高中数学 1.5.2 平行关系的性质基础巩固 北师大版必修2

【成才之路】-学年高中数学1.5.2平行关系的性质基础巩固北师大版必修2一、选择题1．有四个命题：①若aα，bβ，a∥b，则α∥β②c为直线，α，β为平面，若c∥α，c∥β，则α∥β③若aα，bβ，α∥β，则a、b无交点④若aα，α∥β，则a∥β其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]①②中的α、β可能平行也可能相交；③④正确．2．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC、CD的中点，则()A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形[答案]B[解析]因EF綊eq\f(1,5)BD，HG綊eq\f(1,2)BD，故四边形EFGH为梯形．3．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()A．都平行 B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或交于同一点[答案]D[解析]∵l⃘α，∴l∥α或l∩α＝A，若l∥α，则由线面平行性质定理可知，l∥a，l∥b，l∥c，…，∴由公理可知，a∥b∥c…；若l∩α＝A，则A∈a，A∈b，A∈c，…，a∩b∩c＝A.4．设a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列命题中不正确的是()A．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥bB．a∥c，b∥α，a⃘α⇒a∥αC．α∥β，β∥γ⇒α∥γD．α∥β，a∥α⇒a∥β[答案]D[解析]当α∥β且a∥α时，可能有a∥β，也可能有aβ，因此选项D中的命题不正确．5．如图所示，已知四棱柱ABCD－A′B′C′D′，过棱A′B′的平面α与底面AC交于EF，则直线AB与直线EF的位置关系是()A．相交 B．平行C．异面 D．不确定[答案]B[解析]∵A′B′∥AB，∴A′B′∥平面AC.又A′B′平面α，α∩平面AC＝EF，∴A′B′∥EF，∴AB∥EF.故选B.6．下列说法中正确的个数有()①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行④三个平行平面把两条直线截得的线段对应成比例A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案]B[解析]如图知AC＝BD，但AC与BD不平行，②不正确；若α∥β，a∥α，则a∥β或aβ，③不正确．①④正确．二、填空题7．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCDl，由l与A1C1[答案]平行[解析]因为过A1、C1、B的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1，与底面ABCD的交线为l，又正方体的两底面互相平行，则由两个平面平行的性质定理知l∥A18．如图，A是△BCD所在平面外一点，，M是△ABC的重心，N是△ADC的中线AF上的点．并且MN∥平面BCD.当MN＝eq\f(4,3)时，BD＝________.[答案]4[解析]如图，取E为BC的中点，连接AE、EF，则M在AE上，并且AM∶AE＝2∶3.∵MN∥平面BCD，∴MN∥EF.∴MN∶EF＝2∶3.而EF＝eq\f(1,2)BD，∴BD＝3MN＝4.三、解答题9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF求证：EF∥平面BB1C[解析]证法一：连接AF并延长交BC于M，连接B1M∵AD∥BC，∴△AFD∽△MFB，∴eq\f(AF,FM)＝eq\f(DF,BF).又∵BD＝B1A，B1E＝BF∴DF＝AE.∴eq\f(AF,FM)＝eq\f(AE,B1E).∴EF∥B1M，又B1M平面BB1C1C，EF⃘∴EF∥平面BB1C证法二：作FH∥AD交AB于H，连接HE.∵AD∥BC，∴FH∥BC，BC平面BB1CFH⃘平面BB1C1C，∴FH∥平面由FH∥AD可得eq\f(BF,BD)＝eq\f(BH,BA).又BF＝B1E，BD＝AB1∴eq\f(B1E,AB1)＝eq\f(BH,BA)，∴EH∥B1B，B1B平面BB1C1C，EH⃘平面∴EH∥平面BB1C1C，EH∩FH∴平面FHE∥平面BB1C1C，EF∴EF∥平面BB1C一、选择题1．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是()A．α∩β＝a，bα⇒a∥bB．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥βC．a∥β，b∥β，aα，bα⇒α∥βD．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b[答案]D[解析]A中α∩β＝a，bα，则a，b可能平行也可能相交；B中α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或β内；C中a∥β，b∥β，aα，bα，根据面面平行的判定定理，需再加上条件a∩b＝A，才能得出α∥β.D为面面平行性质定理的符号语言．2．如图，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台[答案]D[解析]∵EH∥A1D1，∴EH∥B1C1，∴B1C1∥面EFGH，B1C1∥FG二、填空题3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段[分析]本题主要考查了立体几何中线面平行的性质定理、三角形中位线定理．[答案]eq\r(2)[解析]由于在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2eq\r(2).又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).4．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列结论：①若α∥β，mα，nβ，则m∥n；②若m、nα，m∥β，n∥β，则α∥β；③m、n是两条异面直线，若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β.上面的结论中，正确的是________(写出所有正确结论的序号)．[答案]③[解析]①m、n两条直线可能异面；②若m，n两条直线平行，则平面α，β可能相交；③正确．三、解答题5．如图所示，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的一点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC[证明]如图所示，设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC16．如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C求证：平面A1BD1∥平面AC1D.[证明]如图，连接A1C交AC1于点E∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点．连接ED∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，∴A1B∥ED.∵E是A1C∴D是BC的中点．又∵D1是B1C1∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，∴BD1∥平面AC1D，A1D1∥平面AC1D.又A1D1∩BD1＝D1，∴平面A1BD1∥平面AC1D.7．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC(1)若E为A1C1的中点，求证：DE∥平面ABB1A(2)若E为A1C1上一点，且A1B∥平面B1DE，求eq\f(A1E,EC1)的值．[解析](1)证明：取B1C1的中点G，连接EG，GD则EG∥A1B1，DG∥BB1，又EG∩DG＝G，所以平面DEG∥平面ABB1A1又DE平面DEG，所以DE∥平面AB