西工大821自动控制原理-4习题及答案-第四章 根轨迹法习题及答案

西工大821自动控制原理

第四章根轨迹法习题及答案

4-1系统的开环传递函数为

K*

G(S)H(S)=

(5+1)(5+2)(5+4)

试证明点4=-1+八Q在根轨迹上，并求出相应

的根轨迹增益K*和开环增益Ko

解若点4在根轨迹上，则点4应满足相角条

件NG(s)H(s)=±(2攵+1)乃，如图解4-1所示。

对于s=T+/JJ,由相角条件

ZG(5I)//(51)=

O-Z(-l+；V3+1)-Z(-1+jV3+2)-Z(-l+jV3+4)=

71冗兀

()------------------------=—7T

236

满足相角条件，因此邑=-1+/、存在根轨迹上。将邑代入幅值条件：

|G(5.)/7(51)|

|-1+jV3+l|-|-l+JA/3+2|-|-1+j>/3+4|

K*3

解出：K*=12,K=—=-

82

4-2已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。

(a)(b)(c)(d)

j

题4-22图开环零、极点分布图

解根轨如图解4-2所示:

4-3已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。

K

(1)G(s)=-------------------------

5(0.25+1X0.55+1)

K'(s+5)

⑵G(s)

s(s+2)(5+3)

K(s+1)

⑶G(s)=

s(2s+1)

K______10K

解⑴G(s)=

s(0.2s+l)(0.5s+l)s(s+5)(s+2)

系统有三个开环极点：P]=0,〃2=-2,〃3=-5

图4-3(。根轨迹图

①实轴上的根轨迹：

(-00,-5],[-2,0]

0-2-57

O"..—,—

"33

②渐近线：•

(2%+1)),71

(p=--------=±-

a"33

③分离点：

111

—+-----+-----=0

dd+5d+2

解之得：[=-0.88,d2-3.7863(舍去)。

④与虚轴的交点：特征方程为0(5)=?+752+105+10^=0

2

尽\Re[D(ja))]=-7co+102=0

Im[D(j<y)]=-co3-106y=0

解得什屈

k=l

与虚轴的交点(0,±V10j)o根轨迹如图解4-3(a)所

ZjSo

⑵根轨迹绘制如下：

①实轴上的根轨迹：[-5,-3],[—2,0]图"3(b)根轨迹图

_0-2-3-(-5)

2

②渐近线:

(2七+1)乃71

----------=±—

2--2

1111

③分离点:—I1

dd+2d+3d+5

用试探法可得d=-0.886,根凯迹如图解4-3(b)所示。

S4-3(c)根轨迹图

K(s+1)K(s+1)

(3)G(s)=

s(2s+1)2s(s+；)

根轨迹绘制如下:

①实轴上的根轨迹:(-x-1],[-0.5,0]

111

②分离点：-1----=---

dd+0.5d+1

解之得：J=-0.293,J=-1.707o根轨迹如图解4-3(c)所示。

4-4已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。

K*(s+2)

(1)G(s)

(5+1+J2)(5+1-J2)

K*G+20)

(2)G(s)

^+10+710)(5-10-J10)

K*(s+2)

解⑴G(s)=

(s+l+/2)(s+l-/2)

根轨迹绘制如下：

①实轴上的根轨迹：(-00-2]

图4-4Q)根轨迹图

②分离点：—!一+一!一=_!_

4+1+/2d+\-j2d+2

解之得：d=-4.23

③起始角：

=180,+63.4350-90“=153.43°

0Pn\

由对称性得另一起始角为-153.43°。

根轨迹如图解4-4(a)所示。

小~、K*(s+20)

(2)G(s)=------------------------------------

5(5+10+；1OX^+1O-J1O)

系统有三个开环极点和一个开环零点。

根轨迹绘制如下：

①实轴上的根轨迹：[-20,0]图解4-4G)根轨迹图

②起始角：9=180,+45°-90°-135°=0。

根轨迹如图解4-4(b)所示。

4-5已知系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。

K"

