2.2.1直线的倾斜角与斜率课件高二上学期数学人教B版选择性

第一章空间向量与立体几何直线的倾斜角与斜率人教B版

数学

选择性必修第一册课程标准1.理解直线的倾斜角和斜率的概念;2.经历用代数的方法刻画直线斜率的过程;3.掌握过两点的直线斜率的计算公式并能解决相关的实际问题;4.理解直线的方向向量和法向量的概念,并能找出其与直线斜率和倾斜角的内在联系.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1直线的倾斜角一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴相交,将x轴绕着它们的交点

旋转到与直线重合时所转的

记为θ,则称θ为这条直线的倾斜角;如果这条直线与x轴平行或重合,则规定这条直线的倾斜角为0°.直线倾斜角的范围是0°~180°(即[0,π)).

名师点睛1.任意一条直线都有唯一的倾斜角α,但倾斜角为α的直线有无数多条.2.一般地,如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,直线l的倾斜角为θ,当y1=y2时(此时必有x1≠x2),θ=0°;当x1=x2时(此时必有y1≠y2),θ=90°.按逆时针方向

最小正角

过关自诊1.(多选题)下列说法中,正确的是(

)A.直线的倾斜角为0°,则此直线与x轴平行B.一条直线的倾斜角为-30°C.若直线的倾斜角为α,则sinα≥0D.任意直线都有倾斜角α,且α=90°时,直线与x轴垂直2.直线y=x的倾斜角为

.

CD45°知识点2直线的斜率(1)一般地,如果直线l的倾斜角为θ,则当θ≠90°时,称k=

为直线l的斜率;当θ=90°时,称直线l的斜率不存在.

对应θ=90°(2)若A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则当x1≠x2时,直线l的斜率为k=

.

当x1=x2时,直线l的斜率不存在.tanθ名师点睛斜率与倾斜角的对应关系

图示倾斜角(范围)α=0°0°<α<90°α=90°90°<α<180°斜率(范围)k=0k>0不存在k<0过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)任何一条直线都有倾斜角,都存在斜率.(

)(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.(

)(3)倾斜角为α的直线不唯一.(

)(4)两条直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等.(

)××√×2.下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是(

)A.(4,2)与(-4,1)B.(0,3)与(3,0)C.(3,-1)与(2,-1)D.(-2,2)与(-2,5)D解析

选项D中,因为x1=x2=-2,所以直线垂直于x轴,倾斜角为90°,即斜率不存在.知识点3直线的方向向量和直线的法向量概念定义符号表示直线的方向向量如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合,则称向量a为直线l的一个方向向量a∥l直线的法向量如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直,则称向量v为直线l的一个法向量v⊥l名师点睛直线的方向向量和法向量与斜率k(倾斜角θ)的关系(1)直线的方向向量不唯一,有无数多个,这些方向向量共线,(1,k)是其中一个,由向量垂直可知,(k,-1)是直线的一个法向量;(2)一般地,当直线的倾斜角为θ时,(cos

θ,sin

θ)是直线的一个方向向量.过关自诊已知直线l:y=3x+1,你能给出这条直线的一个方向向量a和一个法向量v吗?该直线的斜率是多少?重难探究·能力素养全提升探究点一直线的倾斜角【例1】

(1)下列说法正确的是(

)A.一条直线和x轴的正方向所成的角,称为这条直线的倾斜角B.直线的倾斜角α在第一象限或第二象限C.和x轴平行的直线,它的倾斜角为0°D.不是每一条直线都有倾斜角C解析

由倾斜角的定义可知,A错误;倾斜角的范围是0°~180°,故B错误;和x轴平行的直线的倾斜角是0°,故C正确;每条直线都有倾斜角,故D错误.(2)已知直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是(

)C解析

直线倾斜角的取值范围是[0,π).又因为直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角α的取值范围是规律方法

求直线的倾斜角的方法及注意点(1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.(2)两点注意:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°;当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°;②注意直线倾斜角的取值范围.变式训练1已知直线l的倾斜角为θ-25°,则角θ的范围为(

)A.25°≤θ<155°B.-25°≤θ<155°C.0°≤θ<180°D.25°≤θ<205°D解析

因为直线l的倾斜角为θ-25°,所以0°≤θ-25°<180°,所以25°≤θ<205°.探究点二直线的斜率和倾斜角的关系【例2】

已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).(1)当m为何值时,直线l的斜率是1?(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°?(2)因为直线l的倾斜角为90°,所以直线l的斜率不存在,所以m+1=2m,所以m=1.变式探究1本例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围.解

因为直线l的倾斜角为锐角,所以直线的斜率大于0,即

故m的取值范围为(1,2).变式探究2若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如何?解

(1)因为直线l的斜率是1,所以

=1,所以m=2.(2)因为直线l的倾斜角为90°,所以直线l的斜率不存在,所以m+1=3m,所以m=.规律方法

通过本例的求解,一定要熟练地掌握直线的斜率与倾斜角的对应关系,若直线斜率存在,则除了斜率公式之外还可以应用k=tan

α(其中α为直线的倾斜角,k为直线的斜率),斜率为零和斜率不存在时对应的情况要引起重视.变式训练2(1)若过点P(1-a,1+a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是

.

