数学教学典型案例及评析

数学教学典型案例及评析

课例1等腰三角形的判定

师：我们已经学习了等腰三角形的性质，哪位同学来叙述一下？

生1:等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角：等腰三

角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.

师：很好.下面有这样一个问题：如图1,△/优是等腰三角形，AB=AC,一不留心，

它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边比和一个底角a同学们想一想，有没有办法

把原来的等腰三角形/a'重新画出来?大家试试看。

图I

［学生先画出残余图形，略作思索，然后独立画图.画好后，学生间相互交流画

法.教师在全班巡视，不时参加学生间的议论.最后由两名学生口答画图的方法］

生2：先用量角器量出NC的度数，然后以眼为一边，8为顶点画出/B=NC,NB

和ZC的一边相交得到顶点儿如图2左所示。

图2

生3：取回边上的中点〃，用三角板过〃作理的垂线，与NC的一边相交得到交点

A,连结AB.如图2右所示.

师：很好!刚才我看了一下，同学们大都想出了上面两种画法.第一种方法，用角相等

的方法来画.第二种方法用过一边中点作垂线的方法来画，同学们，你们认为这样画出来的

三角形都是等腰三角形吗？

生众：是的.

师:为什么是等腰三角形呢?这就是我们今天所要学习的内容一一“等腰三角形的判定”,

［板书课题］

师：要判定刚才作出的三角形是等腰三角形，应当给出证明.我们先分析第一种画法，

即在两角相等条件下能否判定画出的是等腰三角形?大家想一想，在这里已知是什么？求证又

是什么？

生4：已知：在中，ZB=NC,求证：AB=AC

［评］第一种画法正好可以得出这节课要学的判定定理，第二种画法则是今后学习线段

垂直平分线性质的事实基础.据了解，当时学生还有将残余图对折的第三种画法，而这又是

等腰三角形对称性的体现.理论源干生活，对于初学平面几何的学生来说，选择适当时机让

他们从个体的实践经验中学习，可以提高其学习的主动性.在这里，等腰三角形的判定定

理不是由教师给出，而是学生凭经验画图，那么画出的图形究竟是不是等腰三角形呢?产生

了问题，然后从问题出发，得出判定定理.这样做，改变了学生只是被动接受的状况，因此,

学习的兴趣和积极性大有提高。

师：考虑一下，这个问题怎样来证明，已知告诉我们的是两个角相等，要求证明的是

两条线段相等。那么，要证明两条线段相等，常用什么方法？

生众：三角形全等.

师：图上有吗？

生众：没有.

师：那怎么办？

生众：添辅助线.

师：同学们动手做一做，怎么添辅助线，又怎么证明？把主要证明过程写下来.

［学生练习，教师巡视了解情况.待全班学生基本完成证明之后，教师要求学生相互议

论：还有哪些不同的证明方法?全体同学对不同的证法很感兴趣，接着，教师请学生叙述自

己是怎么证明的］

生5：作NA的平分线“，交比1于7,如图3左所示，在AR4T和AC4T中,

Z=N2（角平分线定义），

<NB=NC（已知），

AT=AT（公共边），

ABATsAC4T（角角边）

AB=AC（全等三角性形对应边Ifl等）.

师；这位同学添了NA的平分线，通过“角角边”来证明三角形全等，从而得到4层o

还有其他方法吗？

生6：过4点作垂足为"如图3中所示.

AD±BC,ZABD=ZADC.

在AW8和AWOI।,

ZABD=ZADC,

<ZB=ZC,

AD=AD,

.•.AADB=AA£）C

：.AB^AC

师：这位同学作了应'边上的高4A两个直角三角形全等，还有其它方法吗？生7：作

比■边上的中线4帆如图3右所示，用“边角边”证全等

加/是应'边上的中线，BM=CM.

在AAMB和A4MC中

BM=CM,

•AM=AM,

ZB=NC,

嗯［这名同学发现不对，停顿不讲了，不少同学也纷纷指出他的错误，这是“边

边角”，不能证明三角形全等］

［评］想出如此多样的证明方法，可见兴趣的力量是不可低估的.“知之者，不如好之者;

好之者，不如乐之者”，由“好"和''乐”所产生的迫切追求和探索知识的热情是克服一切

困难的内部动力

师：经过证明我们知道，刚才大家通过画图获得的那个几何命题是正确的，它可以作为

“等腰三角形的判定定理”，同学们能不能用语言来正确叙述一下这条判定定理？

生8：有两个底角相等的三角形是等腰三角形.［教师板书］

师：大家有不同意见吗?在没有说明它是等腰三角形之前，能不能讲“底角”？

生众：不能！

［教师擦去“底”字，定理变为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，然后，教师要

求学生翻开课本，集体朗读课本上的判定定理：“如果一个三角形的两个角相等，那么这两

个角所对的边也相等］

师：课本上讲的和同学们讲的似乎有些不同，但实质上是一致的.同学们讲的等腰三角

形没讲明是哪两条边相等，课本上讲清楚了，是相等的角所对的边相等，所以这条判定定理

又简称“等角对等边”.此外，能不能判定第二种画法画出的三角形也是等腰三角形呢?这个

问题留给大家课后去考虑.有了这条判定定理，今后我们证明线段相等，又多了一种方法：

在一个三角形中，如果角相等了，就可以得到所对的边也相等.下面我们一起应用这条定理

来研究一些题目：先看第一个题目：

求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角

形.

