第四章一次函数

第四章一次函数概述知识脉络课标内容要求素养能力培养概述知识脉络

函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型,是初中阶段数学学习的一个重要内容.本章一次函数的学习遵循循序渐进、螺旋上升的原则,前期已经学习“字母表示数”和“变量之间的关系”,为函数的学习做了很好的铺垫,本章继续通过变量间关系的考查,让学生初步体会函数的概念,通过解剖一次函数,使学生了解函数的有关性质和研究方法,并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.课标内容要求认知水平课标内容素养目标理解初步理解函数的概念,在实际背景中感受自变量取值范围的意义抽象能力理解一次函数及其图象的有关性质初步体会方程和函数的关系掌握会运用待定系数法确定一次函数的表达式模型观念运算能力推理能力能画一次函数的图象,根据图象和表达式探索并理解图象的变化情况理解正比例函数运用能用一次函数解决简单实际问题应用意识

本章一次函数的学习将进一步发展抽象能力、模型观念、运算能力和应用意识等核心素养,在学习过程中,借助贴近生活的丰富实例,让学生从实际问题情境中抽象出函数及一次函数的概念,进而探索出一次函数及其图象的性质,能够利用一次函数及其图象解决有关现实问题,发展学生形象思维能力和逻辑推理能力,培养学生的数形结合能力.

素养能力培养体系自我构建目标维度评价【维度1】基本知识的应用1.(2022·广东中考)水中涟漪(圆形水波)不断扩大,记它的半径为r,则圆周长C与r的关系式为C=2πr.下列判断正确的是 ()A.2是变量 B.π是变量C.r是变量 D.C是常量2.若y=(k-2)x|k-1|+1表示一次函数,则k等于()A.0 B.2 C.0或2 D.-2或0CA

DD5.(2023·乐山中考)下列各点在函数y=2x-1图象上的是 ()A.(-1,3) B.(0,1)C.(1,-1) D.(2,3)D

x…-1012…y…-2024…A

AD9.(2022·临沂中考)甲、乙两车从A城出发前往B城,在整个行程中,汽车离开A城的距离y(单位:km)与时间x(单位:h)的对应关系如图所示,下列说法不正确的是()A.甲车行驶到距A城240km处,被乙车追上B.A城与B城的距离是300kmC.乙车的平均速度是80km/hD.甲车比乙车早到B城10.(2023·天津中考)若直线y=x向上平移3个单位长度后经过点(2,m),则m的值为_______.

D

5

【维度3】实际生活生产中的应用11.(2022·温州中考)小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示,他离家的路程为s米,所经过的时间为t分钟.下列选项中的图象,能近似刻画s与t之间关系的是()A12.(2023·连云港中考)目前,我市对市区居民用气户的燃气收费,以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯:阶梯年用气量销售价格备注第一阶梯0~400m3(含400)的部分2.67元/m3若家庭人口超过4人的,每增加1人,第一、二阶梯年用气量的上限分别增加100m3,200m3.第二阶梯400~1200m3(含1200)的部分3.15元/m3第三阶梯1200m3以上的部分3.63元/m3(1)一户家庭人口为3人,年用气量为200m3,则该年此户需缴纳燃气费用为________元;

【解析】(1)200×2.67=534(元);答案:534(2)一户家庭人口不超过4人,年用气量为xm3(x>1200),该年此户需缴纳燃气费用为y元,求y与x的函数表达式;【解析】(2)根据题意得,y=400×2.67+(1200-400)×3.15+3.63(x-1200)=3.63x-768,所以y与x的函数表达式为y=3.63x-768(x>1200);(3)甲户家庭人口为3人,乙户家庭人口为5人,某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元,求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气.(结果精确到1m3)【解析】(3)因为400×2.67+(1200-400)×3.15=3588<3855,所以甲户该年的用气量达到了第三阶梯,由(2)知,当y=3855时,3.63x-768=3855,解得x≈1273.6,又因为2.67×(100+400)+3.15×(1200+200-500)=4170>3855,且2.67×(100+400)=1335<3855.所以乙户该年的用气量达到第二阶梯,但未达到第三阶梯,设乙户年用气量为am3,则有2.67×500+3.15(a-500)=3855,解得a=1300,1300-1273.6=26.4≈26(m3).答:该年乙户比甲户多用约26m3的燃气.【维度4】跨学科应用13.【与物理结合】(2023·山西中考)一种弹簧秤最大能称10kg的物体,不挂物体时弹簧的长为12cm,每挂重1kg物体,弹簧伸长0.5cm,在弹性限度内,挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式为()A.y=12-0.5x B.y=12+0.5xC.y=10+0.5x D.y=0.5xB14.【与化学融合】(2022·江西中考)甲、乙两种物质的溶解度y(g)与温度t(℃)之间的对应关系如图所示,则下列说法中,错误的是()A.甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大B.当温度升高至t2℃时,甲的溶解度比乙的溶解度大C.当温度为0℃时,甲、乙的溶解度都小于20gD.当温度为30℃时,甲、乙的溶解度相等D15.【与物理结合】(2023·东营中考)如图,一束光线从点A(-2,5)出发,经过y轴上的点B(0,1)反射后经过点C(m,n),则2m-n的值是_______.