⑴G(s)〃(s)=

5(52+85+20)

IC

G(s)H(s)=

s(s+l)(s+2)(s+5)

K*(s+2)

⑶G(s)"(s)=

s(s+3)(s~+2s+2)

K*(s+1)

(4)G(s)H(s)=

5(15-1)(52+45+16)

K*

解⑴G(s)H(s)=

s(s~+8s+20)

①实轴上的根轨迹：(-8,0]

②渐近线:

0+(-4+/2)+(-4-/2)8

33

(2k+1)乃,n

(Pa=---------=±­，乃

33

111

③分离点:-H-------------H--------------=0

dd+4+J2d+4-j2

解之得：d=—2,d=—3.33。

④与虚轴交点：O(S)=S3+8S2+20S+K*

把5=/口代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得:

Re(O(/0))=K*-8<y2=0

Im(D(jco))=20<y-<y3=0

co=0co=±245

解得:

IC=0K*=160

⑤起始角：由相角条件epi=-63°,9p、=63、

根轨讲如图解4-5(a)所示c

K・

(2)G(s)”(s)=

s(s+l)(s+2)(s+5)

①实轴上的根轨迹：[—5,—21[-1,0]

0+(-5)+(-2)+(-1)=_2

②渐近线:4

(22+1)%,冗3兀

-----------=±—,—

444

1111

③分离点:----卜---------------1------=---0

dd+\d+2d+5

解之得：4=-4.06,内=-0.399,4=-1.54(舍去);

④与虚轴交点：

D(s)=s4+8s*+17s2+10s+K*

令s=，y,带入特征方程，令实部，虚部分别为零

Re(D(»)=<y4-8^2+2AT*=0

Im(O(/3))=(6+K')©-5G°=0

图4-5(b)根轨迹图

69=0\co=±1.12

解得:

K*=0[K^=19.7

根轨迹如图解4・5(b)所示。

K'(s+2)

(3)G(s)H(s)=

s(s+3)(52+2s+2)

系统有四个开环极点、一个开环零点。根轨迹绘制如下:

①实轴上的根轨迹：[-x-3],[-2,0]

②渐近线:“3

(2々+1)笈j

(p=-------------=±—,乃

a33

③与虚轴交点：闭环特征方程为

O(s)=5(5+3XS2+2s+2)+K*(s+2)

把S=代入上方程，令

Re(O(网)=6?-8口2+2K*=0

Im(D(yd>))=(6+K4)(o-5co3=0

(o=0(D=±1.61

解得:

IC=0K，=7.03

④起始角

%=180。+45。-90。-135。-25.57。=-25.57。

根轨迹如图解4-5(c)所示。

/r(s+i)

(4)G(s)H(s)=

s(s-1)(52+45+16)

系统根轨迹绘制如下:

①实轴上的根轨迹：[一8,-1][0,1]

_1+(-2+；V3)+(-2-；V3)-(-1)_2

cyn——

渐近线：.“33

(2k+1)乃j

中a=q=±产

11111

③分离点:----1-----------1-----------产H------------------

dd-\J+2-J2V36/4-2+J2V3d+1

解得：dA=-2.26,J2=0.49,J3,4=-0.76±72.16(舍去)

④与虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)=5(5-1)(52+4s+16)+K*(s+1)=0

把S="y代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

Re(D(»)=d>4-12zw2+Ar*=0

(

Im(D(/M)-(K*-16)0-3,-0

d)=0(co=±1.38[co=±2.66

解得：4.