想一想，题设是什么？结论又是什么？如何写成己知、求证的形式？

生9：题设是“三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边”，结论是“这个三角

形是等腰三角形”.

师：结合图4左，具体说一下.

生9：已知：Zl=Z2,AE//BC.求证：AB=AC.

师：这个题目要求证明一个三角形中的两条边相等，应该怎样证？

生众：只要证两个角相等.

师：题目已知是N1=N2,能不能使已知的两个角相等和要证明的两个角相等建立联

系?思考一下请同学们回答.

［不少学生举手要求回答，此时教师指定一名学生口述］

生10：4〃〃BC（已知），N1=N3（两直线平行，同位角相等），N2=NC（两直

线平行，内错角相等）；Z1=Z2,（己知），ZB=ZC（等量代换），（等角对等

边）.

［教师随学生口述板书］

师：很好。本题要求证△ABC的两边｛氏4C,其实只要证明NB=NC,由已知的角平

分线性质就容易证出。接下来，我们研究第二个题目：

如图4右，欧中，ZB=ZC,BD=CE,求证N1=N2,。

这个题目是证明两个角相等，看清N1和N2在图中的位置。请同学们画画、想想，如

何充分利用已知条件。

［学生在图上比划，简要地记下证明的思路］

师：就做到这里，请哪位同学把你思考的主要过程讲一讲？

生11：要证明N1=N2,,就必须先证明力方亚；要得到力庆魅,,我是通过三角形全等

的方法来解决的。

师：哪两个三角形？

生11：△/勿和A/Z

师：你用什么方法证它们全等？

生11：我是用“边角边”的方法。AB-AC,NB=NC,BD=CE.

师：条件中没有4?=/，啊！

生11：这在△/比1中由N3=NC可得。

师：这位同学根据已知条件4=NC,利用刚才学到的判定定理“等角对等边”得出

了AB=AC,再结合已知条件的第N8=NC,用这三条件推出了△ABD和△ACE全等，于

是》AE,最后在AADE中利用等腰三角形的性质定理“等边对等角”得出N1=N2。

［教师边讲边板书下列思路］

方法一

ZB=ZC=>AB=AC

BD=CE

N8=NC卜n\ABD=AACEnA£>=AEnN1=Z2.

