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文档简介
湖南省永州市江华县市级名校2024年中考数学最后一模试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.如图钓鱼竿AC长6m,露在水面上的鱼线BC长3m,钓者想看看鱼钓上的情况,把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'长度是()A.3m B.m C.m D.4m2.如图,AB是⊙O的直径,点C、D是圆上两点,且∠AOC=126°,则∠CDB=()A.54° B.64° C.27° D.37°3.在平面直角坐标系内,点P(a,a+3)的位置一定不在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.李老师为了了解学生暑期在家的阅读情况,随机调查了20名学生某一天的阅读小时数,具体情况统计如下:阅读时间(小时)22.533.54学生人数(名)12863则关于这20名学生阅读小时数的说法正确的是()A.众数是8 B.中位数是3C.平均数是3 D.方差是0.345.如果a﹣b=5,那么代数式(﹣2)•的值是()A.﹣ B. C.﹣5 D.56.图1和图2中所有的正方形都全等,将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置,所组成的图形不能围成正方体的位置是()A.① B.② C.③ D.④7.如图,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上的两点,若AB=14,BC=1.则∠BDC的度数是()A.15° B.30° C.45° D.60°8.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=10°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:S△ABC=1:1.A.1 B.2 C.1 D.49.在一次数学答题比赛中,五位同学答对题目的个数分别为7,5,3,5,10,则关于这组数据的说法不正确的是()A.众数是5 B.中位数是5 C.平均数是6 D.方差是3.610.如图,O为直线AB上一点,OE平分∠BOC,OD⊥OE于点O,若∠BOC=80°,则∠AOD的度数是()A.70° B.50° C.40° D.35°二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.点G是三角形ABC的重心,,,那么=_____.12.计算:_______________.13.如图,“人字梯”放在水平的地面上,当梯子的一边与地面所夹的锐角为时,两梯角之间的距离BC的长为周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服,先使为,后又调整为,则梯子顶端离地面的高度AD下降了______结果保留根号.14.如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A,B,C三点,在抛物线上找到一点D,使得∠DCB=∠ACO,则D点坐标为____________________.15.请写出一个比2大且比4小的无理数:________.16.如图,将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉,使重叠部分是一个菱形,容易知道当两张纸条垂直时,菱形的周长有最小值8,那么菱形周长的最大值是_________.17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,点D是边AB上的动点,将△ACD沿CD所在的直线折叠至△CDA的位置,CA'交AB于点E.若△A'ED为直角三角形,则AD的长为_____.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+ax+2a+1的图象经过点M(2,-3)。(1)求二次函数的表达式;(2)若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与二次函数y=x2+ax+2a+1的图象经过x轴上同一点,探究实数k,b满足的关系式;(3)将二次函数y=x2+ax+2a+1的图象向右平移2个单位,若点P(x0,m)和Q(2,n)在平移后的图象上,且m>n,结合图象求x0的取值范围.19.(5分)如图,AC是⊙O的直径,点P在线段AC的延长线上,且PC=CO,点B在⊙O上,且∠CAB=30°.