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文档简介
第3课时三角函数
一、知识要点:
1.按方向旋转的角叫正角;按方向旋转的角叫负角;
________________叫零角.
2.终边相同角的表示:或者.
即:任一与角a终边相同的角,都可以表示成角a与整数个周角的和
说明:终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同。
3.象限角:顶点在原点,始边与x轴非负半轴重合,则终边落在,就称这个角是
第几象限的角。轴线角:顶点在原点,始边与x轴非负半轴重合,则终边落在坐标轴上,
就称这个角是轴线角。
第一象限角的集合表示为第二象限角的集合表示为
第三象限角的集合表示为第四象限角的集合表示为
4.弧度定义:,其中:正角的弧度数是一
个正数,负角的弧度数是一个数,零角的弧度数是.
弧度与角度换算:irad=(—)°弋()°=57°18';1°=—^0.01745(rad)
度30°45°60°90°120°135°150°180°
弧度
5.在扇形中:9=.S有形=。
在角度制中:(1)扇形面积为5=万/'@=巴加
360360
(2)圆的半径为r,圆心角为所对弧长为/=2仃、弧1=皿王
36018()
二、知识要点:
1.任意角三角函数定义为:(P是角a终边上一点,如下图,且|。〃|=「="+/>0)
正弦:sina=____
余弦:coscr=
正切:tana=
单位圆三角函数线:正弦线:MP;余弦线:0M;正切线:AT.
2.任意角三角函数的符号规则:I11IIIIV
sina
cosd
tand
3.熟记特殊角的三角函数值:
角a(尸30°45°60°90°120°135°150°180°
正弦
余弦
正切
sinQ,22
4、同角三角函数关系:_tanasina+cosa=1
cosa
注意:必须是“同角”,至于角的形式无关重要,如sir?4a+cos24a=1等
对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、变形用),如:
costz=±Vl-sin2a,sin2a=l-cos2a,cosa=‘由―等。
tana
三、知识要点:
诱导公式:(其中aeR,AeZ)
7t-a7r+a-a7C71
-----a—+a
22
正弦
余弦
正切
可概括为:奇变偶不变,符号看象限;化简规则:“负化正,大化小、化到锐角再求值
四、知识要点:
1、三角函数的图像与性质
正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y=/Asin(6K+^9)
y=sinxy=8sxy=tanx
/(A、co>0)
定RRR
义
域
值r-i,+nR
[-A,A]
域
周2121冗2〃
期co
性
奇奇函数偶函数奇函数当ewO,非奇非偶
偶当9=0,奇函数
性
Q-氏,
[一工+2br,
2k/r][22)2k7r--~(p
2上
--------------(A),
尹2M上为增函数上为增函数CO
[24/,(k^Z)一1
2k兀+一万一e
为增函数;(2%+1卜]--------(-4)
Lco--------------_
7T-,上为减函数
\r—+2k7t,
单2上(keZ)上为增函数;
调…几
—+2^]2K7T+-(f)
性2--------Z—⑷,
(0
为减函数
〜3
(XceZ)2KTT+一万一9
2-------(-4)
Lco-------------_
上为减函数(ZwZ)
注意:1、函数y=sinx的对称轴是—;对称中心是—
函数y=cosx的对称轴是;对称中心是
函数y=tanx的对称中心是
2).
2、函数丁=Asin(«u+<p)的周期T=Ti,函数y=4cos@r+e)的周期T=____,
囱
函数y=Atan(m+Q)的周期T=。(注意:求函数的最小正周期时,一定要
把函数表达式转化为上述形式,然后利用公式处理)
3、利用图象变换作三角函数图象:
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.
