高中数学 2.1 第1课时 合情推理练习 新人教B版选修1-2

【成才之路】-学年高中数学2.1第1课时合情推理练习新人教B版选修1-2一、选择题1．关于合情推理，下列说法正确的是()A．归纳推理是一般到一般的推理B．类比推理是一般到特殊的推理C．类比推理的结论一定是正确的D．归纳推理的结论不一定成立[答案]D[解析]归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论不一定正确．2．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199[答案]C[解析]利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．3．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式是()A．n2－1 B．(n－1)2＋1C．2n－1 D．2n－1＋1[答案]C[解析]a2＝2a1a3＝2a2a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想an＝2n4．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适()A．三角形 B．梯形C．平行四边形 D．矩形[答案]C[解析]只有平行四边形与平行六面体较为接近，故选C.5．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是()A．ak＋ak＋1＋…＋a2k B．ak－1＋ak＋…＋a2k－1C．ak－1＋ak＋…＋a2k D．ak－1＋ak＋…＋a2k－2[答案]D[解析]利用归纳推理可知，第k项中第一个数为ak－1，且第k项中有k项，且次数连续，故第k项为ak－1＋ak＋…＋a2k－2，故选D.6．图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A．白色 B．黑色C．白色可能性大 D．黑色可能性大[答案]A[解析]由图知：三白二黑周而复始相继排列，∵36÷5＝7余1，∴第36颗珠子的颜色是白色．二、填空题7．观察下列式子：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，由上可得出一般的结论为________．[答案]1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)<eq\f(2n＋1,n＋1)[解析]因为3＝2×2－1,5＝2×3－1,7＝2×4－1，…，所以1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)<eq\f(2n＋1,n＋1).8．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第五个等式应为______________________．[答案]5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81[解析]本题考查学生的推理能力．依据前4个等式的规律，第n个等式左侧是从n开始的2n－1个自然数的和，右侧是(2n－1)2，所以第五个等式是5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.三、解答题9．在平面内观察，凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，….由此猜想凸n边形有几条对角线？[解析]由题意知，f(5)－f(4)＝3，f(6)－f(5)＝4，……f(n)－f(n－1)＝n－2，将上面各式相加得：f(n)－f(4)＝3＋4＋…＋(n－2)，f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－2)＝eq\f(1,2)n(n－3).一、选择题1．类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边；(2)中位线长等于第三边的一半；(3)三内角平分线交于一点．可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)中位面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)的面积等于第四个面的面积的eq\f(1,4)；(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点．其中类比推理方法正确的有()A．(1) B．(1)(2)C．(1)(2)(3) D．都不对[答案]C[解析]以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确，结论也不一定正确．2．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4,|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8,|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为()A．76 B．80C．86 D．92[答案]B[解析]本题考查了不完全归纳．由已知条件知|x|＋|y|＝n的不同整数解(x，y)个数为4n，所以|x|＋|y|＝20不同整数解(x，y)的个数为4×20＝80.归纳体现了由特殊到一般的思维过程．3．三角形的面积为S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，a、b、c为三边的边长，r为三角形内切圆半径，利用类比推理可以得到四面体的体积为()A．V＝eq\f(1,3)abcB．V＝eq\f(1,3)ShC．V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4分别为4个面的面积，r为四面体内切球的半径)D．V＝eq\f(1,3)(ab＋bc＋ac)h[答案]C[解析]∵三角形的面积S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，a，b，c为三边的边长，r为三角形内切圆半径，∴四面体的体积V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r.S1、S2、S3、S4分别为4个面的面积，r为四面体内切球的半径．4．定义A*B、B*C、C*D、D*B分别对应下列图形那么下列图形中，可以表示A*D、A*C的分别是()A．(1)、(2) B．(2)、(3)C．(2)、(4) D．(1)、(4)[答案]C[解析]由A*B、B*C、C*D、D*B的定义图形知A为，B为，C为——，D为eq\x().二、填空题5．(～学年度北京高二检测)观察下列不等式：①eq\f(1,\r(2))<1；②eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(6))<eq\r(2)；③eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(6))＋eq\f(1,\r(12))<eq\r(3)；…请写出第n个不等式________．[答案]eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(6))＋eq\f(1,\r(12))＋…＋eq\f(1,\r(nn＋1))<eq\r(n)[解析]由①eq\f(1,\r(2))<1，即eq\f(1,\r(1×2))<1，由②eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(6))<eq\r(2)，即eq\f(1,\r(1×2))＋eq\f(1,\r(2×3))<eq\r(2)，由③eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(6))＋eq\f(1,\r(12))<eq\r(3)，即eq\f(1,\r(1×2))＋eq\f(1,\r(2×3))＋eq\f(1,\r(3×4))<eq\r(3)，故第n个式子为eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(6))＋eq\f(1,\r(12))＋…＋eq\f(1,\r(nn＋1))<eq\r(n).6．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为eq\f(a2,4)，类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．[答案]eq\f(a3,8)[解析]两个正方形重叠部分的面积为(eq\f(a,2))2＝eq\f(a2,4)，类比到空间后，两个正方体重叠部分的体积为(eq\f(a,2))3＝eq\f(a3,8).三、解答题7．(～学年度聊城高二检测)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解析](1)选择②式计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝eq\f(3,4).(2)sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).证明：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°·cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＋eq\f(\r(3),2)sinαcosα＋eq\f(1,4)sin2α－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f(3,4).8．已知{an}满足a1＝1,4an＋1－an·an＋1＋2an＝9，写出a1、a2、a3、a4，试猜想出这个数列的通项公式．[解析]由4an＋1－anan＋1＋2an＝9得an＋1＝2－eq\f(1,an－4)，∴a2＝2－eq\f(1,a1－4)＝2＋eq\f(1,3)，a3＝2－eq\f(1,a2－4)＝2＋eq\f(3,5)，a4＝2－eq\f(1,a3－4)＝2＋eq\f(5,7)，猜想：an＝2＋eq\f(2n－3,2n－1).9．若a1、a2∈R＋，则有不等式eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2),2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2,2)))2成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广．[解析]本例可以从a1，a2的个数以及指数上进行推广．第一类型：eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3),3)≥(eq\f(a1＋a2＋a3,3))2，eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)＋a\o\al(2,4),4)≥(eq\f(a1＋a2＋a3＋a4,4))2，…，eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋…＋a\o\al(2,n),n)≥(eq\f(a1＋a2＋…＋an,n))2；第二类型：eq\f(a\o\al(3,1)＋a\o\al(3,2),2)≥(eq\f(a1＋a2,2))3，eq\f(a\o\al(4,1)＋