(1)求证:PB是⊙O的切线;(2)若D为圆O上任一动点,⊙O的半径为5cm时,当弧CD长为时,四边形ADPB为菱形,当弧CD长为时,四边形ADCB为矩形.20.(8分)随着互联网的发展,同学们的学习习惯也有了改变,一些同学在做题遇到困难时,喜欢上网查找答案.针对这个问题,某校调查了部分学生对这种做法的意见(分为:赞成、无所谓、反对),并将调查结果绘制成图1和图2两个不完整的统计图.请根据图中提供的信息,解答下列问题:此次抽样调查中,共调查了多少名学生?将图1补充完整;求出扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数;根据抽样调查结果,请你估计该校1500名学生中有多少名学生持“无所谓”意见.21.(10分)2018年4月22日是第49个世界地球日,今年的主题为“珍惜自然资源呵护美丽国土一讲好我们的地球故事”地球日活动周中,同学们开展了丰富多彩的学习活动,某小组搜集到的数据显示,山西省总面积为15.66万平方公里,其中土石山区面积约5.59万平方公里,其余部分为丘陵与平原,丘陵面积比平原面积的2倍还多0.8万平方公里.(1)求山西省的丘陵面积与平原面积;(2)活动周期间,两位家长计划带领若干学生去参观山西地质博物馆,他们联系了两家旅行社,报价均为每人30元.经协商,甲旅行社的优惠条件是,家长免费,学生都按九折收费;乙旅行社的优惠条件是,家长、学生都按八折收费.若只考虑收费,这两位家长应该选择哪家旅行社更合算?22.(10分)如图1,是一个材质均匀可自由转动的转盘,转盘的四个扇形面积相等,分别有数字1,2,3,1.如图2,正方形ABCD顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规则为:游戏者每转动转盘一次,当转盘停止运动时,指针所落扇形中的数字是几(当指针落在四个扇形的交线上时,重新转动转盘),就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长.如:若从图A起跳,第一次指针所落扇形中的数字是3,就顺时针连线跳3个边长,落到圈D;若第二次指针所落扇形中的数字是2,就从D开始顺时针续跳2个边长,落到圈B;……设游戏者从圈A起跳.(1)嘉嘉随机转一次转盘,求落回到圈A的概率P1;(2)琪琪随机转两次转盘,用列表法求最后落回到圈A的概率P2,并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗?23.(12分)为了增强居民节水意识,某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费.若用户的月用水量不超过15吨,每吨收水费4元;用户的月用水量超过15吨,超过15吨的部分,按每吨6元收费.(I)根据题意,填写下表:月用水量(吨/户)41016……应收水费(元/户)40……(II)设一户居民的月用水量为x吨,应收水费y元,写出y关于x的函数关系式;(III)已知用户甲上个月比用户乙多用水6吨,两户共收水费126元,求他们上个月分别用水多少吨?24.(14分)如图,在△AOB中,∠ABO=90°,OB=1,AB=8,反比例函数y=在第一象限内的图象分别交OA,AB于点C和点D,且△BOD的面积S△BOD=1.求反比例函数解析式;求点C的坐标.
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、B【解析】
因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形,且BC、B′C′都是我们所要求角的对边,所以根据正弦来解题,求出∠CAB,进而得出∠C′AB′的度数,然后可以求出鱼线B'C'长度.【详解】解:∵sin∠CAB=∴∠CAB=45°.∵∠C′AC=15°,∴∠C′AB′=60°.∴sin60°=,解得:B′C′=3.故选:B.【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用,解本题的关键是把实际问题转化为数学问题.2、C【解析】
由∠AOC=126°,可求得∠BOC的度数,然后由圆周角定理,求得∠CDB的度数.【详解】解:∵∠AOC=126°,∴∠BOC=180°﹣∠AOC=54°,∵∠CDB=∠BOC=27°故选:C.【点睛】此题考查了圆周角定理.注意在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.3、D【解析】
判断出P的横纵坐标的符号,即可判断出点P所在的相应象限.【详解】当a为正数的时候,a+3一定为正数,所以点P可能在第一象限,一定不在第四象限,
当a为负数的时候,a+3可能为正数,也可能为负数,所以点P可能在第二象限,也可能在第三象限,
