第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛八年级A卷复赛含答案

WMO世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛姓名姓名年级学校准考证号考场赛区_________父母姓名、联系电话_、---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：每位考生将获得考卷一份。考试期间，不得使用计算工具或手机。2.本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。3.请将答案写在本卷上。考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。4.若计算结果是分数，请化至最简。八年级地方晋级赛复赛A卷（本试卷满分120分，考试时间90分钟）选择题（每小题4分，共40分）1．函数的自变量x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≠1且x≠2 C．x≥0且x≠2 D．x≥0且x≠2且x≠1某车由甲地等速前往丁地，如图，过程是：自甲向东直行8分钟至乙后，朝东偏南直行8分钟至丙，左转90°直行15分钟至丁．若此车由甲地按原来的速度匀速向东直行可到达丁地，则此车程需要（）A．19.5分钟 B．24分钟 C．25分钟 D．28分钟3．如果等式（2x－3）x+3=1，则等式成立的x的值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．如右图，在一条笔直的小路上有一盏路灯，晚上小雷从点B处径直走到点A处再远离A处时，小雷在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．如图，△ABC内有一点P，点D、E、F分别是点P关于AB、BC、AC对称的点．若△ABC的内角∠BAC=70°，∠ABC=60°，∠ACB=50°，则∠ADB+∠BEC+∠CFA等于（）A．180° B．270° C．360° D．480°6．若实数x，y满足x－y+1=0且1＜y＜2，化简得（）A．7 B．2x+2y－7 C．11 D．9－4y如图，正三角形ABC的三边表示三面镜子，BP=AB=1，一束光线从点P发射至BC上R点，且∠BPR=60°．光线依次经BC反射，AC反射，AB反射…一直继续下去．当光线第一次回到点P时，这束光线所经过的路线的总长为（）A．6 B．9 C． D．278．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF=54°，则∠B的度数为（）A．54° B．60° C．66° D．72°第5题图第7题图第8题图如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n=b+c D．无法确定第9题图第10题图如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q，则点Q的坐标为（）A．（，）B．（3，3） C．（，） D．（，）填空题（每小题5分，共30分）11．已知a=，b=，则代数式(a+b)2－(a－b)2的值为____________．12．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则线段EF的长等于．13．若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是_____________．14．如图，点A（1，1），B（2，－3），点P为x轴上一点，当|PA－PB|最大时，点P的坐标为_____________．第12题图第14题图第16题图15．若a＞0，b＞0，且a≠b，a、b满足，则=_______．16．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC上一点，BE∥AC，且DE⊥AD，若BD=2，CD=4，则BE的长为_______________．解答题（共5小题，共50分）先化简，再求值：，其中x=3，y=4．（8分）定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2=－1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（5+i）×（3－4i）=19－17i．试一试：请利用学过的有关知识将化简成a+bi的形式．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB边于点E，EF∥BC，交CD于点F，点G是BC边的中点，连接GF，且∠1=∠2，CE与GF交于点M，过点M作MH⊥CD于点H．求证：EM=FG+MH．（10分）某超市在端午节前两天每天都花4000元购进咸肉馅和板栗馅粽子若干，已知这两种粽子每个的进价相同，第一天超市将咸肉馅粽子按进价的2倍销售，板栗馅粽子在进价的基础上提价50%销售，当天全部售完，发现咸肉馅粽子销售了1200个，共获利3200元．（1）设这两种粽子的进价为每个a元，求a的值；（5分）（2）如果要求咸肉馅粽子的数量不能超过板栗馅粽子数量的60%，且按第一天的销售价格销售，那么销售利润最多是多少元？（5分）在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，直线y=mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG为边作菱形DEFG，顶点E在OA边上．（1）如图①，当CG=OD时，求直线DG的函数表达式；（3分）（2）如图②，连接BF，设CG=a，△FBG的面积为S．①求S与a的函数关系式；（4分）②判断S的值能否等于等于1？若能，求此时m的值，若不能，请说明理由．（6分）

