第3章-计算机控制系统数学描述

第3章计算机控制系统数学描述3.1时域描述——差分方程3.2z域描述——脉冲传递函数3.3计算机控制系统稳定性分析3.1时域描述——差分方程3.1.1什么是差分均匀采样条件下，采样信号可表示为离散序列，或进一步简化为。一阶前向差分（3-1）二阶前向差分（3-2）类似地，n阶前向差分（3-3）3.1.1什么是差分在求的前向差分时，要用到，等超前序列的值，这在实时控制系统中难以得知，所以控制系统中常使用后向差分。一阶后向差分（3-4）二阶后向差分（3-5）类似地，n阶后向差分（3-6）3.1.2差分方程(a)连续系统(b)采样离散系统图3-1离散系统的差分表示微分方程是描述连续系统的方程，差分方程是描述离散系统的方程，且在计算机中更容易计算。如图3-1(a)所示的连续系统，可用如下微分方程描述：

(3-7)3.1.2差分方程图3-1(b)所示为输入与输出信号均被采样的采样离散系统，不能再用微分方程来描述输入输出信号之间的关系，而应该用相应离散信号的差分关系。式（3-7）中，二阶微分用二阶差分代替：一阶微分用一阶差分代替：将上述两式代入式（3-7），并用与分别代替，，得（3-8）3.1.2差分方程对于一般的单输入单输出离散系统，其输出与输入关系则可以用下述差分方程描述：

(3-9)式中，n为差分方程的阶次，

m是输入信号的阶次，通常有。，是由系统物理参数确定的常数，故式（3-9）为n阶线性常系数差分方程。如采用后向差分方程，则离散系统刻描述为：

(3-10)3.1.3差分方程的求解1.迭代求解所谓迭代法，是根据差分方程的初始条件或边界条件，逐步递推计算后面各时刻的输出，由此得出的解为非闭合解。与求解微分方程类似，差分方程的经典法求解，需求出齐次方程的通解和非齐次方程的特解，非常不便。利用计算机通过递推迭代求解有限项的数值解很容易，在控制系统中，最常用迭代法求解。3.1.3差分方程的求解

例3.1已知差分方程（3-11）令其输入零初始条件下（即当），试求。解：对式（3-11）进行整理，得（3-12）由给定的输入及初始条件，则，，，依次类推，不断迭代下去可以求得k为任意值时的输出。3.1.3差分方程的求解该题可以用下述MATLAB程序求解：n=10;%定义采样点数c(1:n)=0;r(1:n)=1;k(1)=0;%定义输入输出和采样点数的初始值fori=2:nc(i)=0.5*r(i)+0.8*c(i-1);k(i)=k(i-1)+1;endplot(k,c,’:o’)%绘制输出响应图，每一点用“°”表示2.Z变换求解用z变换法解线性定常差分方程，是利用z变换将线性定常差分方程变换成以z为变量的代数方程，求此代数方程的解，在进行z反变换，即为差分方程的解。3.2Z域描述——脉冲传递传递函数在离散系统中，将使用拉氏变换的特例——z变换，得到描述离散系统的脉冲传递函数，它是研究离散系统的重要数学工具。3.2.1Z变换定义及表达式1.Z变换定义连续信号经采样后，得到采样信号：其拉氏变换为

（3-13）3.2.1Z变换定义及表达式现引入一个新复变量或代入式（3-13），得（3-14）为的Z变换，或记为。3.2.1Z变换定义及表达式注意：（1）只有采样后的时间离散函数才能定义z变换；（2）z变换实际是一个无穷级数形式，它必须是收敛的，即极限存在时，的z变换才存在。（3）在式（3-14）的任意项中，决定幅值，决定时间，即z变换和离散序列之间有非常明确的幅值和时间的对应关系。（4）

z变换由采样函数决定，不能反映非采样时刻的信息。对于两个不同的连续函数和，如果有=，则对应的z变换有=。因此，z变换对应唯一的采样函数，但并不对应唯一的连续函数。3.2.1Z变换定义及表达式2.Z变换的基本定理（1）线性定理若和的z变换分别为和，和为常数，则（3-15）（2）滞后（右移）定理设对于时有，，则滞后k个采样周期的函数的z变换为（3-16）（3）超前（左移）定理，则超前k个采样周期的函数的z变换为

