2024-2025学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.2.1 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）（教师用书）教案 新人教A版选修2-2

2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.2导数的计算1.2.11.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）（教师用书）教案新人教A版选修2-2主备人备课成员课程基本信息1.课程名称：高中数学第1章导数及其应用1.2导数的计算1.2.11.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）

2.教学年级和班级：高中二年级

3.授课时间：2024年9月15日，星期一，第1节

4.教学时数：45分钟

本节课将教授基本初等函数的导数公式，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数，以及导数的四则运算法则。通过具体实例和练习题，使学生掌握导数的计算方法，并能应用于实际问题中。教学内容紧密联系新人教A版选修2-2教材，确保学生所学知识与课本保持一致。核心素养目标1.掌握基本初等函数导数公式，提高数学运算能力，形成逻辑推理素养；

2.理解导数的物理、几何意义，培养数学建模和直观想象素养；

3.能够运用导数的运算法则解决实际问题，提升数学应用意识和数据分析素养；

4.培养学生的团队合作意识和批判性思维，提高数学表达和交流能力。教学难点与重点1.教学重点：

-掌握常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数公式；

-理解并应用导数的四则运算法则；

-能够利用导数公式解决实际函数的求导问题。

例如，对于幂函数求导，学生需掌握幂法则：(x^n)'=n*x^(n-1)，并能够灵活运用到具体的求导问题中。

2.教学难点：

-理解导数公式的推导过程，特别是指数函数和对数函数的导数；

-正确应用导数的运算法则，特别是在复合函数求导时的链式法则；

-解决实际问题时，能够识别并运用合适的导数公式。

以复合函数求导为例，难点在于理解链式法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)，学生需要能够识别内外函数，并正确应用此法则。此外，对于对数函数的导数，如(ln(x))'=1/x，学生需理解其导数公式的由来及其在实际问题中的应用。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都准备好新人教A版选修2-2数学教材，提前预习导数计算相关内容。

2.辅助材料：准备基本初等函数图像、导数计算步骤的图表、实际应用例子的视频等多媒体资源，以直观展示导数概念和计算方法。

3.实验器材：本节课不涉及实验，无需准备实验器材。

4.教室布置：将教室划分为讲授区、讨论区，讨论区用于学生分组讨论导数计算问题，便于学生互动交流。同时，设置投影仪和黑板，方便展示多媒体资源和板书讲解。教学过程首先，让我们回顾一下上节课的内容。我们学习了导数的定义和几何意义，这为我们今天学习导数的计算打下了基础。今天，我们将深入探讨基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，这是导数计算的核心内容。

1.导入新课

（1）通过复习上节课的内容，引导学生思考：如何计算一个函数在某一点的导数？

（2）提出问题：对于基本初等函数，是否存在一种通用的方法来计算它们的导数？

2.探究导数公式

（1）常数函数的导数

我们先来看常数函数f(x)=C，其中C为常数。根据导数的定义，我们有：

f'(x)=lim（h→0）[f(x+h)-f(x)]/h

=lim（h→0）[C-C]/h

=0

因此，常数函数的导数为0。

（2）幂函数的导数

f'(x)=lim（h→0）[f(x+h)-f(x)]/h

=lim（h→0）[(x+h)^n-x^n]/h

=n*x^(n-1)

这就是幂函数的导数公式。

（3）指数函数的导数

现在，我们来看指数函数f(x)=a^x（其中a为正常数）的导数。根据导数的定义，我们有：

f'(x)=lim（h→0）[f(x+h)-f(x)]/h

=lim（h→0）[a^(x+h)-a^x]/h

=a^x*ln(a)

这就是指数函数的导数公式。

（4）对数函数的导数

最后，我们来研究对数函数f(x)=ln(x)的导数。根据导数的定义，我们有：

f'(x)=lim（h→0）[f(x+h)-f(x)]/h

=lim（h→0）[ln(x+h)-ln(x)]/h

=1/x

这就是对数函数的导数公式。

3.导数的运算法则

（1）导数的四则运算法则

现在我们已经掌握了基本初等函数的导数公式，接下来我们要学习如何将这些导数应用于复合函数的求导。这就是导数的四则运算法则。

①加法法则：[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)

②减法法则：[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)

③乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)

④除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)]/[g(x)]^2

（2）链式法则

对于复合函数f(g(x))，我们可以使用链式法则来求导：

f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)