(-2,1)解析

因为直线的倾斜角为钝角,所以-2<a<1,即a∈(-2,1).(2)求证:A(1,5),B(0,2),C(2,8)三点共线.证明

(方法一)利用斜率公式计算出AB和AC两条直线的斜率,因为直线AB和AC的斜率相同,且直线AB和AC过同一点A,所以A,B,C三点共线.即|AB|+|AC|=|BC|,所以A,B,C三点共线.探究点三求直线的方向向量和法向量【例3】

已知直线过点A(-1,-2),B(3,2),试求:直线的一个方向向量a,一个法向量v,斜率k与倾斜角θ.解

根据方向向量的定义可知直线的一个方向向量为

=(3-(-1),2-(-2))=(4,4),∴取a=(4,4).再根据a与v垂直,因此取v=(4,-4).直线的斜率k==1,再由tan

θ=k=1,得θ=45°.综上可知,该直线的一个方向向量为(4,4),一个法向量为(4,-4),斜率为1,倾斜角为45°.规律方法

1.求解一条直线的方向向量、法向量、斜率、倾斜角问题,一定要明确其定义.2.利用相应的计算公式以及理解它们之间的内在联系,尤其是可以根据方向向量进而得出法向量,也可以根据方向向量求斜率.变式训练3[北师大版教材习题]已知直线l的斜率为-2,求直线l的一个方向向量的坐标.解

直线l的一个方向向量的坐标为(1,-2).成果验收·课堂达标检测A级必备知识基础练12345678910111213141516171.[探究点二]下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是(

)A.(4,2)与(-4,1) B.(0,3)与(3,0)C.(3,-1)与(2,-1) D.(-2,2)与(-2,5)D解析

D项,因为x1=x2=-2,所以直线垂直于x轴,倾斜角为90°,斜率不存在.12345678910111213141516172.[探究点二](多选题)下列说法中,不正确的有(

)A.任何一条直线都有唯一的斜率B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大C.任何一条直线都有唯一的倾斜角D.任何一条直线都能找出方向向量AB解析

A错,因为倾斜角为90°的直线没有斜率;B错,因为当0°<α<90°时,k>0,当90°<α<180°时,k<0;C对,D对.12345678910111213141516173.[探究点一](多选题)若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角可能为(

)A.30°

B.60° C.120°

D.150°BC解析

y轴正方向对应的直线的倾斜角为90°,因此所求直线的倾斜角为60°或120°.故选BC.12345678910111213141516174.[探究点二]在平面直角坐标系中,正三角形ABC的BC边所在直线的斜率是0,则AC,AB边所在直线的斜率之和为(

)B解析

由BC边所在直线的斜率是0知,直线BC与x轴平行或重合,所以直线AC,AB的倾斜角互为补角,根据直线斜率的定义知,直线AC,AB的斜率之和为0.故选B.12345678910111213141516175.[探究点二]如图所示,下列四条直线中,斜率最大的是(

)A.l1 B.l2C.l3 D.l4D解析

由图可知,l3斜率为负,l2斜率为0,l1,l4的斜率为正.又l4的倾斜程度大于l1,所以l4的斜率最大.故选D.12345678910111213141516176.[探究点一]已知直线l的倾斜角为2α-20°,则α的范围是

.

10°≤α<100°解析

由0°≤2α-20°<180°,得10°≤α<100°.12345678910111213141516177.[探究点一]已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐标为

.

(3,0)或(0,-3)解析

若设点P的坐标为P(x,0),12345678910111213141516178.[探究点一]已知A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)三点共线,则x=

,直线AB的倾斜角为

.

312345678910111213141516179.[探究点二]已知点A(1,2),B(-3,-4),C(2,),D(x,-2).(1)证明:A,B,C三点共线;(2)若∠DAB=,求x的值.1234567891011121314151617即-4(x-1)+24=0,解得x=7,∴x的值为7.123456789101112131415161710.[探究点二·人教A版教材例题]如图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.由kAB>0及kCA>0可知,直线AB与CA的倾斜角均为锐角;由kBC<0可知,直线BC的倾斜角为钝角.1234567891011121314151617B级关键能力提升练11.(多选题)若直线l与x轴交于点A,其倾斜角为α,直线l绕点A顺时针旋转

BC123456789101112131415161712.直线l1经过两点A(0,0),B(,1),直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍,则直线l2的斜率为(

)D123456789101112131415161713.直线xsinα-y+1=0的倾斜角的取值范围为(

)D解析

设直线xsin

α-y+1=0的倾斜角为θ,可得tan

θ=sin

α∈[-1,1],123456789101112131415161714.若直线l的一个法向量为n=(2,1),则直线l的斜率k=

.

-2解析

根据题意,设直线l的斜率为k,则其方向向量为a=(1,k),若直线l的一个法向量为n=(2,1),则有a·n=2+k=0,解得k=-2.1234567891011121314151617

所以直线AB的倾斜角为0°,直线BC的倾斜角为60°,直线AC的倾斜角为30°.1234567891011121314151617(2)如图,当直线CD由CA绕点C逆时针转到CB时,直线CD与线段AB恒有交点,即D在线段AB上,此时k由kAC增大到kBC,所以k的取值范围为C级学科素养创新练12345678910111213