故选D.【点睛】本题考查了点的坐标的知识点,解题的关键是由a的取值判断出相应的象限.4、B【解析】
A、根据众数的定义找出出现次数最多的数;B、根据中位数的定义将这组数据从小到大重新排列,求出最中间的2个数的平均数,即可得出中位数;C、根据加权平均数公式代入计算可得;D、根据方差公式计算即可.【详解】解:A、由统计表得:众数为3,不是8,所以此选项不正确;B、随机调查了20名学生,所以中位数是第10个和第11个学生的阅读小时数,都是3,故中位数是3,所以此选项正确;C、平均数=,所以此选项不正确;D、S2=×[(2﹣3.35)2+2(2.5﹣3.35)2+8(3﹣3.35)2+6(3.5﹣3.35)2+3(4﹣3.35)2]==0.2825,所以此选项不正确;故选B.【点睛】本题考查方差;加权平均数;中位数;众数.5、D【解析】【分析】先对括号内的进行通分,进行分式的加减法运算,然后再进行分式的乘除法运算,最后把a-b=5整体代入进行求解即可.【详解】(﹣2)•===a-b,当a-b=5时,原式=5,故选D.6、A【解析】
由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题.【详解】将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面,所以不能围成正方体,故选A.【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体,解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形.注意:只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图.7、B【解析】
只要证明△OCB是等边三角形,可得∠CDB=∠COB即可解决问题.【详解】如图,连接OC,∵AB=14,BC=1,∴OB=OC=BC=1,∴△OCB是等边三角形,∴∠COB=60°,∴∠CDB=∠COB=30°,故选B.【点睛】本题考查圆周角定理,等边三角形的判定等知识,解题的关键是学会利用数形结合的首先解决问题,属于中考常考题型.8、D【解析】
①根据作图的过程可知,AD是∠BAC的平分线.故①正确.②如图,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=10°,∴∠CAB=60°.又∵AD是∠BAC的平分线,∴∠1=∠2=∠CAB=10°,∴∠1=90°﹣∠2=60°,即∠ADC=60°.故②正确.③∵∠1=∠B=10°,∴AD=BD.∴点D在AB的中垂线上.故③正确.④∵如图,在直角△ACD中,∠2=10°,∴CD=AD.∴BC=CD+BD=AD+AD=AD,S△DAC=AC•CD=AC•AD.∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD.∴S△DAC:S△ABC.故④正确.综上所述,正确的结论是:①②③④,,共有4个.故选D.9、D【解析】
根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可.【详解】A、数据中5出现2次,所以众数为5,此选项正确;B、数据重新排列为3、5、5、7、10,则中位数为5,此选项正确;C、平均数为(7+5+3+5+10)÷5=6,此选项正确;D、方差为×[(7﹣6)2+(5﹣6)2×2+(3﹣6)2+(10﹣6)2]=5.6,此选项错误;故选:D.【点睛】本题主要考查了方差、平均数、中位数以及众数的知识,解答本题的关键是熟练掌握各个知识点的定义以及计算公式,此题难度不大.10、B【解析】分析:由OE是∠BOC的平分线得∠COE=40°,由OD⊥OE得∠DOC=50°,从而可求出∠AOD的度数.详解:∵OE是∠BOC的平分线,∠BOC=80°,∴∠COE=∠BOC=×80°=40°,∵OD⊥OE∴∠DOE=90°,∴∠DOC=∠DOE-∠COE=90°-40°=50°,∴∠AOD=180°-∠BOC-∠DOC==180°-80°-50°=50°.故选B.点睛:本题考查了角平分线的定义:从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.性质:若OC是∠AOB的平分线则∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、.【解析】
根据题意画出图形,由,,根据三角形法则,即可求得的长,又由点G是△ABC的重心,根据重心的性质,即可求得.【详解】如图:BD是△ABC的中线,∵,∴=,∵,∴=﹣,∵点G是△ABC的重心,∴==﹣,故答案为:﹣.【点睛】本题考查了三角形的重心的性质:三角形的重心到三角形顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍,本题也考查了向量的加法及其几何意义,是基础题目.12、【解析】
