高中数学 1.2.1 第2课时课时排列(二)同步测试 新人教A版选修2-3

【成才之路】-学年高中数学1.2.1第2课时课时排列(二)同步测试新人教A版选修2-3一、选择题1．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．36 B．30C．40 D．60[答案]A[解析]奇数的个位数字为1、3或5，偶数的个位数字为2、4.故奇数有eq\f(3,5)Aeq\o\al(3,5)＝36个．2．(·辽宁理，6)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120C．72 D．24[答案]D[解析]就座3人占据3张椅子，在其余3张椅子形成的四个空位中，任意选择3个，插入3张坐人的椅子，共有Aeq\o\al(3,4)＝24种不同坐法，故选D.3．5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为()A．18 B．36C．48 D．60[答案]B[解析]甲在排头或排尾站法有Aeq\o\al(1,2)种，再让乙在中间3个位置选一个，有Aeq\o\al(1,3)种站法，其余3人有Aeq\o\al(3,3)种站法，故共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36种站法．4．6人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为()A．Aeq\o\al(6,6) B．3Aeq\o\al(3,3)C．Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3) D．4！·3![答案]D[解析]甲、乙、丙三人站在一起有Aeq\o\al(3,3)种站法，把3人作为一个元素与其他3人排列有Aeq\o\al(4,4)种，∴共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)种．故选D.5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有()A．20种 B．30种C．40种 D．60种[答案]A[解析]分三类：甲在周一，共有Aeq\o\al(2,4)种排法；甲在周二，共有Aeq\o\al(2,3)种排法；甲在周三，共有Aeq\o\al(2,2)种排法；∴Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,2)＝20.6．由数字0、1、2、3、4、5可以组成能被5整除，且无重复数字的不同的五位数有()A．(2Aeq\o\al(4,5)－Aeq\o\al(3,4))个 B．(2Aeq\o\al(4,5)－Aeq\o\al(3,5))个C．2Aeq\o\al(4,5)个 D．5Aeq\o\al(4,5)个[答案]A[解析]能被5整除，则个位须为5或0，有2Aeq\o\al(4,5)个，但其中个位是5的含有0在首位的排法有Aeq\o\al(3,4)个，故共有(2Aeq\o\al(4,5)－Aeq\o\al(3,4))个．[点评]可用直接法求解：个位数字是0时有Aeq\o\al(4,5)种；个位数字是5时，首位应用1、2、3、4中选1个，故有4Aeq\o\al(3,4)种，∴共有Aeq\o\al(4,5)＋4Aeq\o\al(3,4)个．二、填空题7．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．[答案]24[解析]“每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能坐两头，可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排列，只要将3个人插入5个空位形成的4个空档中即可．∴有Aeq\o\al(3,4)＝24种不同坐法．8．在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有________个．[答案]448[解析]千位数字比个位数字大2，有8种可能，即(2,0)，(3,1)…(9,7)前一个数为千位数字，后一个数为个位数字．其余两位无任何限制．∴共有8Aeq\o\al(2,8)＝448个．9．年某地举行博物展，某单位将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该单位展出这5件作品不同的方案有________种．(用数字作答)[答案]24[解析]将2件书法作品排列，方法数为2种，然后将其作为1件作品与标志性建筑设计作品共同排列有2种排法，对于其每一种排法，在其形成的3个空位中选2个插入2件绘画作品，故共有不同展出方案：2×2×Aeq\o\al(2,3)＝24种．三、解答题10．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？[解析](1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有Aeq\o\al(2,5)种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有Aeq\o\al(6,6)种排法，故共有不同排法Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(6,6)＝14400种．(2)先不考虑排列要求，有Aeq\o\al(8,8)种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4))＝37440种．一、选择题11．用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位数字的六位数共有()A．300个 B．464个C．600个 D．720个[答案]A[解析]解法1：确定最高位有Aeq\o\al(1,5)种不同方法．确定万位、千位、百位，从剩下的5个数字中取3个排列，共有Aeq\o\al(3,5)种不同的方法，剩下两个数字，把大的排在十位上即可，由分步乘法计数原理知，共有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(3,5)＝300(个)．解法2：由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数字的应各占一半，故有eq\f(1,2)Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5)＝300(个)．12．(·郑州网校期中联考)从6个人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有()A．300种 B．240种C．144种 D．96种[答案]B[解析]先从除甲、乙外的4人中选取1人去巴黎，再从其余5人中选3人去伦敦、悉尼、莫斯科，共有不同选择方案，Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)＝240种．13．(·四川理，6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种 B．216种C．240种 D．288种[答案]B[解析]分两类：最左端排甲有Aeq\o\al(5,5)＝120种不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝96种不同的排法，由加法原理可得满足条件的排法共有120＋96＝216种．14．某地为了迎接年城运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是()A．1205秒 B．1200秒C．1195秒 D．1190秒[答案]C[解析]由题意每次闪烁共5秒，所有不同的闪烁为Aeq\o\al(5,5)个，相邻两个闪烁的时间间隔为5秒，因此需要的时间至少是5Aeq\o\al(5,5)＋(Aeq\o\al(5,5)－1)×5＝1195秒．[点评]本题情景新颖，考查了排列知识在生活中的应用以及运用数学知识解决实际问题的能力、分析解决问题的能力．二、填空题15．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为________．[答案]576[解析]“不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件，由间接法可得Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝576.[点评]不能都站在一起，与都不相邻应区分．16.如图是一个正方体纸盒的展开图，若把1,2,3,4,5,6分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所得到的正方体相对面上的两个数的和都相等的概率是__________________．[答案]eq\f(1,15)[解析]6个数任意填入6个小正方形中有6！＝720种方法；将6个数分三组(1,6)，(2,5)，(3,4)，每组中的两个数填入一对面中，共有不同填法Aeq\o\al(3,3)×2×2×2＝48种，故所求概率P＝eq\f(48,720)＝eq\f(1,15).三、解答题17．用0、1、2、3、4五个数字：(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．[解析](1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2500(个)．(2)方法一：先排万位，从1,2,3,4中任取一个有Aeq\o\al(1,4)种填法，其余四个位置四个数字共有Aeq\o\al(4,4)种，故共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝96(个)．方法二：先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入有Aeq\o\al(1,4)种方法，其余四个数字全排有Aeq\o\al(4,4)种方法，故共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝96(个)．(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排，先填百位Aeq\o\al(1,2)，其余任排有Aeq\o\al(2,2)，故有2Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)种．②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取2然后进行全排为2Aeq\o\al(3,3)，所以共有2Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(3,3)＝8＋12＝20(个)．(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入个位有Aeq\o\al(1,2)种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有Aeq\o\al(1,3)种填法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为Aeq\o\al(3,3)，故共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36(个)．18．4个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)三位女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(5)若3个女生身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？[解析](1)3个女同学是特殊元素，她们排在一起，共有Aeq\o\al(3,3)种排法；我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有Aeq\o\al(5,5)种排法，由分步计数乘法原理，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(5,5)＝720种不同排法．(2)先将男生排好，共有Aeq\o\al(4,4)种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空档中插入3个女生有Aeq\o\al(3,5)种方案，故符合条件的排法共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440种不同排法．(3)三位女同学站在中间三个位置上的不同排法有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝144种．(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他