AB=AC

师：还有没有不同的方法？

生12：要证，可以用等角的补角来证，就是先证NA£>8=NA£C

师：NAO6=NAEC是怎么得来的？

生12：是用三角形全等，就是AABO三AACE得出的。

师：这位同学的思路是：［教师板书］

方法二

AABD=AACEnZADB=NA£C=>N1=N2。

师：还有其他方法吗？

生13：用全等三角形的对应角来证。

师：哪两个三角形全等？

生13：AAE8和AAZ5C。

师：这两个三角形为什么全等？

生13：因为法龙，所以BI升D后CE+ED,就是止勿，加上Z8=NC,AB=AC,所以

三角形全等。

师：对，很好！这位同学先由等式性质得出此切，然后根据N6=NC,结合今天学

习的等腰三角形的判定定理得/定/U,最后利用“边角边”得AABE与AACD全等，马上得

出对应角相等。［板书］

方法三（略）

师：很好！这道题同学们想出了很多方法，第一种方法：把N1和N2理解为同一个三

角形的两个内角，用“等边对等角”的思路结合三角形全等得到。第二种方法：通过等角的

补角来证，也是结合三角形全等得到。第三种方法：是把/I和N2直接看作两个全等三角

形的对应角证出.想出的方法多，说明同学们能够从不同的途径去考虑问题。

［评］这两道基本例题编排得很好。第一道题比较容易做，是等腰三角形判定定理的简

单应用。它安排在练习的开头，让所有学生都能顺利完成，由浅入深是必要的。第二道题则

进了一层，证明时既要应用判定定理，又要应用性质定理，绕了个弯，而且可有几条证明途

径，这可以了解学生灵活运用以往学过知识的能力。在数学教学中，配置合适的习题，并且

有效地利用它们，对于学生在课堂上独立地、积极地进行认识活动具有重要作用，值得引起

注意。

图5左图5右

师:下面我们一起来研究第三个题目：如图5左所示,在△中，已知ZABC=ZACB,

60平分ZB,CO平分NC,请同学们想想看，在这张图上，由这两个己知条件，你能导出

什么结论？

生14：可以得出=

师：能不能从道理上说明一下？

生14：因为NB=NC,80平分N8,CO平分NC,根据等量的一半相等，可以得到

ZOBC^ZOCB.另外还可以得到如理由是“等角对等边工

师：好！现在把这个题目变化一下，大家看清楚，就在这张图上，过。作一条直线妒

和边比'平行，与4?交于后与"1交于尸，如图5右所示。

请同学们考虑两个问题：①仔细寻找一下，这张图中有几个等腰三角形?为什么?②添上

去的这条线段打■和图中的线段EB、叱之间有没有关系?如果有，是怎样一种关系？

［学生思考一两分钟后，教师要求他们相互讨论，顿时气氛热烈。有些学生认为有两个

或三个等腰三角形，另一些学生则认为共有五个等腰三角形，还高兴地把自己的理由说给其

他同学听。在讨论线段EF时，不同意见更多了。有的说。是线段"的中点，因此用是必

或咫的两倍，还有的说房等于嵌尾的和教师在各个讨论组之间巡视，并参加一

些小组讨论］

师：好！讨论到这里，请同学们发表意见。先回答第一个问题：图中有几个等腰三角形?

生15：有五个。

师：哪五个？

生15：'ABC、\OBC、ZAEF、bEOB、\FOC。

回答略

师：很好！大多数同学都看出有五个等腰三角形。第二个问题：添上去的线段跖和歇

叱之间有没有关系？如果有，是怎样一种关系？

生16：有关系，EO、FO、EB、FC这四条线段都相等。

师：讲讲理由看。

生16：因为A/SC是等腰三角形，所以。/8：AC-,因为△/既是等腰三角形，所以心"；

利用等式性质就可以得到H&-FQ又因为和△尸比1都是等腰三角形，所以吩被FOFO.

这样1%、FO、EB、凡1四条线段就都相等了。

师：大家听懂没有?这位同学用了四个等腰三角形，也就是通过四组对边相等并结合等

式性质推得结论。还有其他的方法吗?请同学们回去思考。根据这四条线段相等，EF和EB、

叱的关系是怎样的？噢！他还没有讲完

生16："是以或用的2倍。

师：很好。四条线段相等了，）就是班或用的2倍。

生16：还有，Ef^E&rFa

师：对!还可以得到上凯/匕。我们把这个题目再改变一下，原来Z6、NC是相等的，

现在变成不相等，但是，BO、S还是ZB、NC的平分线，还是即/6C。认真想一想，这

个图形中还有没有等腰三角形?若有，又有几个?用和仍、兄1之间还有没有关系?如果有，

又是怎样一种关系？

生17：没有等腰三角形。

师：他认为这图上没有了，同学们再仔细观察一下，究竟有没有？

生众：有的。

师：有哪几个？

生18：bEOB和bFOC。

师：理由？

生18：因为两直线平行，内错角相等，得到N£V庐N08C,因为80是角平分线，所以

^EBO=^OBC,所以N员处=N卤。，△加是等腰三角形。A酥也是等腰三角形的道理是

一样的。

师：噢！还有等腰三角形，不过由五个变成了两个。第二个问题，线段跖和EB、FC

之间还有没有关系？

生19：仍有旌既叱这个关系。

师：对，仍有这一种关系，在等腰三角形△屐中，EO=EB,在等腰三角形△凡匕中，

FO=FC,合起来就是小砂凡；这个题目，从原来两个角相等，变成了不等，但是角平分线

和平行线这两个条件没有改变。bEOB、△/•比1还是等腰三角形，所以还是保持着上既先

的关系。

［评］这道讨论题比前面两道题目要求更高一些。第一，它要求学生能根据已知条件自

行推测可能的结论。第二，通过图形的变化、引申，让学生在条件变化时观察论证结论的变

化。这些做法，可逐步培养学生举一反三、灵活转换的基本能力，发展学生的思维，提高课

堂教学的时间利用率。课后，我们曾以不同类型的题目进行当堂效果测验，平均分为79.51,

可见适当的变式练习，是使学生熟练掌握解题技能技巧的有效措施之一。

师：今天这节课我们学习了什么呢?第一，我们学习了等腰三角形的判定定理：“等角对

等边”。它与前面我们学过的等腰三角形的性质定理：“等边对等角”，都是说同一个三角形

边角之间的一种相依关系，即在一个三角形中，边等可以得到角等，角等可以得到边等。今

天初步应用判定定理研究了一些题目。第二，这个判定定，理是同学们通过画图、估计，然

后加以证明，由自己得出来的，在证明定理和应用定理时，同学们都注意从几种途径来思考，

得到了很多解法。在第三个练习中，同学们不仅能够根据已知条件自行推测可能的结论，而

且能在已知条件发生变化时，观察结论的变化，这些都是训练我们思维能力的有效方法。请

同学们在平时作业中也要多进行这种尝试。

今天的课外作业：课本第83页，习题八3,7A组的2、3、4、5、6题。

思考题：第二种画法得到的是不是等腰三角形?为什么？思考题不必做在作业本上，

［评］该课例是我校一位数学教师的课堂教学实例，也是我校“数学教改实验小组”