先把化简为2,再合并同类二次根式即可得解.【详解】2-=.故答案为.【点睛】本题考查了二次根式的运算,正确对二次根式进行化简是关键.13、【解析】
根据题意画出图形,进而利用锐角三角函数关系得出答案.【详解】解:如图1所示:
过点A作于点D,
由题意可得:,
则是等边三角形,
故BC,
则,
如图2所示:
过点A作于点E,
由题意可得:,
则是等腰直角三角形,,
则,
故梯子顶端离地面的高度AD下降了
故答案为:.【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用,正确画出图形利用锐角三角三角函数关系分析是解题关键.14、(,),(-4,-5)【解析】
求出点A、B、C的坐标,当D在x轴下方时,设直线CD与x轴交于点E,由于∠DCB=∠ACO.所以tan∠DCB=tan∠ACO,从而可求出E的坐标,再求出CE的直线解析式,联立抛物线即可求出D的坐标,再由对称性即可求出D在x轴上方时的坐标.【详解】令y=0代入y=-x2-2x+3,∴x=-3或x=1,∴OA=1,OB=3,令x=0代入y=-x2-2x+3,∴y=3,∴OC=3,当点D在x轴下方时,∴设直线CD与x轴交于点E,过点E作EG⊥CB于点G,∵OB=OC,∴∠CBO=45°,∴BG=EG,OB=OC=3,∴由勾股定理可知:BC=3,设EG=x,∴CG=3-x,∵∠DCB=∠ACO.∴tan∠DCB=tan∠ACO=,∴,∴x=,∴BE=x=,∴OE=OB-BE=,∴E(-,0),设CE的解析式为y=mx+n,交抛物线于点D2,把C(0,3)和E(-,0)代入y=mx+n,∴,解得:.∴直线CE的解析式为:y=2x+3,联立解得:x=-4或x=0,∴D2的坐标为(-4,-5)设点E关于BC的对称点为F,连接FB,∴∠FBC=45°,∴FB⊥OB,∴FB=BE=,∴F(-3,)设CF的解析式为y=ax+b,把C(0,3)和(-3,)代入y=ax+b解得:,∴直线CF的解析式为:y=x+3,联立解得:x=0或x=-∴D1的坐标为(-,)故答案为(-,)或(-4,-5)【点睛】本题考查二次函数的综合问题,解题的关键是根据对称性求出相关点的坐标,利用直线解析式以及抛物线的解析式即可求出点D的坐标.15、(或)【解析】
利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算,然后找出无理数即可【详解】设无理数为,,所以x的取值在4~16之间都可,故可填【点睛】本题考查估算无理数的大小,能够判断出中间数的取值范围是解题关键16、1【解析】
画出图形,设菱形的边长为x,根据勾股定理求出周长即可.【详解】当两张纸条如图所示放置时,菱形周长最大,设这时菱形的边长为xcm,
在Rt△ABC中,
由勾股定理:x2=(8-x)2+22,
解得:x=,∴4x=1,
即菱形的最大周长为1cm.
故答案是:1.【点睛】解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大,然后根据图形列方程.17、3﹣或1【解析】
分两种情况:情况一:如图一所示,当∠A'DE=90°时;情况二:如图二所示,当∠A'ED=90°时.【详解】解:如图,当∠A'DE=90°时,△A'ED为直角三角形,∵∠A'=∠A=30°,∴∠A'ED=60°=∠BEC=∠B,∴△BEC是等边三角形,∴BE=BC=1,又∵Rt△ABC中,AB=1BC=4,∴AE=1,设AD=A'D=x,则DE=1﹣x,∵Rt△A'DE中,A'D=DE,∴x=(1﹣x),解得x=3﹣,即AD的长为3﹣;如图,当∠A'ED=90°时,△A'ED为直角三角形,此时∠BEC=90°,∠B=60°,∴∠BCE=30°,∴BE=BC=1,又∵Rt△ABC中,AB=1BC=4,∴AE=4﹣1=3,∴DE=3﹣x,设AD=A'D=x,则Rt△A'DE中,A'D=1DE,即x=1(3﹣x),解得x=1,即AD的长为1;综上所述,即AD的长为3﹣或1.故答案为3﹣或1.【点睛】本题考查了翻折变换,勾股定理,等腰直角三角形的判定和性质等知识,添加辅助线,构造直角三角形,学会运用分类讨论是解题的关键.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)y=x2-2x-3;(2)k=b;(3)x0<2或x0>1.【解析】
