8。那么他之后取的x的4个值依次是。

答案：1.5,1.75,1.875,1.8125解析：第一次用二分法计算得区间(1.5,2),其次次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.8125),此时1.8125≈1.8,1.75≈1.8,故他之后取的x的4个值依次是1.5,1.75,1.875,1.8125。专题9函数模型及其应用38.(2024·河南洛阳高一期末)某化工厂生产的一种溶液,其杂质含量y与过滤次数x的函数关系式为y=2%23x(x∈N)。按市场要求,杂质含量不能超过0.1%。要使产品达到市场要求至少应过滤次。(已知:lg2≈0.3010,lg3≈0答案：8解析：依题意令2%23x≤11000,则2∴x≥lg120lg23=1+lg2lg3-lg2≈∴x≥8,即至少要过滤8次才能达到市场要求。39.(2024·石家庄期末)大气污染已经成为影响群众身体健康的重要因素,治理大气污染成为各钢铁企业的首要任务,其中某钢铁厂在处理工业废气的过程中,每经过一次处理可将有害气体削减20%,那么要让有害气体削减到原来的5%,至少要经过几次处理?(参考数据:lg2≈0.3010)答案：解:设工业废气在未处理前为a,经过x次处理后变为y,则y=a(1-20%)x=a(80%)x。由题意得ya=5%,即(80%)x=5%,两边同时取以10为底的对数得xlg0.8=lg0.05,即x=lg0.05lg0.8≈13.4。又x为正整数因而至少须要14次处理才能使工业废气中的有害气体削减到原来的5%。专题10指数函数与对数函数中的易错问题易错点1忽视偶次根式的定义域而致错40.当2-x有意义时,化简x2-4x+4A.2x-5 B.-2x-1C.-1 D.5-2x答案：C解析：当2-x有意义时,x≤2。x2-4x+4-x2-6易错点2忽视二次函数的值域而致错41.函数y=2-x2答案：(0,2] 解析：设t=-x2+2x,结合二次函数的性质可知t的最大值为1,所以y=2t的最大值为2,所以函数的值域为(0,2]。易错点3忽视探讨指数函数的底数而致错42.在b=log3a-1(3-2a)中,实数a的取值范围是()。A.-∞,13B.13,C.1D.2答案：B解析：要使式子b=log3a-1(3-2a)有意义,则3a-1>0,3a-1≠1,3-2a>易错点4忽视指数式与对数式的等价转换而致错43.函数y=logax(a>0,且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a的值为。

答案：2或1解析：(1)当a>1时,函数y=logax在[2,4]上是增函数,所以loga4-loga2=1,loga42=1,所以a=2(2)当0<a<1时,函数y=logax在[2,4]上是减函数,所以loga2-loga4=1,即loga24=1,所以a=12。由(1)(2)知a=2或a=44.已知2loga(x-4)>loga(x-2),求x的取值范围。答案：解:由题意得x>4,原不等式可变为loga(x-4)2>loga(x-2)。当a>1时,y=logax为定义域内的增函数,∴(x-4)当0<a<1时,y=logax为定义域内的减函数,∴(x-4)2综上所述,当a>1时,x的取值范围为(6,+∞);当0<a<1时,x的取值范围为(4,6)。易错点5忽视复合函数的定义域而致错45.已知函数y=f(2x)的定义域为[-1,1],则函数y=f(log2x)的定义域为()。A.[-1,1] B.1C.[1,2] D.[2答案：D解析：∵-1≤x≤1,∴2-1≤2x≤2,即12≤2x≤2。∴y=f(x)的定义域为12,2,∴12≤log2x≤2,∴2易错点6忽视分段函数的定义域分界点而致错46.(2024·河北石家庄二中高一期中)若f(x)=(3-a)x-4a,x≤1A.15,3C.35,3答案：B解析：由题意可知3-a>0,5a>1易错点7忽视函数定义域而致错47.(2024·江西吉安一中高一其次次段考)函数f(x)与g(x)=2x互为反函数,则f(4x-x2)的单调递增区间为()。A.(-∞,2] B.(0,2)C.[2,4) D.[2,+∞)答案：B解析：∵函数f(x)与g(x)=2x互为反函数,∴f(x)=log2x,∴f(4x-x2)=log2(4x-x2)。由4x-x2>0,得0<x<4。y=log2u为增函数,且u=4x-x2的图像开口向下,对称轴为x=2,利用复合函数的性质知,f(4x-x2)的单调增区间为(0,2)。易错点8忽视零点存在性定理的条件而致错48.对于函数f(x),若f(-1)f(3)<0,则下列推断中正确的是()。A.方程f(x)=0肯定有根B.方程f(x)=0肯定无根C.方程f(x)=0肯定有两根D.方程f(x)=0可能无根答案：D解析：因为f(x)的图像不肯定是连绵不断的一条曲线,所以方程f(x)=0可能无根。易错点9忽视二次项系数的探讨而致错49.已知m∈R时,函数f(x)=m(x2-1)+x-a恒有零点,求实数a的取值范围。答案：(1)当m=0时,由f(x)=x-a=0,得x=a,此时a∈R。(2)当m≠0时,令f(x)=0,即mx2+x-m-a=0恒有解,即Δ1=1-4m(-m-a)≥0恒成立,即4m2+4am+1≥0恒成立,则Δ2=(4a)2-4×4×1≤0,即-1≤a≤1。所以对m∈R,函数f(x)恒有零点时,有a∈[-1,1]。易错点10理解方程的根有误而致错50.若关于x的方程4x+2xa+a+1=0有实数根,求实数a的取值范围。答案：解:令t=2x,∵t>0,∴关于x的方程4x+2xa+a+1=0有实数根等价于关于t的方程t2+at+a+1=0有正实数根。令f(t)=t2+at+a+1,则Δ=a2-4a-4。①方程有一个正根一个负根:由f(0)<0得a<-1。②方程有两个相等的正根:由Δ=0,-a2③方程有两个不相等的正根或有一个零根一个正根:由Δ由①②③得实数a的取值范围为(-∞,2-22]。易错点11忽视二分法的应用条件而致错51.已知函数y=f(x)的图像如图4-4,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()。图4-4A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3答案：D解析：题中图像与x