（3-17）3.2.1Z变换定义及表达式（4）初值定理，且存在，则（3-18）（5）终值定理设对于时有，且为收敛序列，即存在有界终值，则（3-19）3.2.2Z反变换所谓z反变换，是已知z变换表达式，求相应离散时间序列或采样信号的过程。的z反变换记为（3-20）表示z反变换符号。如前所述，z变换只是建立了或与之间的一一对应关系，则通过z反变换得到的也只是在采样时刻的值。常用的z反变换有如下三种：部分分式法、幂级数展开法（长除法）和留数计算法。3.2.2Z反变换1.部分分式法部分分式法又称查表法。连续时间信号大部分是由基本信号组合而成，可以将分解为对应基本信号的部分分式，进而通过查z变换表得到基本信号的z反变换。z反变换的部分分式法可分为特征方程无重根和有重根两种情况，下面仅仅介绍无重根的计算。3.2.2Z反变换设已知的z变换函数无重极点，先求出的极点，再将展开成如下形式（3-21）式中，、分别为在及处的留数，即，由上式求得的、代入式（3-21），得的部分分式形式（3-22）3.2.2Z反变换逐项查z变换表，得

（3-23）最后写出已知对应的采样函数

（3-24）3.2.2Z反变换

例3.2求的反变换解：由于所以有查表得从而有3.2.2Z反变换2.幂级数展开法幂级数展开法也称长除法，以下两种情况多用此法进行z反变换。（1）z变换比较复杂，不能写成简单形式；（2）z反变换需要以数值序列表示。由z变换的定义（3-25）因此只要将要进行z反变换的展开成幂级数形式，并按的升幂排列，即可获得对应的时间序列。3.2.2Z反变换例3.3已知，求，解：1）首先将分子分母展开并同时除以，写成包含多项式之比，得2）用分子除以分母，把展开成幂级数形式3.2.2Z反变换把上式和z变换定义式比较，可得3.2.2Z反变换在求反变换时，采样周期T未知，因而反变换求出的是序列，而不是或序列。若给定对应的采样周期T，则对应的采样信号为3.2.2Z反变换3.留数计算法设已知z变换函数，对于其z反变换值，可由下式计算（3-29）式中，是积分的闭合回线，包围了的所有极点。设共有等m个极点，根据柯西留数定理，上式也可写为（3-30）即等于的全部极点的留数之和。例3.4设z变换函数试用留数法解其z反变换。解：该函数有两个极点：1和2，分别求出对这两个极点的留数。则3.2.3脉冲传递函数1.什么是脉冲传递函数脉冲传递函数定义为：在零初始条件下，系统输出量z变换与输入量z变换之比。（3-31）其关系如图3.3（a）所示。对于采样系统，输入为采样信号，输出为连续信号。为了用脉冲传递函数表示，在输出端虚设一个与输入开关同步动作的采样开关，如图3.3（b）中虚线所示，从而使其变成离散系统，脉冲传递函数仍如式（3.31）。（a）（b）图3-3脉冲传递函数

3.2.3脉冲传递函数若已知系统的脉冲传递函数，系统输出量的z变换可表示为（3-32）通过z反变换，即可求得输出的采样信号：（3-33）通常已知，因此要求输出采样信号，关键要先求取系统的脉冲传递函数。3.2.3脉冲传递函数2.脉冲传递函数的求取（1）由系统的脉冲响应求取脉冲传递函数可视为离散系统的单位脉冲响应的z变换，因，故（3-34）（2）根据连续系统的传递函数求取对于采样系统，连续传递函数已知，（1）用拉氏反变换求取脉冲响应函数：。（2）按周期T对采样，其离散系统脉冲响应为（3-35）

3.2.3脉冲传递函数（3）根据式（3.34）得系统的脉冲传递函数为不能简单地令代入而得到。因为是连续函数的拉氏变换，而是采样信号的z变换，它除了与连续环节有关外，还包括采样开关的作用。因此应理解为（3-36）上式常表示为（3-37）3.2.3脉冲传递函数3.差分方程与脉冲传递函数关系对于同一离散系统，既可用差分方程描述，又可用脉冲传递函数描述，因此两者之间可相互转换。（1）由差分方程求脉冲传递函数已知系统差分方程为

(3-38)或（3-39）3.2.3脉冲传递函数零初始条件下，对式（3-39）进行z变换，得则系统的脉冲传递函数为

（3-40）式中，为该系统的特征多项式。3.2.3脉冲传递函数（2）由脉冲传递函数求差分方程设已知系统的脉冲传递函数如式（3-40），可得对上式进行反变换，得到对应的差分方程3.2.3脉冲传递函数4.脉冲传递函数的极点与零点（1）极点由z变换的定义，可知的极点与的极点依一一映射得到。因此，结合的物理意义，的极点位置除了与的极点有关外，还与采样周期密切相关。若采样周期T足够小，不管的极点分布如何，都密集地映射在附近。（2）零点与极点相互映射不同，与不存在零点相互映射的公式。研究表明，的零点是采样周期的复杂函数。3.3计算机控制系统稳定性分析

