方差分析(2013)教学内容

第五章

方差分析与正交设计

研究生《数理统计》课程方差分析

方差分析是根据试验结果进行分析，鉴别各个因素对试验结果的影响程度。例如鉴别小麦的品种对产量的影响作用环境对生产力的影响（噪声、湿度、温度等）……研究三种教学方法对学生的学习效果进行评价。一、基本原理

试验指标Y，样本y1,y2,…,yn影响试验指标的因素记A，B，C，…每个因素下又分几种状态(水平)，记为A1,A2,…Ar或B1,B2,…,Bs例如，Y——小麦产品,因素A——温度，有如下状态(4个水平)：

40℃(A1)，60℃(A2)，80℃(A3)，100℃(A4)

四种状态称为水平。一、基本原理在每种状态下，又测得n个数据，即样本。以上表格反映的是单因素方差分析的数据结构。40℃(A1)y11,y12,…,y1n60℃(A2)y21,y22,…,y2n80℃(A3)y31,y32,…,y3n100℃(A4)y41,y42,…,y4n一、基本原理设Y——小麦产量，A——温度(4)，B——品种(3)，AB40℃(A1)60℃(A2)80℃(A3)100℃(A4)B1y111,…,y11ny121,…,y12ny131,…,y13ny141,…,y14nB2y211,…,y21ny221,…,y22ny231,…,y23ny241,…,y24nB3y311,…,y31ny321,…,y32ny331,…,y33ny341,…,y34n以上表格反映的是双因素方差分析的数据结构。思考：多因素方差分析的数据结构。二、单因素方差分析1、数据结构模型假定A1

A2

………

Ar

数据准备水平模型假定二、单因素方差分析2、数据形态二、单因素方差分析其中2、数学模型二、单因素方差分析归纳：A1y11,y12,…,y1nA2y21,y22,…,y2n………Aryr1,yr2,…,yrn数据结构表3、方差分析对问题H0，提出一种称为方差分析的检验方法。，

记易证记总离差平方和：组间差平方和：组内差平方和：()若SA2显著地大于SE2

，说明组间差异显著大于组内差异，那么H0可能不成立。理论上可以证明：当H0成立时，说明：由F分布的定义知：记则在给定显著性水平α的情况下，关于H0的拒绝域为：

表2.2单因素方差分析表方差来源

(自由度)

(平方和)

(均方差)F值P值因素A随机误差

总

和

单因素方差分析表

具体计算如下：

算例1：载重汽车销售量分析

某公司为了研究三种内容的广告宣传对载重汽车销售量的影响，他们进行了调查统计。以广告不同内容形式的广泛宣传后，按寄回的广告上的订购数计算，一年四个季度的销售量情况如下表：

季度一季度二季度三季度四A1A2A3163176170185184198179190206191218224

试分析广告内容对载重汽车销售量的影响，并指出哪一种广告内容最佳？程序如下：A=[163184206;176198191;170179218;185190224];p=anova1(A)计算结果：box图形查表：F0.95(2,9)=4.26

和p=0.0039<0.05

结论:拒绝H0.使用Matlab软件计算第一列使用excel

软件计算统计分析进一步问：哪一种宣传内容较好呢？

因为第i种广告内容效应的计算为：它的估计值为：可以计算：

计算结果表明：效应值α3最大，说明广告A3引起的销售量最多。算例2：治疗某疾病的药物疗效比较

设有五种治疗某疾病的药，欲比较它们的疗效。现抽取了30个病人，将他们分成5组，每组6人，同组病人使用一种药，并记录病人从开始服药到痊愈所需的时间(天)，具体数据如下表：

药物A治疗所需要的天数A1A2A3A4A55，8，7，7，10，84，6，6，3，5，66，4，4，5，4，37，4，6，6，3，59，3，5，7，7，6使用Matlab软件计算：计算结果：box图形查表：F0.95(4,25)=2.76

和p=0.0136<0.05

结论:拒绝H0.统计分析

根据方差分析，得出结论是：药物治疗某种疾病有显著差异，进一步问：哪一种药物治疗效果较好呢？水平ni均值标准差167.51.64322651.2649364.33331.0328465.16671.472566.16672.0412三、双因素方差分析1、数据结构(有重复和无重复)BAB1B2……BsA1y111,…,y11ny121,…,y12n……y1s1,…,y1sn………………………Aryr11,…,yr1nyr21,…,yr2n……yrs1,…,yrsn交互效应三、双因素方差分析2、数学模型其中它为因素A、B的交互效应值三、双因素方差分析3、问题，

同理可推导分解公式和统计量的计算公式：三、双因素方差分析有交互作用的双因素方差分析表方差来源平方和自由度均方差F值p值因素A因素B交互效应A×B误差总和为了提高某种产品的合格率，考察原料用量和来源地对产品的合格率(试验指标)是否有影响。假设原料来源于三个地方：甲、乙、丙。原料的使用量有三种方案：现用量、增加5%、增加8%。每个水平组合各作一次试验，得到如下表的数据，试分析原料用量及来源地对产品合格率的影响在显著水平

下是否显著。例无重复方差分析的数据结构。结论：原料来源地对产品的合格率影响不大，而原料使用量对合格率有显著影响。说明B2是最优水平，如果乙地最方便且运输距离短，那么最优条件为A2B2。进一步地对因素B进行统计分析，可以根据效应的估计公式：输入的数据形式：例5.3.2选择：输出结果：AB误差2911230.3311.8119.51F0.95(2,9)=4.256460.67

某个试验用来比较4种不同药品解除外科手术后疼痛的时间长度。结果（小时）表示如下：

使用方差分析分析“4种药品解除外科手术后疼痛的时间长度有无显著差异”；

（1）指出方差分析中的因素和水平；（2）指出方