-1

16.【与物理结合】(2023·苏州中考)某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB,长度为1m的金属滑块在上面做往返滑动.如图,滑块首先沿AB方向从左向右匀速滑动,滑动速度为9m/s,滑动开始前滑块左端与点A重合,当滑块右端到达点B时,滑块停顿2s,然后再以小于9m/s的速度匀速返回,直到滑块的左端与点A重合,滑动停止.设时间为t(s)时,滑块左端离点A的距离为l1(m),右端离点B的距离为l2(m),记d=l1-l2,d与t具有函数关系,已知滑块在从左向右滑动过程中,当t=4.5s和5.5s时,与之对应的d的两个值互为相反数;滑块从点A出发到最后返回点A,整个过程总用时27s(含停顿时间).请你根据所给条件解决下列问题:(1)滑块从点A到点B的滑动过程中,d的值________;(填“由负到正”或“由正到负”)

【解析】(1)因为d=l1-l2,当滑块在A点时,l1=0,d=-l2<0,当滑块在B点时,l2=0,d=l1>0,所以d的值由负到正.16.【与物理结合】(2023·苏州中考)某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB,长度为1m的金属滑块在上面做往返滑动.如图,滑块首先沿AB方向从左向右匀速滑动,滑动速度为9m/s,滑动开始前滑块左端与点A重合,当滑块右端到达点B时,滑块停顿2s,然后再以小于9m/s的速度匀速返回,直到滑块的左端与点A重合,滑动停止.设时间为t(s)时,滑块左端离点A的距离为l1(m),右端离点B的距离为l2(m),记d=l1-l2,d与t具有函数关系,已知滑块在从左向右滑动过程中,当t=4.5s和5.5s时,与之对应的d的两个值互为相反数;滑块从点A出发到最后返回点A,整个过程总用时27s(含停顿时间).请你根据所给条件解决下列问题:(2)滑块从点B到点A的滑动过程中,求d与t的函数表达式;【解析】(2)设轨道AB的长为n,当滑块从左向右滑动时,因为l1+l2+1=n,所以l2=n-l1-1,所以d=l1-l2=l1-(n-l1-1)=2l1-n+1=2×9t-n+1=18t-n+1,所以d是t的一次函数,因为当t=4.5s和5.5s时,与之对应的d的两个值互为相反数;所以当t=5时,d=0,所以18×5-n+1=0,所以n=91,所以滑块从点A到点B所用的时间为(91-1)÷9=10(s),因为整个过程总用时27s(含停顿时间).当滑块右端到达点B时,滑块停顿2s,所以滑块从B返回到A所用的时间为27-10-2=15(s).所以滑块返回的速度为(91-1)÷15=6(m/s),所以当12≤t≤27时,l2=6(t-12),所以l1=91-1-l2=90-6(t-12)=162-6t,所以l1-l2=162-6t-6(t-12)=-12t+234,所以d与t的函数表达式为d=-12t+234;16.【与物理结合】(2023·苏州中考)某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB,长度为1m的金属滑块在上面做往返滑动.如图,滑块首先沿AB方向从左向右匀速滑动,滑动速度为9m/s,滑动开始前滑块左端与点A重合,当滑块右端到达点B时,滑块停顿2s,然后再以小于9m/s的速度匀速返回,直到滑块的左端与点A重合,滑动停止.设时间为t(s)时,滑块左端离点A的距离为l1(m),右端离点B的距离为l2(m),记d=l1-l2,d与t具有函数关系,已知滑块在从左向右滑动过程中,当t=4.5s和5.5s时,与之对应的d的两个值互为相反数;滑块从点A出发到最后返回点A,整个过程总用时27s(含停顿时间).请你根据所给条件解决下列问题:(3)在整个往返过程中,若d=18,求t的值