《等边三角形》练习试题附答案

...wd......wd......wd...《等边三角形》练习题1．〔2012•深圳〕如图，：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，假设OA1=1，则△A6B6A7的边长为〔〕A．6B．12C．32D．642．〔2012•凉山州〕如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是〔〕A．180°B．220°C．240°D．300°3．〔2012•荆门〕如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．假设BF=2，则PE的长为〔〕A．2B．2C．D．34．〔2011•南平〕边长为4的正三角形的高为〔〕A．2B．4C．D．25．〔2010•随州〕如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为〔〕A．B．C．D．不能确定6．〔2009•攀枝花〕如以以下图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为〔〕A．60°B．45°C．40°D．30°7．〔2007•绵阳〕如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2，则〔〕A．3S1=2S2B．2S1=3S2C．2S1=S2D．S1=2S28．〔2007•娄底〕如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影局部的面积为〔〕A．4cm2B．2cm2C．3cm2D．3cm29．〔2006•天津〕如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是〔〕A．3个B．2个C．1个D．0个10．〔2006•南宁〕如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行〔A，C端点除外〕，设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是〔〕A．d＞hB．d＜hC．d=hD．无法确定11．〔2007•南充〕一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距〔〕A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里12．〔2006•曲靖〕如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于〔〕A．25°B．30°C．45°D．60°13．〔2011•茂名〕如图，△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=_________度．14．〔2008•日照〕如图，C为线段AE上一动点〔不与点A，E重合〕，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有_________．〔把你认为正确的序号都填上〕15．〔2005•扬州〕如图，将边长为4的等边△ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到△A′B′C′，则点A′的坐标为_________．16．〔2004•茂名〕如图，正三角形A1B1C1的边长为1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3，…，如此类推，得到△AnBnCn．则：〔1〕△A3B3C3的边长a3=_________；〔2〕△AnBnCn的边长an=_________〔其中n为正整数〕．17．〔2006•嘉峪关〕△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则△DEF为_________三角形．18．〔1999•广州〕如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出_________个．19．如以以下图，P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，假设PB=3，则PP′=_________．20．〔2009•浙江〕如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE．〔1〕求△ABC的面积S；〔2〕判断AC、DE的位置关系，并给出证明．21．〔2009•辽阳〕如图，△ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．22．〔2008•绍兴〕附加题，学完“几何的回忆〞一章后，教师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．〔1〕请你完成这道思考题；〔2〕做完〔1〕后，同学们在教师的启发下进展了反思，提出了许多问题，如：①假设将题中“BM=CN〞与“∠BQM=60°〞的位置交换，得到的是否仍是真命题②假设将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°③假设将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上〞改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上〞，是否仍能得到∠BQM=60°…请你作出判断，在以下横线上填写“是〞或“否〞：①_________；②_________；③_________．并对②，③的判断，选择一个给出证明．23．〔2007•河北〕在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．〔1〕在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜测并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜测；〔2〕当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜测并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜测；〔3〕当三角尺在〔2〕的根基上沿AC方向继续平移到图3所示的位置〔点F在线段AC上，且点F与点C不重合〕时，〔2〕中的猜测是否仍然成立〔不用说明理由〕．24．〔2004•苏州〕：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．〔1〕求证：DP=PE；〔2〕假设D为AC的中点，求BP的长．25．〔2002•黑龙江〕等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．“假设点P在一边BC上〔如图1〕，此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h〞请直接应用上述信息解决以下问题：〔1〕当点P在△ABC内〔如图2〕，〔2〕点P在△ABC外〔如图3〕这两种情况时，上述结论是否还成立假设成立，请给予证明；假设不成立，h1、h2、h3与h之间的关系若何请写出你的猜测，不需证明．26．〔2000•河南〕如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．〔1〕当AC、CD、DB满足若何的关系时，△ACP∽△PDB；〔2〕当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．