总结出的一种典型数学教学方法。这种方法有利于调动学生学习积极性，激发学生的主动参

与精神，发展能力。我校数学组以此种教学方法为枢纽的教改实验中，已取得了实践与理论

认识升华的双丰收。在全校范围内大面积提高了数学教学质量。

这种方法的程序是：诱导一一尝试一一变式一一归纳一一回授一一调节。具体做法是：

(1)启发诱导，创设问题情境

教师根据教材的重点和难点，编制问题，使学生产生认知冲突，在强烈的求知欲望下，

在注意力高度集中、思想最活跃的状态中进行尝试学习。

(2)尝试探求知识

教师指导学生开展尝试活动。学生通过阅读、观察、实验、联想、归纳和推演等方法，

尝试探求新知识和新方法，解决提出的问题。

(3)尝试变式练习

通过变更概念中的非本质特征，变换问题中的条件或结论；变换问题的形式或内容；配

置与新知识有关的实际应用题，让学生进行变式训练，培养学生举一反三、灵活应变、独立

思考的能力。

(4)归纳结论，纳入知识系统

组织和指导学生归纳概括知识和技能的一般结论，结合必要的讲解，揭示这些结论在教

材整体中的相互关系和结构上的统一性，揭示新旧知识之间的内在联系，完善学生认知结构。

(5)回授尝试效果，组织质疑和讲解

教师通过观察、交谈、提问、分析、课内巡视、课堂练习和考查考试等反馈方法，及时

了解学生掌握知识情况，回授尝试效果，有针对性地进行质疑和讲解。

(6)单元教学效果的回授和调节。

在单元学完之后，再次进行教学反馈，给那些对这段内容学习有困难的学生，予以个别

指导和帮助。上述几个教学环节相辅相成，组成了一个有特色的教学结构，而反馈调节更

是贯穿课堂教学始终。这种教学方法是我校数学组一种基本教学模式。这种教学方法所蕴含

的原理，如情意原理、序进原理、活动原理和反馈原理需要我们认真学习和领会。

本节课除了具有前面已经评述过的创设问题情境、激发学习兴趣以及组织尝试练习等

特点外，还采用了讲、议、练结合的方法。教师通过观察、提问、巡视、谈话等活动，及时

了解学生的学习、练习过程，随时反馈调节教法，尽量做到个别辅导，把学生的思维发展与

学习效果结合起来。

课例2三角形全等的判定

教学目标

1.通过实际操作理解“学习三角形全等的四种判定方法”的必要性.

2.比较熟练地掌握应用边角边公理时寻找非已知条件的方法和证明的分析法，初步培养学

生的逻辑推理能力.

3.初步掌握“利用三角形全等来证明线段相等或角相等或直线的平行、垂直关系等”的方

法.

4.掌握证明三角形全等问题的规范书写格式.

教学重点和难点

应用三角形的边角边公理证明问题的分析方法和书写格式.

教学过程设计

一、实例演示，发现公理

1.教师出示几对三角形模板，让学生观察有几对全等三角形，并根据所学过的全等三

角形的知识动手操作，加以验证，同时写出全等三角形的数学表达式.

2.在此过程中应启发学生注意以下几点：

(1)可用移动三角形使其重合的方法验证图3-49中的三对三角形分别全等，并根

据图中已知的三对对应元素分别相等的条件，可以证明结论成立.如图3-49(c)中，由

AB=AC=3cm,可将aABC绕A点转到B与C重合；由于NBAD=NCAE=120°,保证AD能与

AE重合；由AD=AE=5cm,可得到D与E重合.因此aBAD可与4CAE重合，说明△BAD0^CAE.

(2)每次判断全等，若都根据定义检查是否重合是不便操作的，需要寻找更实用的判断方

法一一用全等三角形的性质来判定.

(3)由以上过程可以说明，判定两个三角形全等，不必判断三条边、三个角共六对对应元

素均相等，而是可以简化到特定的三个条件，引导学生归纳出：有两边和它们的夹角对应相

等的两个三角形全等.

3.画图加以巩固.

教师照课本上所叙述的过程带领学生分析画图步骤并画出图形,理解“已知两边及夹角画三

角形”的方法，并加深对结论的印象.

AD

图3-49

二、提出公理

1.板书边角边公理，指出它可简记为“边角边”或“SAS”，说明记号“SAS'的含义.

2.强调以下两点：

(1)使用条件：三角形的两边及夹角分别对应相等.

(2)使用时记号“SAS”和条件都按边、夹角、边的顺序排列，并将对应顶点的字母顺

序写在对应位置上.

3.板书定理证明应使用标准图形、文字及数学表达式，正确书写证明过程.

如图3-50,在ZiABC与中,(指明范围)

（AB二A'H',（已知）,

^ZA=ZA\＞（列齐条件）

【AC=A'C',（已知），

△ABC«ZSA'B'C'（SAS）.（得出结论）

三、应用举例、变式练习

1.充分发挥一道例题的作用，将条件、结论加以变化，进行变式练习，

例1已知：如图3-51,AB=CB,ZABD=ZCBD.求证：^ABD丝Z\CBD.

分析：将已知条件与边角边公理对比可以发现，只需再有一组对应边相等即可，这可由

公共边相等BD=BD得到.

