1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系（课件）高二数学（人教A版2019选择性）

1、能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量和平面的法向量；2、能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系；3、能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理4、提升直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.重点：用向量语言描述直线和平面以及彼此间的平行与垂直关系难点：建立空间图形基本要素与向量间的联系，将就、立体几何问题转化

为空间向量问题

在前面的学习中，我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题.

我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键.点线面关系平行垂直距离两线夹角空间向量

点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要建立空间向量与几何要素的对应关系：立体几何点线面空间向量？？？思考1：如何用向量表示空间中的一个点？

点动成线

A

B

①式和②式都称为空间直线的向量表达式.

思考3：一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？AaBbCα一个定点和两个定方向能确定一个平面lAαn

一个定点和一个定方向能确定一个平面思考3：如何用向量表示这个平面？O

A

BαP

用向量表示表示平面上的任意一点.

A

α

思考3：如何用向量表示这个平面？

一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量，且均垂直于该平面内的任意一个向量.用向量表示表示平面上的任意一点.

教材P29练习✓✕✓✕✓例1：如图，棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系Axyz，则直线DD1的方向向量的坐标为________，直线BC1的方向向量的坐标为________，直线CD1的一个方向向量的坐标为________(0,0,2)(0,0,1)(0,2,2)(0,1,1)C(2,2,0)D1(0,2,2)(-2,0,2)

D——求直线的方向向量

——求平面的法向量

直接法

解方程组法设法向量建系写点坐标写平面内两向量坐标列方程组赋非零值下结论——求平面的法向量

xyz——求平面的法向量l1l2

我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量.那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？

思考1：如何用直线的方向向量的关系表示两条直线平行？

思考2：如何由直线的方向向量与平面的法向量的关系表示直线与平面平行？l

思考3：如何用平面的法向量的关系表示平面与平面的平行？

xyz

xyz1、判断直线与直线平行的方法：①平行四边形的对边平行、梯形的上下底平行、棱柱的侧棱互相平行…②三角形的中位线、相似线段成比例③基本事实4——平行线的传递性④直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.⑤平面与平面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行⑥直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．⑦两直线的方向向量共线(直接法/基底法/坐标法找λ)——平行的判定2、判段直线与平面平行的方法：①判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.(几何法、基底法、坐标法)

直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面.②面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.③如果两个平面相互垂直，如果一条直线垂直于两个平面中的一个，则该直线要么在另一个平面内，要么与另一个平面平行.④法向量坐标法：直线的方向向量与平面的法向量垂直——平行的判定3、判段平面与平面平行的方法：①判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.(几何法、基底法、坐标法)②平行于同一平面的两个平面平行.③垂直于同一直线的两个平面互相平行.④法向量坐标法：两平面的法向量共线——平行的判定教材P31练习1、用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

教材P31练习

教材P31练习l1l2探究：类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间什么关系?思考1：如何用直线的方向向量的关系表示两条直线垂直？

思考2：如何由直线的方向向量与平面的法向量的关系表示直线与平面垂直？l

思考3：如何用平面的法向量的关系表示平面与平面的垂直？

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