函数y=Asin(wx+<p)的振幅A,周期?=生,频率.=,=回,相位④V+0;初
一|。|T1K
相。(即当x=0时的相位).(当A>0,3>0时以上公式可去绝对值符号),
由丫=由似的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当或缩短(当0<
|A|<1)到原来的|A|倍,得到y=Asinx的图象,叫做振幅变换或叫沿v轴的伸缩变换.(用
y/A替换y)
由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|«|<1)或缩短(|3|
>1)到原来的山倍,得至Uy=sin3x的图象,叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.(用
(D
3X替换X)
由y=sinx的图象上所有的点向左(当<p>0)或向右(当<p<0)平行移动I<pI个单
位,得到y=sin(x+<p)的图象,叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.(用x+(p替换
x)
由y=sinx的图象上所有的点向上(当b>0)或向下(当b<0)平行移动IbI个单
位,得到y=sinx+b的图象叫做沿y轴方向的平移.(用y+(-b)替换y)
由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin(wx+<p)(A>0,w>0)(x^R)的
图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的顺序不同时,原图象延x轴量伸缩量的区别。
4^辅助角公式:asina-^-bcosa=
五、要点知识:
两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下:
]、sin(Q+£)=sinCa-°)-
2、cos(i+夕)=cos(Q一夕)=
3、tan(a+0)=tan(a-p)=
六'要点知识:二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2g=_____________
cos2a===
tan2Q二____________
要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系(升角一降次,降角一升次).特别注意公式的三角
表达形式,要善于变形,cos2a=1+竺2asin?a=>c°s2a这两个形式常用。
22
七、要点知识:
1.寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系,把握式子的变形方向,准确运用公式;
2.三角变换主要体现在:函数名称的变换、角的变换、1的变换、和积的变换、幕的变换
等方面;
3.掌握基象技巧:切化弦,异名化同名,异角化同角等;
4.应注意的几点:
中熟悉公式的正用、逆用,还要熟练掌握公式的变形应用.
。注意拆角、拼角技巧,如。=(。+万)一£,2。=(。+万)+(。一万)等.
③注意倍角的相对性,如3。是应的倍角.
2
⑥要时时注意角的范围的讨论.
第4课时平面向量、解三角形
一、要点知识:
1)平面向量的基本概念:既有又有的量叫做向量。向量可以用有向线
段表示,向量通的,也就是向量乱的长度(或称模),记作/AB/,向量的
基本概念有:向量的模,零向量,单位向量,平行向量(共线向量),相等向量等.
2)平面向量的线性运算:
①平面向量加法,减法运算,适用.
②平面向量减法是加法的逆运算,平面向量加法满足律和律.
③Aa表示与a共线的向量,且Aa的方向由人决定.向量b与非零向量a共线等价
于有且只有一个实数X,使。
二、要点知识:
1)平面向量的基本定理:如果ei,e2是一个平面内的两个,那么对于这
个平面内的任一向量a,有且只有一对实数入I,入2,使。
2)平面向量的坐标运算:两个平面向量和与差的坐标分别等于这两个平面向量相应坐
标的和与差.若A(x、y)B(xz,yz)厕AB=OB-OA=;实数与向量的积
的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
3)向量共线的两种判定方法:allh,a=(xi,y),。=3,y2),且aR0
<=><=>
三、要点知识:
1)平面向量的数量积的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是。,则数量
叫a与b的数量积,记作a.b,即有a.b=.
2)平面向量的数量积的几何意义:数量积a.b等于a的长度与b在a的方向上的投
影.
_____________的乘积.
3)两个平面向量的数量积的性质:设a与b为两个非零向量,e是单位向量,且a与e
的夹角为0.
l0,a.e=e.a=______________
20,a±b<=>______________
3°,当a与b同向时,a.b=/a/./b/,当a与b反向时,a.b=-/a/./b/,特别地,
a.a=.
4)平面向量的应用:能用平面向量知识处理平面几何或物理中的一些简单问题,如长度,
角,距离,平行,垂直等问题.
3.向量的运算
运算类型几何方法坐标方法运算性质
向量的1.平行四边形法则
a+B=(玉+%2,X+%)(a+B)+c=a+(B+c)
加法2.三角形法则
AB+BC=AC
a-b—a+
向量的
三角形法则a-b=(x-x,y-y)
减法i2l2
AB=-BA,OB-OA=AB
1.是一个向量,满足:
“4〃)=(沏)。
IXa|=|A\\a\
数
(/l+N)a=+
乘
2.Z>0时,4。与a同向;Aa=(Ax,Ay)
向
+=丸q+
量
A<0时,4。与。异向;
a//b<^>a=Ab
A=0时,Aa=6.
。•日是一个数
向
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