高等流体力学―流体力学基本方程组课件

第三章流体力学基本方程组1整体概述概述二点击此处输入相关文本内容概述一点击此处输入相关文本内容概述三点击此处输入相关文本内容

流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等运动参数的变化规律，而流体动力学则研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系。本章主要介绍流体运动学和流体动力学的基本知识，推导出流体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、动量方程和能量方程，这些方程是分析流体流动问题的基础。3第一节流体流动的连续性方程连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。我们认为流体是连续介质，它在流动时连续地充满整个流场。在这个前提下，当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面空间（控制体）时，可以断定：若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相等时，则这封闭曲面内（控制体）一定会有流体密度的变化，以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流入的流体质量。上述结论可以用数学分析表达成微分方程，称为连续性方程。4一、直角坐标系下连续性微分方程式设在流场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为dx、dy和dz，如图3-1所示。假设微元平行六面体形心的坐标为x、y、z，在某一瞬时t经过形心的流体质点沿各坐标轴的速度分量为u、v、w，流体的密度为ρ。现讨论流体经六面体各面的流动情况。

图3-1流场中的微元平行六面体5一、直角坐标系下连续性微分方程式先分析x轴方向，已知u和ρ都是坐标和时间的连续函数，即u=u(x，y，z，t)和ρ=ρ(x，y，z，t)。根据泰勒级数展开式，略去高于一阶的无穷小量，得在dt时间内，沿轴方向从左边微元面积dydz流入的流体质量为图3-1流场中的微元平行六面体6图3-1流场中的微元平行六面体7

8同理可得在dt时间内从右边微元面积dydz流出的流体质量为(3-1)上述两者之差为在dt时间内沿x轴方向流体质量的变化，即

(3-2)9同理可得，在dt时间内沿y轴和z轴方向流体质量的变化分别为：因此，在dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为

(3-3)

10由于流体是作为连续介质来研究的，所以式(3-3)所表示的六面体内流体质量的总变化，唯一的可能是因为六面体内流体密度的变化而引起的。因此式(3-3)应和由于流体密度的变化而产生的六面体内的流体质量变化相等。设开始瞬时流体的密度为ρ，经过dt时间后的密度为11则可求出在dt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为(3-4)

根据连续性条件，式(3-4)和式(3-3)应相等，经简化得到(3-5)式（3-5）为可压缩流体非定常三维流动的连续性方程。

12若流体是定常流动，则，上式成为(3-6)

式（3-6）为可压缩流体定常三维流动的连续性方程。

13对不可压缩均质流体，ρ为常数，故式(3-6)成为(3-7)式（3-7）为不可压缩均质流体定常三维流动的连续性的方程。它的物理意义是：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。

14在流体力学中时常讨论所谓平面（二维）流动，即平行任何一个坐标平面的流动。若这种流动的流动参数（如速度、压强）只沿x、y两个坐标轴方向发生变化，则式（3-7）可以写成(3-8)由于在推导上述连续性方程时，没有涉及作用力的问题，所以不论是对理想流体还是实际流体都是适用的。15二、微元流束和总流的连续性方程

在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题，所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一微元流束(图3-1)。假定流体的运动是连续的、定常的，则微元流管的形状不随时间而改变。又根据流管的特性，流体质点不能穿过流管表面，因此在单位时间内通过微元流管的任一有效截面的流体质量都应相等，即ρ1V1dA1=ρ2V2dA2=ρVdA=常数（3-9）式中dA1、dA2—分别为1、2两个有效截面的面积，m2；16图3-1流场中的微元流束17V1、V2—分别为dA1和dA2上的流速，也称为真实流速，m/s；ρ1、ρ2—分别为和处的流体密度，kg/m3。对于由无限多微元流束所组成的总流（例如流体在管道中的流动），可对式（3-9）进行积分得（3-10）式中A1和A2—分别为总流1和2两个有效截面的面积，m2。式（3-9）为一维流动积分形式总流的连续性方程。设和是总流两个有效截面l和2上的平均流速，则式（3-9）可写成(3-11)18式中ρ1和ρ2—分别代表截面和上的平均密度，kg/m3。式（3-10）表示当流动为可压缩流体定常流体动时，沿流动方向的质量流量为一个常数。对不可压缩均质流体常数，则式（3-10）成为(3-12)式（3-11）为不可压缩流体一维定常流动的总流连续性方程。该式说明一维总流在定常流动条件下，沿流动方向的体积流量为一个常数，平均流速与有效截面面积成反比，即有效截面面积大的地方平均流速小，有效截面面积小的地方平均流速就大。19【例3-1】假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为）U=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。试分析该流动是否连续。【解】根据式（3-7）

所以故此流动不连续。不满足连续性方程的流动是不存在的

20【例3-2】有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律为u=x2siny，v=2xcosy，试分析该流动是否连续。【解】根据式（3-8）所以

故此流动是连续的。21【例3-6】有一输水管道，如图3-14所示。水自截面1-1流向截面2-2。测得截面1-1的水流平均流速m/s，已知d1=0.5m，d2=1m，试求截面2-2处的平均流速为多少？【解】由式（3-33）得