说明：（1）证明全等缺条件时，从图形本身挖掘隐含条件，如公共边相等、公共角相等、

对顶角相等，等等.

（2）学习从结论出发分析证明思路的方法（分析法）.

分析：△ABDgZXCBD

介

'边AB=CB（已知）

角ZABD^ZCBD（已知）

〔边未知

图3-51

因此只能在两个等角分别所在的三角形中寻找与AB,CB夹两已知角的公共边BD.

（3）可将此题做条种变式练习：

练习1（改变结论）如图3-51,已知AB=CB,NABD=NCBD.求证:AD=CD,BD平分NADC.

分析：在证毕全等的基础上，可继续利用全等三角形的性质得出对应边相等，即AD=CD；对

应角相等/ADB=NCDB,即BD平分NADC.因此，通过证明两三角形全等可证明两个三角形中

的线段相等或和角相关的结论，如两直线平行、垂直、角平分线等等.

练习2（改变条件）如图3-51,己知BD平分NABC,AB=CB.求证：ZA=ZC.

分析：能直接使用的证明三角形全等的条件只有AB=CB,所缺的其余条件分别由公共

边相等、角平分线的定义得出.这样，在证明三角形全等之前需做一些准备工作.教师板书

完整证明过程如下：

•ZBD平分/ABC,（已知）

①（准备条件）

，NABD二NCBD.（角平分或的定义）

②（指明范围）

在△ABD与△CBD中，

AB=CB,（已知）

③（列齐条件）

</ABDnNCBD,（已证）j

（BD=BD（公共边）」

△ABD8△CBD.（SAS）\

④（得出结论）

/AeNC.（全等三角形的对应角相等）；

以上四步是证明两三角形全等的基本证明格式.

（4）将题目中的图形加以有规律地图形变换，可得到相关的一组变式练习，使刚才的

解题思路得以充分地实施，并加强例题、习题之间的有机联系，熟悉常见图形，同时让学生

总结常用的寻找所缺边、缺角条件的方法.

练习3如图3-52（c）,已知AB=AE,AD=AF,Z1=Z2.求证：DB=FE.

分析：关键由N1=N2,利用等量公理证出NBAD=NEAF.

练习4如图3-52（d）,已知A为BC中点，AE//BD,AE=BD.求证：AD〃CE.

分析：由中点定义得出AB=AC；由AE〃BD及平行线性质得出NABD=NCAE.

练习5已知：如图3-52（e）,AE//BD,AE=DB.求证：AB//DE.

分析：由AE〃BD及平行线性质得出NADB=NDAE；由公共边AD=DA及已知证明全等.

练习6已知：如图3—52（f）,AE//BD,AE=DB.求证：AB//DE,AB=DE.

分析：通过添加辅助线——连结AD,构造两个三角形去证明全等.

练习7己知：如图3-52（g）,BA=EF,DF=CA,ZEFD=ZCAB.求证：ZB=ZE.

分析：由DF=CA及等量公理得出DA=CF；由NEFD=NCAB及“等角的补角相等”得出

ZBAD=ZEFC.

练习8已知：如图3—52（h）,BE和CD交于A,且A为BE中点，EC_LCD于C,BDLCD

于D,CE=±BD.求证：AC=AD.

分析：由于目前只有边角边公理，因此，必须将角的隐含条件一一对顶角相等转化为已

知两边的夹角NB=NE,这点利用“等角的余角相等”可以实现.

练习9已知如图3—52（i）,点C,F,A,D在同一直线上，AC=FD,CE=DB,EC

±CD,BD±CD,垂足分别为C和D.求证：EF//AB.

在下一课时中，可在图中连结EA及BF,进一步统习证明两次全等•

小结：在以上例1及它的九种变式练习中，可让学生归纳概括出目前常用的证明三角形

全等时寻找非己知条件的途径.

缺边时：①图中隐含公共边；②中点概念；③等量公理④其它•

缺角时.：①图中隐含公共角；②图中隐含对顶角；③三角形内角和及推论④角平分线定义;

⑤平行线的性质；⑥同（等）角的补（余）角相等；⑦等量公理；⑧其它•

例2已知：如图3-53,ZXABE和4ACD均为等边三角形.求证：BD=EC.

分析：先选择BD和EC所在的两个三角形AABD与AAEC,已知没有提供任一证两个三

角形全等所需的直接条件，均需由等边三角形的定义提供.

E

图3-53

四、师生共同归纳小结

1.证明两三角形全等的条件可由定义的六条件减弱到至少几个？边角边公理是哪三个

条件？

2.在遇到证明两三角形全等或用全等证明线段、角的大小关系时，最典型的分析问题

的思路是怎样的？你体会这样做有些什么优点？

3.遇到证明两个三角形全等而边、角的直接条件不够时，可从哪些角度入手寻找非已知条

件？

五、练习与作业

练习：课本第28页中第1题，第30页中1,3题.

作业：课本第32页中第6,7,8,9,10题.

课堂教学设计说明

本教学设计需2课时完成.