八年级A卷答案选择题（每小题4分，共40分）1.D2.C3.C4.A5.C6.A7.B8.D9.A10.D3.当x+3=0时，x=－3；当2x－3=1时，x=2；当x=1时，（2x－3）x+3=1．6.∵x－y+1=0，∴y=x+1，∵1＜y＜2，∴1＜x+1＜2，∴0＜x＜1，∴====|2x+1|+2|x－3|=2x+1+2（3－x）=7．∵BP=AB=1，∠BPR=60°，∴PR=1，根据等边三角形的性质可知当光线第一次回到点P时，光线经过的大致路线如图所示，∴当第一次回到点P时，这束光线所经过的路线的总长为1+2+1+2+1+2=9．8.过F作FG∥AB∥CD，交BC于G．则四边形ABGF是平行四边形，所以AF=BG，即G是BC的中点；连接EG，在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，则BG=GE=FG=BC；∵AE∥FG，∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°，∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°，∴∠B=∠BEG=180°－108°=72°．9.在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，∵AD是∠A的外角平分线，∴∠CAD=∠EAD，在△ACP和△AEP中，，∴△ACP≌△AEP（SAS），∴PE=PC，在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，∵PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，∴m+n＞b+c．10.过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，∴∠MCP+∠CPM=90°，∠MPC+∠DPN=90°，∴∠MCP=∠DPN，∵P（1，1），∴OM=BN=1，PM=1，在△MCP和△NPD中，∴△MCP≌△NPD（AAS），∴DN=PM，PN=CM，∵BD=2AD，∴设AD=a，BD=2a，∵P（1，1），∴BN=2a－1，则2a－1=1，a=1，即BD=2．∵直线y=x，∴AB=OB=3，在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC=PD=，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM=2，则C的坐标是（0，3），设直线CD的解析式是y=kx+3，把D（3，2）代入得：k=－，即直线CD的解析式是y=－x+3，即解得：，即Q的坐标是（，）．填空题（每小题5分，共30分）11.112.13.a＜1且a≠－114.(,0)15.16.解方程得x=，∵原方程的解为正数，∴x＞0，即＞0，当x－1=0时，x=1，代入得a=－1．此为增根，∴a≠－1，解得a＜1且a≠－1．作A点关于x轴的对称点A'，连BA'，交x轴于点P，此时|PA-PB|最大．由A'（1，－1）、B（2，－3）可得直线BA'的解析式为y=－2x+1，令y=0，则x=，即点P的坐标为(,0)．15.∵，∴a－3=2－4b，∴a－5+4b=0，∴（）（）=0，而a≠b，故=0，a=16b，原式=．16.连AE，过A点作AF⊥BC于点F，过点E作EG⊥CB的延长线于点G，∵BD=2，CD=4，∴BC=6，由题意得BF=CF=AF=3，DF=1，AB=，∴在Rt△ADF中AD=．设GE=GB=x，则BE=，GD=x+2，ED2=x2+（x+2）2，AE2=ED2+AD2=x2+（x+2）2+10，又在Rt△ABE中，AE2=BE2+AB2=2x2+（）2=2x2+18，∴x2+（x+2）2+10=2x2+18，解得x=1，∴BE=．解答题（共5小题，共50分）17.解：原式=+=+3++=2+4，当x=3，y=4时，原式=2+4=2+8．18.解：．19.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ECF，∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠ECF，∴∠BCE=∠1，∴BC=BE，∴四边形BCFE是菱形．∵∠1=∠ECF，∠1=∠2，∴∠ECF=∠2，∴CM=FM，又∵MH⊥CD，连接BF交CE于点O，∵G是BC中点，∴CG=CB，∵CH=CF，∴CG=CH，在△CGM和△CHM中，∴△CGM≌△CHM（SAS），∴∠CGM=∠CHM=90°，即FG⊥BC，∴CF=BF，∵BC=CF，∴BC=CF=BF，∴△BCF是等边三角形，∴∠BFC=60°，∴∠2=∠BFG=30°，∵BF⊥CE，∴OM=MH，∵OE=OC=FG，∴EM=FG+MH．20.解：（1）设这两种粽子的进价为每个a元，则1.5a×+1200×2a－4000=3200，解得：a=2．（2）由（1）知粽子的进价为每个2元，则前两天购进咸肉馅和板栗馅粽子4000÷2=2000个，设利润为W元，销售板栗粽子x个，咸肉馅棕售价4元/