(1)将点M坐标代入y=x2+ax+2a+1,求出a的值,进而可得到二次函数表达式;(2)先求出抛物线与x轴的交点,将交点代入一次函数解析式,即可得到k,b满足的关系;(3)先求出平移后的新抛物线的解析式,确定新抛物线的对称轴以及Q的对称点Q′,根据m>n结合图像即可得到x0的取值范围.【详解】(1)把M(2,-3)代入y=x2+ax+2a+1,可以得到1+2a+2a+1=-3,a=-2,因此,二次函数的表达式为:y=x2-2x-3;(2)y=x2-2x-3与x轴的交点是:(3,0),(-1,0).当y=kx+b(k≠0)经过(3,0)时,3k+b=0;当y=kx+b(k≠0)经过(-1,0)时,k=b.(3)将二次函数y=x2-2x-3的图象向右平移2个单位得到y=x2-6x+5,对称轴是直线x=3,因此Q(2,n)在图象上的对称点是(1,n),若点P(x0,m)使得m>n,结合图象可以得出x0<2或x0>1.【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质,熟练掌握这些知识点是解题的关键.19、(1)证明见解析(2)cm,cm【解析】【分析】(1)连接OB,要证明PB是切线,只需证明OB⊥PB即可;(2)利用菱形、矩形的性质,求出圆心角∠COD即可解决问题.【详解】(1)如图连接OB、BC,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=30°,∴∠COB=∠OAB=∠OBA=60°,∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形,∴BC=OC,∵PC=OA=OC,∴BC=CO=CP,∴∠PBO=90°,∴OB⊥PB,∴PB是⊙O的切线;(2)①的长为cm时,四边形ADPB是菱形,∵四边形ADPB是菱形,∠ADB=△ACB=60°,∴∠COD=2∠CAD=60°,∴的长=cm;②当四边形ADCB是矩形时,易知∠COD=120°,∴的长=cm,故答案为:cm,cm.【点睛】本题考查了圆的综合题,涉及到切线的判定、矩形的性质、菱形的性质、弧长公式等知识,准确添加辅助线、灵活应用相关知识解决问题是关键.20、200名;见解析;;(4)375.【解析】
根据统计图中的数据可以求得此次抽样调查中,共调查了多少名学生;
根据中的结果和统计图中的数据可以求得反对的人数,从而可以将条形统计图补充完整;
根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数;
根据统计图中的数据可以估计该校1500名学生中有多少名学生持“无所谓”意见.【详解】解:,
答:此次抽样调查中,共调查了200名学生;
反对的人数为:,
补全的条形统计图如右图所示;
扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数是:;
(4),答:该校1500名学生中有375名学生持“无所谓”意见.【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.21、(1)平原面积为3.09平方公里,丘陵面积为6.98平方公里;(2)见解析.【解析】
(1)先设山西省的平原面积为x平方公里,则山西省的丘陵面积为(2x+0.8)平方公里,再根据总面积=平原面积+丘陵面积+土石山区面积列出等式求解即可;(2)先分别列出甲、乙两个旅行社收费与学生人数的关系式,然后再分情况讨论即可.【详解】解:(1)设山西省的平原面积为x平方公里,则山西省的丘陵面积为(2x+0.8)平方公里.由题意:x+2x+0.8+5.59=15.66,解得x=3.09,2x+0.8=6.98,答:山西省的平原面积为3.09平方公里,则山西省的丘陵面积为6.98平方公里.(2)设去参观山西地质博物馆的学生有m人,甲、乙旅行社的收费分别为y甲元,y乙元.由题意:y甲=30×0.9m=27m,y乙=30×0.8(m+2)=24m+48,当y甲=y乙时,27m=24m+48,m=16,当y甲>y乙时,27m>24m+48,m>16,当y甲<y乙时,27m<24m+48,m<16,答:当学生人数为16人时,两个旅行社的费用一样.当学生人数为大于16人时,乙旅行社比较合算.当学生人数为小于16人时,甲旅行社比较合算.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的应用.22、(1)落回到圈A的概率P1=;(2)她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样.【解析】
(1)由共有1种等可能的结果,落回到圈A的只有1种情况,直接利用概率公式求解即可求得答案;(2)首先根据题意列出表格,然后由表格求得所有等可能的结果与最后落回到圈A的情况,再利用概率公式求解即可求得答案;【详解】(1)∵共
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