1.课本第3.5节内容安排3课时，前两课时学习三角形全等的边角边公理，重点练习直接

应用公理及证明格式，初步学习寻找证明全等所需的非己知条件的方法，以及利用性质证明

边角的数量关系及直线的位置关系，第3课时加以巩固并学习解决应用题和两次全等的问

题.

2.本节将“理解全等三角形的判定方法的必要性“列为教学目标之一，目的是引起教师和

学生的重视，只有学生真正认识到了研究判定方法的必要性，才能从思想上接受判定方法，

并发挥出他们的学习主动性.

3.本节课将“分析法和寻找证明全等三角形时非己知条件的方法”作为教学目标之一，意

在给学生归纳一些常用的解题思路，以便将它作为证明全等三角形的一种技能加以强化.

4.教材中将“利用证明两个三角形全等来证明线段或角相等”的方法做为例5出现，为时

过晚，达不到训练的目的，因此教师应提前到第一、二课时，就教给学生分析的方法，并从

各种角度加以训练.

5.教师可将例题1和几种变式练习制成投作影片（图3-52）提高课堂教学效率.教学使用

时，重点放在题目的分析上，并体现出题目之间图形的变化和内在联系.

6.本节教学内容的两课时既教会学生分析全等问题的思路一一分析法和寻找非已知条件的

方法，又要求他们落实证明的规范步骤一一准备条件，指明范围，列齐条件和得出结论，使

学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达.学生学生遇到证明三角形全

等的题目既会快速分析，又会正确表达。

课例3初二《平行四边形的性质与判定的综合运用》习题课

［教学目标］

1、综合运用平行四边形的性质和判定来解决儿何问题

2、培养学生分析几何问题的方法

［教学重难点］让学生学会证明和根据需要来构造平行四边形

［教学过程］复习

1、平行四边形的性质和判定

2、理解学习了平行四边形后，证明全等和利用平行四边形的关系

二、例题讲解

例1、4ABC中，延长中线CE至G,使EG=CE,延长中线BD至F,使DF=BD,求证：G,A、

F三点共线。

证明思路：

1、证明四边形GBCA为平行四边形BC〃GA

2、证明四边形ABCF为平行四边形BC〃AF

因为过直线外一点A作BC的平行线只有一条

.'.GA与AF为同一条直线

即G、A、F为三点共线

［注］通过证明平行于同一条直线来证明三点共线

例2、ABCD中，AE_LBD于E,CF_LBD于F,G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH

互相平分。

证明：；AE_LBD,G是AD中点

.,.GE=GD=AD且NGED=/GDE

同理HF=HB=BC且NHFB=NHBF

•.•四边形ABCD是平行四边形

，AD〃BC,AZGDE=ZHBF

，GE=HF,且/GED=NHFB

，GE〃HF四边形GEHF为平行四边形

.•.EF和GH互相平分

［注］结合直角三角形的性质来构造平行四边形的条件，从而证明对角线互相平分

例3、已知△ABC中，AB=AC,D为AC延长线上一点，E为AB上一点，且BE=CD,求证：DE

被BC平分。

证明：作EP〃AD交BC于P,连结EP、EC、PD

，ZEPB=ZACB

XVAB=AC,

,ZB=ZACB

,ZB=ZEPB

，EB=EP=CD

，EP〃CD,

四边形PDCE是平行四边形

，DE被BC平分

［注］构造平行四边形，从而证明线段平分

例4、如图，已知Rtz!\ABC中，ACB=90°,CD±AB,垂足为D,AE平分CAB

交CD于F,过F作FH〃AB,交BC于II。求证：CE=BH

证明：过F作FP〃BC,交AB于P

...四边形BPFH是平行四边形

，PF=BH

又•.•/CEF=90-NCAE,ZCFE=ZAFD=90-ZDAE,AE平分NCAD

AZCEF=ZCFE,ACF=CE

在4ACF和4APF中，/CAF=NPAF,AF=AF,ZACF=ZB=ZAPF,

.,.△ACF^AAPF(AAS)

.\CF=FPACE=BH

［注］通过利用平行四边形的性质构造全等，从而证明两线段相等

例5、如图，已知AABC,以BC为边在点A的同侧作正△DBC,以AC、AB为边在AABC的外

部作正AEAC和正aFAB。求证：四边形AEDF是平行四边形。

证明：

「△ABF为正三角形.,.AB=FB,Zl+Z2=60°

同理,AE=AC,BC=BD,Zl+Z2=60N1=N3

在aBDF和4BCA中，

ABDF^ABCA(SAS)