(m/s)22图3-14输水管道23流体流动的连续性方程推导－欧拉法在空间取一以S面为界的有限体积τ，该面由流面及两个非流面组成。24有限体积τ－流管内流体质量的变化由两部分组成：1通过表面S流体的进入或流出（以流入为正）25有限体积τ－流管内流体质量的变化由两部分组成：2单位时间内体积τ的质量减少S1S2S3由质量不灭定理得：26由奥高定理得：27由于τ为任一单元体28通过表面S流体的进入或流出（以流入为正）S1S2S3=029S1S2S330S1S2S3对定常流动：对均质流体：31第二节流体流动的运动方程动量定理：单位体积中流体动量的变化率等于作用在该体积上的质量力和面力之和。32第二节流体流动的运动方程体积τ上的质量力体积τ上的面力体积τ的动量变化率33第二节流体流动的运动方程动量定理的原始公式：

矢量函数体积分的随体导数公式（P138式2.12.8）：面积分体积分34第二节流体流动的运动方程动量定理的原始公式：面积分体积分动量定理的积分形式：面积分体积分35右边由奥高定理得：略去二阶无穷小量动量定理：左边：P151式3.1.1536动量方程的微分形式由于τ是任一微元体37微分形式的动量方程积分形式的动量方程38对体积单元τ应用动量矩定理，取任一点为力矩参考点，r为流体微元到参考点的矢径，则动量矩定理表达式为：积分形式的动量方程r合外力的力矩动量矩的变化率39Lamb-Γpomeko形式的运动方程位势部分旋转部分P19公式1140Lamb-Γpomeko形式的运动方程41

流体在运动坐标系中的运动方程绝对速度相对速度牵连速度运动系平动速度转动速度42

流体在运动坐标系中的运动方程绝对加速度相对加速度牵连加速度科氏加速度43

流体在运动坐标系中的运动方程平动加速度向心加速度切向加速度44

流体在运动坐标系中的运动方程绝对加速度相对加速度牵连加速度科氏加速度45

流体在运动坐标系中的运动方程46第三节流体流动的能量方程能量守恒定律：体积τ内流体的动能和内能的改变率等于单位时间内质量力和面力所作的功加上单位时间内给予体积τ内的热量。ndSτ内能和动能的总和：单位时间内质量力和面力所做的功：47第三节流体流动的能量方程ndSτ单位时间内由于热传导通过表面S传给τ内的热量为：设q为由于辐射或其他原因在单位时间内传入单位质量的热量分布函数，定义为：傅利叶公式48第三节流体流动的能量方程ndSτ由于辐射或其他原因在单位时间内传入τ内的总热量为：49第三节流体流动的能量方程标量函数体积分的随体导数公式（P138式2.12.7）：50第三节流体流动的能量方程

积分形式的能量方程51第三节流体流动的能量方程

P151式（3.1.14)5253由于τ是任一微元体，且假定被积函数是连续的，则：

微分形式的能量方程54

微分形式的能量方程能量方程左边：55

微分形式的能量方程右边：56

微分形式的能量方程57

微分形式的能量方程：直角坐标系下的形式：585960616263

应力张量P是对称张量：Pij=Pji646566676869

由于面力大小的改变而作的功

由于流体变形后，面力所作的功70

由于面力大小的改变而作的功

由于流体变形后，面力所作的功71

微分形式的能量方程72二阶张量：变形速度张量Helmholtz速度分解定理7374

由于面力大小的改变而作的功

由于流体变形后，面力所作的功75

由于面力大小的改变而作的功

由于流体变形后，面力所作的功76

微分形式的能量方程77

微分形式的动能定理

对流体运动方程两边点乘速度矢量v:78微分形式的能量方程微分形式的动能定理内能的变化率变形面力作的功热传导传入的热量辐射或其他原因传入的热量7980方程的个数311未知数的个数：(u,v,w,U,ρ,T,pxx,pyy,pzz,pxy,pxz,pyz)=12581第四节流体的本构方程真实流体都有粘性，当相邻两层流体作相对滑动即剪切变形时，在相反方向产生一个切向应力，阻止变形的发生与进行。因此，切向应力与剪切变形速度之间存在着一定关系，流体的这种性质称为粘性。本构方程：表达粘性规律的应力张量和变形速度张量之间的关系。牛顿内磨擦定律82第四节流体的本构方程牛顿内磨擦定律只适用于剪切流动这一最简单的流动状态，实际中的流动非常复杂，很难在理论上或通过实验直接导出一般运动情形下应力张量和变形速度张量之间的关系。建立广义牛顿定律的三个基本假定：(1)将应力张量P写成各向同性部分－pΙ和各向异性部分P′之和，即：83(1)将应力张量P写成各向同性部分－PΙ和各向异性部分P′之和，即：压力函数偏应力张量(2)假定偏应力张量的各分量是局部速度梯度张量各分量的线性齐次函数。当速度在空间均匀分布时，偏应力张量为零；当速度偏离均匀分布时，在粘性流体中产生了偏应力，它力图使速度回复到均匀分布。84(3)流体是各向同性的，即流体的所有性质如粘性、热传导等在每个点的各个方向上都是相同的，流体的性质不依赖于方向或坐标系的转换。根据上述假设，可得：斯托克斯假设：85根据上述假设，可得：1，i=j0，i≠j

Ⅰ=

i,j=1,2,386本构方程87i≠j时，为六个切向应力第1个下标i代表以i轴为法向的平面，第2个下标j代表在这个平面