这个法则在复合函数求导中非常重要。

4.实际应用

现在，我们来解决一些实际问题，将所学的导数公式和运算法则运用到实际函数的求导中。

（1）给出一个实际函数，要求学生计算其导数。

（2）讨论如何使用导数解决物理、几何等领域的实际问题。

5.总结与作业

（1）总结本节课所学的导数公式和运算法则。

（2）布置作业：课后练习相关题目，加深对导数计算方法的理解。拓展与延伸1.拓展阅读材料：

-《微积分学导论》中关于导数计算的部分，特别是基本初等函数导数公式的推导和应用；

-《数学分析》中关于导数四则运算法则的详细解释和例题；

-《高中数学竞赛教程》中涉及导数的综合应用和提高题目。

2.课后自主学习和探究：

-研究教材中的例题和习题，尝试用不同的方法解决导数计算问题；

-探索导数在物理学中的运动学应用，如速度、加速度与位移之间的关系；

-了解导数在经济领域中的运用，如最优化问题、边际分析等；

-尝试编写一些涉及导数计算的实际问题，与同学进行交流和讨论；

-研究导数在几何图形中的意义，如切线斜率、曲率等，并尝试用导数解释一些几何现象；

-阅读相关数学史资料，了解导数的发现和发展过程，以及不同数学家对导数研究的贡献。教学评价与反馈1.课堂表现：学生在课堂上的参与度较高，能够积极回答问题，主动提出疑问。对于基本初等函数导数公式的推导和应用，大多数学生能够跟上课堂节奏，表现出较好的理解和掌握。

2.小组讨论成果展示：小组讨论环节，各小组能够围绕导数的计算方法、实际应用等问题展开深入探讨。在成果展示中，各小组能够清晰地表达自己的观点，展示出对导数计算方法的深入理解。

3.随堂测试：通过随堂测试，发现学生在基本初等函数导数公式和导数运算法则的应用方面，大部分学生能够正确解答。但仍有部分学生在面对复合函数求导时，对链式法则的应用不够熟练。

4.课后作业完成情况：课后作业完成情况良好，大部分学生能够按照要求完成作业，对导数计算方法有了更深入的理解。但也有部分学生作业中存在错误，需要进一步巩固和复习。

5.教师评价与反馈：针对学生的课堂表现、小组讨论、随堂测试和课后作业，教师进行以下评价与反馈：

-对于课堂上积极提问和回答问题的学生，给予表扬和鼓励，激发学生的学习兴趣和积极性；

-对于小组讨论中表现优秀的小组和个人，给予充分肯定，鼓励他们在今后的学习过程中继续发挥团队协作精神；

-对于随堂测试和课后作业中存在的问题，教师应及时给予指导，帮助学生找出错误原因，并针对性地进行讲解和辅导；

-针对部分学生对链式法则掌握不够熟练的问题，教师可安排课后辅导或增加相关练习，帮助学生巩固知识点；

-加强与学生的沟通交流，了解他们在学习过程中的需求和困难，不断调整教学方法，提高教学质量。重点题型整理1.求导数题型：

-函数f(x)=x^3的导数是多少？

答案：f'(x)=3x^2

-函数g(x)=2^x的导数是多少？

答案：g'(x)=2^x*ln(2)

2.应用导数运算法则题型：

-函数h(x)=(x^2+1)*e^x的导数是多少？

答案：h'(x)=(2x*e^x)+(x^2+1)*e^x

-函数m(x)=ln(x^2)的导数是多少？

答案：m'(x)=2/x

3.复合函数求导题型：

-函数F(x)=e^(2x)的导数是多少？

答案：F'(x)=2*e^(2x)

-函数G(x)=sin(x^2)的导数是多少？

答案：G'(x)=2x*cos(x^2)

4.实际应用题型：

-物理学中，物体的速度v(t)=t^2-2t+3，求物体在t=2秒时的加速度。

答案：加速度a(t)=v'(t)=2t-2，所以a(2)=2

-经济学中，成本函数C(x)=3x^2+2x+10，求当产量x增加1单位时的边际成本。

答案：边际成本MC(x)=C'(x)=6x+2，所以MC(x+1)=6(x+1)+2=6x+8

5.几何应用题型：

-给定曲线y=x^3，求在点(1,1)处的切线方程。

答案：导数y'=3x^2，在点(1,1)处切线斜率为3，所以切线方程为y-1=3(x-1)，即3x-y-2=0

-给定曲线y=ln(x)，求在x=e处的曲率半径。

答案：二阶导数y''=-1/x，在x=e处，曲率半径ρ=-1/(y''(e))=-e教学反思在上完这节课后，我对教学过程进行了深入思考。总体来说，学生对基本初等函数导数公式及导数的运算法则的理解和掌握程度较好，但仍有一些地方值得我反思。

首先，我发现部分学生在推导指数函数和对数函数的导数时，对其中的数学原理理解不够深入。在今后的教学中，我需要更加注重引导学生从数学本质上理解导数的概念，而不仅仅停留在公式层面。

其次，关于导数的运算法则，尤其是链式法则，学生在实际应用时仍存在困难。我考虑在接下来的课程中，增加一些具体的例子，让学生通过实际操作来加深对链式法则的理解。

另外，我在教学过程中发现，学生的课堂参与度较高，但部分学生在小组讨论中表现不够积极。为了提高这部分学生的积极性，我计划在下一节课中，尝试采取一些激励措施，如表扬积极发言的学生，鼓励他们为小组作出贡献。