,FD=ACXVAE=AC/.FD=AE同理，AF=ED，四边形AEDF是平行四边形

［注］通过证明全等来构造平行四边形的条件

三、课堂总结

这节课通过上述几个例题的讲解，加强了同学们对平行四边形的理解和运用的能力。

四、课后练习另补充

课例4用换元法解可化为一元二次方程的分式方程

课时安排：1课时

教学目标：

知识目标：使学生学会用换元法解可化为一元二次方程的分式方程

德育目标：培养学生的辨正唯物主义观点，引导他们辨正的看待问题

能力目标：培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力

教学重点：用换元法解可化为一元二次方程的分式方程

教学难点：使用换元法，即设元与换元

教学内容简介：

本节课内容是在学生已经学过用去分母法解可化为一元二次方程的分式方程的基础上

学习的。用换元法转化为一元二次方程来解的分式方程的特点：主要是方程所含有的两个分

式互为倒数，且分式的分子，分母一般为未知数次数不大于2的整式。用换元法不是解分式

方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方

程化简，把解一个较复杂的方程转化为较简单的方程的问题。

教学方法：本节课采用启发式教学

教学过程：分为两部分

1.复习提问

解分式方程的基本思想式什么？

解分式方程为什么必须验根？

2.讲授新课

我们知道，解分式方程的一般方法是去分母法，但对一些特殊的分式方程，仍然用去分

母法来解，难度较大，运算过程较复杂。

请大家考虑：2与2（aro,b/O）有什么关系？（学生回答：这两个分式的乘积等于1,

ab

所以2与q是互为倒数关系）。接着追问：如果设2=y,那么2等于什么？（学生回答：

ahab

-=-），又追问：y与1有什么关系？因为y与工之积等于1,所以y与1是互为倒数关

byyyy

系。我们共同分析下面的分式方程。

例1解方程2（尸+1）+6（：+1）=7

x+1x+1

分析：（1）如果用去分母法解这个分式方程，两边要同乘以（》+1）（—+1）得到一个难解的

四次方程，因此要寻求简捷的解法.

（2）我们观察分式方程中的两个分式有什么特点？抓住方程形式上的特点：方程中含有未

r24-1r4-1

知数的两部分的式子~-与-V2-互为倒数。

X+1X+1

X2H-1r4-11

（3）由于具有上述的倒数关系，因此如果设-----=y则--=一（可以启发

X+]X2+\y

学生回答）

所以原方程化简为2y+g=7

y

又可化为一元二次方程2y2-7y+6=0

边启发学生口述解的过程边板书，然后总结解这类题的步骤。

例2解方程（上尸+5（上）+6=0

X4-1X+1

分析：启发学生观察、分析这个分式方程，抓住方程形式上的特点：方程中含有未知数的两

部分的式子（上了与（上），每式括号内的分式都相同，一个式子是另一个式子的平

X+lX+1

方。由于具有这两条特点，原方程可用换元法来解。

解以上例题时边启发学生口述解的过程边板书，然后由学生总结解这类题的步骤。

用换元法解分式方程的一般步骤：

（1）以观察、分析方程的特点，寻求换元和简捷途径；

（2）设辅助未知数；

（3）用含有辅助未知数的代数式表示原方程中另外的代数式，把原方程化为含辅助未知数

的新方程；

（4）解关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；

（5）把辅助未知数的值代入原设，求出原方程未知数的值；

（6）验根，并做答。

练习：课后习题（118页第2题），在学生解题时常在未知数系数处出现问题，在此特给予

纠正并做说明。

作业：课后习题（119页第3题）

小结：

（1）解分式方程有两种方法：去分母法，换元法

（2）用换元法解分式方程

换元法适合解分式方程的特点：a.倒数型b.平方型

解分式方程时，要善于分析，判断方程属于那种类型，然后解方程。

（3）无论那种方法解分式方程都要验根。

（红桥区八十中学，孙文君）

［评］这节课的主要特点是采用探索法进行习题课教学，注意暴露思维过程，效果显

著。具体说：（1）探索法是探索或设计教学的重要方法，它是以发展探究能力为目标，以学

科的基本知识结构为内容，以探索、发现为步骤的教学法。它是突出知识形成与建构过程的

教学，必须把学生置于认知主体的地位，让学生自己来探索规律，在探索中建立自己有特色

的认知结构。（2）探索法要紧紧抓住“疑问”，把学生的思维引向深入，疑问可以揭示学生

认识上的矛盾，可以对学生心理机制产生刺激，因此探索过程就是一个以问题为中心，不断

提出问题，不断分析问题和不断解决问题的过程。根据已知与未知、新知识与旧知识、现象

与本质之间的矛盾来明确探索课题，巧妙地存疑设问，用悬念激发学生情趣，促进思考。在

探索中，通过师生双边信息交流，力求把各种情、趣、意因素组织起来，达到最大限度发展

思维的目的，本课的“疑问”环环相扣，步步深入，从而把用代数、三角、几何诸形式解决

问题的思路逐步展开，使学生在探索过程中建立该问题的较牢固的知识结构，使本节课的重

点知识得到巩固。

初中数学典型教学案例与反思

对《三角形外角和》的反思

中学：陈志福

新课程理念如何转化为教学行为始终让我在思考，在尝试，究竟怎样教会学生思考，

才能使复杂的数学问题简单化呢？听了向坝中学廖秀丽老师的一节课体会颇深。

首先他利用几条直线相交分别做成的三朵小花，既复习了内角和定理及其推导过程，又进一

步体会转化思想（多边形内角和问题转化为三角形问题），让学生观看花瓣上Nl+/2+N3=?