27．〔2010•雅安〕如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．〔1〕求证：AE=BD；〔2〕求证：MN∥AB．28．〔2005•临沂〕如图，AD和BC交于点O，且△OAB和△OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F．求证：△ACE为等边三角形．29．：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．〔1〕求证：AD=BE；〔2〕求∠DOE的度数；〔3〕求证：△MNC是等边三角形．30．如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ：BC=1：2，过P作PE⊥AC于E，连PQ交AC边于D，求DE的长《全等三角形》练习参考答案与试题解析1．C2．C3．C4．D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13．∠E=15度．14．①②③⑤．15．.16．a3=；△AnBnCn的边长an=〔或21﹣n〕17．等边三角形．18．2个．19PP′=3．20．解：〔1〕在正△ABC中，AD=4×，〔2分〕∴S=BC×AD=×4×2=4．〔3分〕〔2〕AC、DE的位置关系：AC⊥DE．〔1分〕在△CDF中，∵∠CDE=90°﹣∠ADE=30°，〔2分〕∴∠CFD=180°﹣∠C﹣∠CDE=180°﹣60°﹣30°=90°．∴AC⊥DE．〔3分〕〔注：其它方法酌情给分〕．21．解：AE∥BC．理由如下：∵△ABC与△CDE为正三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，∴△BCD≌△ACE，∴∠B=∠EAC，∵∠B=∠ACB，∴∠EAC=∠ACB，∴AE∥BC．22．请你作出判断，在以下横线上填写“是〞或“否〞：①是；②是；③否．并对②，③的判断，选择一个给出证明．〔1〕证明：在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．〔2〕①是；②是；③否．②的证明：如图，在△ACM和△BAN中，，∴△ACM≌△BAN，∴∠AMC=∠BNA，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，∴∠BQM=60°．③的证明：如图，在Rt△ABM和Rt△BCN中，，∴Rt△ABM≌Rt△BCN，∴∠AMB=∠BNC．又∠NBM+∠BNC=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．23解：〔1〕BF=CG；证明：在△ABF和△ACG中∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC∴△ABF≌△ACG〔AAS〕∴BF=CG；〔2〕DE+DF=CG；证明：过点D作DH⊥CG于点H〔如图2〕∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形∴DE=HG，DH∥BG∴∠GBC=∠HDC∵AB=AC∴∠FCD=∠GBC=∠HDC又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC∴△FDC≌△HCD〔AAS〕∴DF=CH∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；〔3〕仍然成立．证明：过点D作DH⊥CG于点H〔如图3〕∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形，∴DE=HG，DH∥BG，∴∠GBC=∠HDC，∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC≌△HCD〔AAS〕∴DF=CH，∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．24．〔1〕证明：过点D作DF∥AB，交BC于F．∵△ABC为正三角形，∴∠CDF=∠A=60°．∴△CDF为正三角形．∴DF=CD．又BE=CD，∴BE=DF．又DF∥AB，∴∠PEB=∠PDF．∵在△DFP和△EBP中，∵，∴△DFP≌△EBP〔AAS〕．∴DP=PE．〔2〕解：由〔1〕得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．∵D为AC中点，DF∥AB，∴BF=BC=a．∴BP=BF=a．25．解：〔1〕当点P在△ABC内时，结论h1+h2+h3=h仍然成立．理由如下：过点P作BC的平行线，交AB于G，交AC于H，交AM于N，则可得结论h1+h2=AN．∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2+h3=AN+MN=AM=h，即h1+h2+h3=h．〔2〕当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2﹣h3=h．理由如下：过点P作BC的平行线，与AB、AC、AM分别相交于G、H、N，则可得结论h1+h2=AN．∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2﹣h3=AN﹣MN=AM=h，即h1+h2﹣h3=h．26．解：〔1〕当CD2=AC•DB时，△ACP∽△PDB，∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=∠PDC=60°，∴∠ACP=∠PDB=120°，假设CD2=AC•DB，由PC=PD=CD可得：PC•PD=AC•DB，即=，则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB〔2〕当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD∵∠PDB=120°∴∠DPB+∠DBP=60°∴∠APC+∠BPD=60°∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°即可得∠APB的度数为120°．27．证明：〔1〕∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，∵∠DCA=∠ECB=60°，∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，在△ACE与△DCB中，∵，∴△ACE≌△DCB，∴AE=BD；〔2〕∵由〔1〕得，△ACE≌△DCB，∴∠CAM=∠CDN，∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线，∴∠DCN=60°，在△ACM与△DCN中，∵，∴△ACM≌△DCN，∴MC=NC，∵∠MCN=60°，∴△MCN为等边三角形，∴∠NMC=∠DCN=60°，∴∠NMC=∠DCA，∴MN∥AB．28．证明：∵△OAB和△OCD为等边三角形，∴CD=OD，OB=AB，∠ADC=∠ABO=60°．∵四边形ODEB是平行四边形，∴OD=BE，OB=DE，∠CBE=∠EDO．∴CD=BE，AB=DE，∠ABE=∠CDE．∴△ABE≌△EDC．∴AE=CE，∠AEB=∠ECD．∵BE∥AD，∴∠AEB=∠EAD．∴∠EAD=∠ECD．在△AFE和△CFD中又∵∠AFE=∠CFD，∴∠AEC=∠ADC=60°．∴△ACE为等边三角形．29．解：〔1〕∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC=BC