稳定性是保证控制系统正常工作的首要条件。对于连续系统和离散系统，系统稳定是指该系统在受到外部扰动作用而偏离其平衡状态，扰动消失后，系统能够回到原平衡状态。反之，如果系统不能回到原平衡状态，则该系统不稳定。线性系统的稳定性是系统本身固有特性，与系统外部输入信号的有无、强弱无关。分析连续系统稳定性时，系统稳定的充要条件是：系统特征方程的所有特征根（或极点）都分布在s平面的左半平面，即系统所有特征根具有负实部。s平面的左半平面是系统特征根分布的稳定域，s平面虚轴是稳定边界。若有特征根位于虚轴上，则系统为临界稳定，工程上也视为不稳定。3.3.1s平面与z平面的映射关系z与s具有指数关系式中，T是采样周期。令，代入上式，则（3-41）则s域映射到z域的基本关系式为，（3-42）图3-4s平面与z平面之间的关系，3.3.1s平面与z平面的映射关系实际的计算机控制系统中，采样频率与被采信号的最高频率满足：，根据采样定理（），系统实际工作频率在主频区（），又由，因此s平面主频区对应的范围为。除主频区外，每变化一个，s平面上的点沿虚轴移动一个的距离，相应地，映射在z平面的点将逆时针重复画一个单位圆，出现频率混叠现象。因此，在讨论s平面和z平面之间的映射关系时，主要讨论s平面主频区与z平面之间的关系即可。图3-4中s平面把主频区分为①~⑤段，分别对应z平面的①~⑤段。s平面与z平面映射关系如表3-2。z平面②~③、④~⑤段实际就在负实轴（）上。表3-2s平面与z平面映射关系区域区域虚轴①~②段①~②段（上半圆）②~③段②~③段③~④段③点、④点④~⑤段④~⑤段虚轴⑤~①段⑤~①段（下半圆）s右半平面单位圆外3.3.1s平面与z平面的映射关系根据图3-4和表3-2可知：s平面左半面映射到z平面单位圆内部；s平面右半平面映射到z平面单位圆外部；s平面虚轴映射到z平面单位圆上。因此，离散系统的稳定条件为：（1）如果离散系统脉冲传递函数特征根都位于z平面单位圆内部，则系统稳定；（2）如果有特征根在单位圆上，则系统临界稳定；（3）如果有特征根在单位圆外部，则系统不稳定3.3.1s平面与z平面的映射关系图中阴影部分即为两平面的稳定区域。

图3.5s平面与z平面的稳定区域3.3.2计算机控制系统的稳定性图3.6离散控制系统

图3-6为某离散控制系统的结构图，脉冲传递函数为：（3-43）现设m<n，并将上式分母写成因式相乘的形式（3-44）3.3.2计算机控制系统的稳定性

为闭环极点，设输入单位脉冲函数（代表瞬时扰动），即，则

(3-45)假设n个极点相异，将式(3-45)分解部分分式

(3-46)对其进行反变换，得系统脉冲响应为

(3-47)3.3.2计算机控制系统的稳定性若使系统稳定，则在时，上述衰减至零，则有

(3-48)式(3-48)中每个分量在时，均衰减至零，则有

(3-49)由于，要使上式成立，则有所有极点（），即所有极点都在z平面单位圆内。上述结论在，以及有重根时均成立。下面讨论脉冲传递函数极点位于不同区域，其对应的脉冲响应序列特性。3.3.2计算机控制系统的稳定性1.若为实数图3-7离散系统实数极点的脉冲响应3.3.2计算机控制系统的稳定性如图3-7，对应于图中的①-⑥所示极点，有以下特点。①，对应脉冲响应分量是发散序列。如图3-7中①点；②，对应脉冲响应分量是等幅序列，如图3-7中②点；③时，对应脉冲响应分量是单调衰减序列，如图3-7中③点；④，对应脉冲响应分量是正负交替的衰减序列，如图3-7中④点；⑤时，对应脉冲响应分量是正负交替的等幅序列，如图3-7中⑤点；⑥时，对应脉冲响应分量是正负交替的发散序列，如图3-7中⑥点。3.3.2计算机控制系统的稳定性2.极点中含有共轭复数对令共轭极点对为