Zl+Z2+Z3+Z4=?Zl+Z2+Z3+Z4+Z5=?其实/I、N2、Z3>/4、N5就是多边

形的外角，学生借助平角定义很快得到和为360°此时再告诉学生这些角就是外角，让学生

观察外角特征，明确外角定义、外角个数、外角和的内容，这一切全让学生自己完成，使知

识由难变易，廖老师通过精心设计问题、放映多媒体课件、课堂讨论，中间贯穿鼓励性语言，

并让学生自己讲解，锻炼学生勇气及语言表达能力，激发了学生学习积极性，真正培养学生

的综合应用能力，学生在可见的情境中，运用所学的知识解决问题，进而达到知识的理解和

掌握，使学生真正参与到知识形成发展过程中来。

其次通过四道习题巩固知识点后，提出一个问题：“是否存在一个多边形，它的每一个

外角都等于相邻内角的1/6”,课本习题是1/5,学生完成书上习题时大部分都先求内角度数,

再求边数，做此题时角度为分数，学生潜意识认为不存在该多边形，因为除不尽，此题正好

纠正了学生一个思维误区，我认为此题非常必要，在不增加学生负担的基础上，挖掘出一个

学生极易犯的错误，有利于深化学生知识，且廖老师用（n-2）X180°=6X360方法解决更

简单，更能使思维上升一个高度.

总的来看廖老师的课十分成功，集体备课时对“如何引入外角？”产生的疑惑，是利

用跑步身体转过的角度，还是直接出示定义，她处理的非常到位，真正完成了新旧知识的衔

接过渡，把复杂的数学知识直观形象的让学生自己探索得出，这种讲课思路值得我们借鉴，

新课程倡导教师“用教材”而不是简单的“教教材”，教师要创造性地使用教材，要融入自

己的科学精神和智慧，要对教材知识进行重新组和，选取更好的事例对教材深加工，设计出

活生生的、丰富多彩的课来，充分有效的将教材的知识激活，形成有教师教学个性的教材知

识，所以我们可结合学生实际适当改变例题，充分发掘教材中的情感因素，化生为熟，化难

为易，化理为趣，增强数学的魅力，激起学生学习的信心和兴趣，形成课堂教与学的合力，

我们要让学生感悟数学，真正成为学习的主人，教师要做好学生学习道路上的引路人。

初中数学课堂教学案例分析1

1时针分针夹角问题的教学

最近我们在教学研究中归纳并试行了一种“四同”教学研究法，也就是由同一位教师、

在同一个半天内、分别对同一层次学生进行同一个教学内容所展开的课堂教学有效性的研究.

具体过程是：（1）执教教师设计和授课；（2）课后点评和形成性测评；（3）执教教师修改设

计后在平行班级再次授课；（4）再次进行形成性测评.由于这样的教研活动主题明确、针对

性强、便于对教学方法进行及时修正，而且形式简单、便于组织，在中学数学教学研究中具

有较高的实用价值，在教师培训中广受欢迎.

下面以初中数学《时针分针的夹角问题》的教学为例，阐述进行的一次“四同”教学研

究.

一、第一节课的教学片断

执教老师提出问题.

师：请同学们看问题（1）：在5点20分时，时针与分针的夹角是多少度？

学生甲：分针每分钟旋转1小格；时针每小时旋转1大格（5小格），即每分钟旋转,小格.

12

由于钟面上每一大格的夹角是30°,每1小格的夹角是6",时针每分钟旋转0.5".20分钟时

针旋转了20x0.5°=10°,所以分针于时针的夹角

a=30"x（5-4）+10"=40".

师：从上面解法可知时针每分钟旋转0.5°分针每分钟旋转6",我们可以把这个问题看成行

程中的追及问题.如果把0时看成起点，那么到5点20分时，时针旋转了

0.5"（60x5+20）=160",分针旋转了6"（60x5+20）=1920",由于分针每旋转360"都

与0"重合，使得最后显示在钟面上的分针与起点相比，旋转了120",所以分钟与时针的夹

角a=160"—120"=40".

师：请同学们看问题（2）,在1点几分时，时针与分针互相垂直？

学生乙：设1点x分时，时针与分针互相垂直.

把问题（2）看成一个追及问题，把1点看成起点.分针、时针的速度分别是每分钟6"、0.5".

初始状态是时针先于分针30°,它们同时行走x分钟以后，分针先于时针90",于是有

（6-0.5>=30+90,解得彳=生=212.

1111

学生丙：时针落后分针270”时，两针也垂直，同样有（6-0.5）x=30+270,

初始600一6

解得x=---54—.

1111

所以在1点2139分和1点546?分时，时针与分针互相垂直.

1111

学生丁：我还有一种方法，分针、时针的速度分别是每分钟1小格、工小格.在1时整，时

12

针先于分针5小格，它们同时行走x分钟以后，时针于分针互相垂直，即分针先于时针15

小格或45小格，于是得（1一卷■>=20或（1-5Jr=50.

师：好！我们再看问题（3