K4=0[Kv=21.7[AT*=37.3

⑤起始角：

0=180+106..1°-90-120J-130..89c=-54..79°

Pni

图4-5(d)根轨迹图

由对称性得，另一起始角为54.79°,根轨迹如图解4-5(d)所示。

4-6已知单位反馈系统的开环传递函数，要求:

K*(s+z)

(1)确定G(s)=产生纯虚根为土川的z值和K"值;

52(5+10)(5+20)

(2)概略绘出G(s)=的闭环根轨迹图(要求

5(5+1)(5+3.5)(s+3+72)(5+3-J2)

确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角)。

解(1)闭环特征方程

O(s)=52(5+10X5+20)+K*(s+z)=/+30s3+200§2+K*s+K*z=0

有D(jco)=(/_20002+K，Z)+30])=0

04-2(W+K*Z=0

令实虚部分别等于零即:

K%—3痴=0

把3=1代入得:K*=30,z=199/30o

（2）系统有五个开环极点:

P\=。，〃2=T，P3=-3.5,凡=-3+72,p5=-3-j2

©实轴上的根轨迹：[-00-3.5],[-1,0]

-1-3.5(-3；2)(-3-；2)

+++-2.1

“5

②渐近线:

(2%+1)47t,37r

冉=-—=土寸土彳/

分离点:-——=0

dd+1"3.5d+3-j21+3+J2

解得：4=-0.45,4—24（舍去），/、4=-3.25±jl.90（舍去）

④与虚轴交点：闭环特征方程为

O(s)=s(s+1)(5+3.5)(s+3+72)(5+3—j2)+K，=0

把$=代入上方程，整理，令实虚部分别为零得:

Re（j^）=K"+10.5/-79.5〃=0

co-43.5"+45.5。=0

解得:

69=0d>=±1.02co=±6.52

(舍去)

K*=0K*=71.9()'K*=-15546.3

⑤起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为

图解4-6根轨迹图

0n=180-75..96-90-135-146.3=92„74

由对称性得，另一起始角为92.74、根轨迹如图解4-6所示。

4-7已知控制系统的开环传递函数为

K%s+2)

G(s)H(s)=

(s2+4s+9产

试概略绘制系统根轨迹。

解根轨迹绘制如下：

①实轴上的根轨迹：[-00-2]

②渐近线：

(J

图解4-7根轨迹图

221

③分离点:-------------------------产=-----

d+2+jy/5d+2-jyl5d+2

解之得：d=-3.29d=0.71(舍去)

④与虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)=(52+4s+9)2+K*(s+2)=0

把$=代入上方程，令

Re(D(»)=co4-3432+81+2K*=0

Im(O(加))=(72+K4)(o-脑3=0

解得；

co=+V2T

K*=96

⑤起始角：90°—(29〃P\一2x90°)=(2k+1)乃

解出〃=45°,。，=一135"

P\〃2

根轨迹如图解4-7所示。

4-8已知系统的开环传递函数为

s(s2+3s+9)

试用根轨迹法确定使闭环系统稳定的升坏增益K值范

围。

解根轨迹绘制如下：

①实轴上的根轨迹：(-oo,0]

②起始角：-30°

-6

-1.5+J2.6-1.5-12.6

"I-

③渐近线:

(2k+1)斤i1

--------=±­，4

33

④与虚轴交点：闭环特征方程

图解4-8根轨迹图

D(5)=5(52+5-F9)+/C*=0

把5=/口代入上方程，整理，令实虚部分别为零得:

Re(D(jey))=AT*-3<y2=0

Im(Z)(jty))=9co-co3=0

(o=06?=±3

解得:

K"=0IC=27

根轨迹如图解4-8所示。从根轨迹图可知，闭环系统稳定的K*范围为0<K"<27,又

K=K”9,故相应的的K范围为0vKv3。

4-9单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)—一

(S+l)2(；S-1)

试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的K值范围。

解根轨迹绘制如下：

①实轴上的根轨迹：［0.5,7/4］

②渐近线：

-l-l+7/4-(-0.5)1

(ya=-------------------------=—

,24

(2k+\)7t汽

(p=-----------=±­

I“a22

③与虚轴交点：闭环特征方程为

+#+(2爪一学$+K-i=o

把5=代入上方程，令

17

Re(O(加))=K-］一心=0

in4

Im(D(j<y))=(2K--^)CD--CO3=0

60=0co=±A/2

解得:

K=\K0=—9

7

根轨迹如图解4-9所示。由图解小9可知使系统稳定的K值范围为l<K<9/7。

4-10单位反馈系统的开环传递函数为

K*Gy2_2s+5)

G(s)=

(5+2X5-0.5)

试绘制系统根轨迹，确定使系统稳定的K值范围。

解根轨迹绘制如下：

①实轴上的根轨迹：[-2,0.5]

②分离点：由

1111

--------1------=-----------1----------

d-0.5d+2d-\+j2d-\-j2

解得：d,=-0.41o

③与虚轴交点：

D(s)-(s+2)(5-0.5)+/T($2+2s+5)-0

把s二jG代入上方程，令

Re(O(网)=-(1+K*)〃+5K*-1=0

V

Im(D(jty))=(1.5-2^*)6)=0

69=0[co=±1.25图解4-10根疑迹图

解得：..

A：=0.2K=0.75

根轨迹如图解4-10所示。由图解4-10可知系统稳定的K*值范围为0.2<K*<0.75；又

K=5K\所以系统稳定的K值范围为lvK<3.75。

4-11试绘出下列多项式方程的根轨迹。

(1)53+2s24-3s+Ks+2K=0；

(2)53+352+(/C+2)5+10X：=0

解(1)S3+2S2+3S-^-KS+2K=0

作等效开环传递函数G*(s)=

s+2s+3s

根轨迹绘制如下：

①实轴上的根轨迹：[-2,0]

②渐近线：

-1+JV2+(-1-JV2)-(-2)__

Oa=-U

2

(2k+1)%

8a±-

22

③起始角:

以=180+54.74。-90'-125.26』9.48。

根轨迹如图解4-11(a)所示。

图解4/1(a)根轨迹图

(2)/+31+(K+2)S+10K=0

作等效开环传递函数G*(s)=/”⑼

s'+3s+2s

根轨迹绘制如下：

①实轴上的根轨迹：[-10,-2],[-1,0]；

”2-(TO)=3.5

“2

②渐近线:

(2k+1)乃,71

(p==±­

a02-------2

1111

③分离点:—+--------4--

dd+\d+2d+10

解得

图解4-11(b)根轨迹图

4=-0.4344&=-14.4752(舍)，d3=-1.5904(舍)

④与虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)=$3+3/+(K+2)s+1OK=O

把5可。代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

Re(O(/0))=lOK-3G2二。

<

Im(D(Jcy))=(K+2)co-a)3=0

试根可得:

co=±1.69

3=0

06

K=0K=—

7

根轨迹如图解4-11(b)所示。

4-12控制系统的结构如图4-23所示，试概略绘制其根轨迹。

解系统开环传递函数为

R(s)

,K(s+1)C(s)

----

(s+2)3

图4-23系绣吉构图

K*(s+1)

G(s)=

($+2)3

此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。

①实轴上的根轨迹:[-OO-2],[-1,-K>O]

31

②分离点：

d+2d+1

解得J=-0.5

③起始角：根据相角条件,

工化一工3=2k兀

M；=1

得以=60"%=/)。，”=180、

根轨迹如图解4-12所示。

4-13设单位反馈系统的开环传递函数为

G")=

s(s+2)

试绘制其根轨迹，并求出使系统产生重实根和纯虚根的K•值。

解由开环传递函数的表达式知需绘制0°根轨迹。

①实轴上的根轨迹：[-2,0][1,+oo)；

②分离点：-+—

dd+2d-\

解得：[=-0.732,d2=2.732

将s=&=-0.732,s=d2=2.732代入幅值条件得

­=0.54,K&=7.46

③与虚轴交点：闭环特征方程为

£>(s)=s(s+2)+K*(1-s)=0

把S=代入上方程，整理，令实虚部分别为零得:

Re(D(jco))=-a)2+K4=0

V

Im(O(四))=(2—K*)G=0

co=0\co=±1.41图解4-13根轨迹图

解得:

K*=01K*=2

根轨迹如图解4-13所示，复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到分离点的距

离为半径的圆。系统产生重实根的K*为0.54,7.46,产生纯虚根的K/为2。

414己知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制参数〃从零变化到无穷大时的根轨迹,

并写出h=2时系统的闭环传递函数。

20

(1)G(5)=

(s+4)(s+b)

30(5+b)

(2)G(s)=

5(5+10)

解(1)做等效开环传递函数

b(s+4)

s2+45+20

①实轴上的根轨迹：(-00,^]

11

分离点:----------H-----------

d+2+J4d+2-J4

解得：&=—0.472(舍去)，d2=8.472

如图解4-14(a)所示，根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到开环极点的距离为半径的圆。

当人=2时，两个闭环特征根为42=一3±/4.24。

此时闭环传递函数为

20

①(5)=

(s+3+；4.24)(5+3-J4.24)

(2)做等效开环传递函数G.(s)=一

s(s+40)

①实轴上的根轨迹：[-40.-0]

②分离点：-+—^=0

dd+40

图解4-14(b)根轨迹图

解得：J=-20

根轨迹如图解4-14(b)所示，

当力=2时，两个闭环特征根为4=-38.44,22=-1.56

此时闭环传递函数为

30(5+2)

①⑸=

(5+1.56X^+38.44)

4-15已知系统结构图如图4-24所示，试绘制时间常数7变化时系统的根轨迹，并分析

参数T的变化对系统动态性能的影响。

100

解:G(s)=

7V+S2+20S

作等效开环传递函数

1/T(52+205+100)

G"(s)=

T

图4-24系统结构图

根轨迹绘制如下:

①实轴上的根轨迹：(-00,-10],[-10,0]

3二2

②分离点:

厂d+10

解得4=-30。

根据幅值条件，对应的7=0.015。

③虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)=7s3+s1+20$4-1OO=O

把S=代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

Re(£)(/©))=IO。-。？=0

V

Im(D(jey))=20G-Teo3=0

…-®=±10

解得：,

[T=0.2

④起始角：0Pi=60°

参数7从零到无穷大变化时的根轨迹如图解4-15所示。

从根轨迹图可以看出，当0VTW0.015时，系统阶跃响应为单调收敛过程；

0.015vT<0.2时，阶跃响应为振荡收敛过程；7>0.2时，有两支根轨迹在s右半平面,

此时系统不稳定v

4-16实系数特征方程

A(J)=+5s2+(6+a)s+。=0

要使其根全为实数，试确定参数〃的范围。

解作等效开环传递函数

a(s+1)a(s+1)

G(s)=

53+552+6ss(s+2)(5+3)

当。>0时，需绘制180。根轨迹。

①实轴上的根轨迹：[-3-2],[-1,0]

-2-3+1c

--------=—2

3-1

②渐近线:

(2k+1)打、冗

---------=±-

3-1~2

③分离点：

1111

—+----+-----=1

d4+2d+3c/+1

解得d=-2.47

分离点处的根轨迹增益可由幅值条件求得：

*\dV[d+2M+3|

K*d=U----=0.4147

d+\

根据以上计算，可绘制出系统根轨迹如图所示。由

根轨迹图解4-16(a)可以看出，当0.4147时，多项式的根全为实数。

当°<0时，需绘制0”根轨迹。实轴上的根轨迹区段为：(-00-3],[-2-1],[0,8)。

由根轨迹图图解4-16(b)可以看出，当时，多项式的根全为实数。因此所求参数。

的范围为0工。40.4147或。<0。

4-17某单位反馈系统结构图如图4-25所示，试分别绘出控制器传递函数G/s)为

⑴G式s)=K"

-国生-

⑵GC2(S)=K(5+3)-T---1-

⑶GC3(S)=K'(S+1)

时系统的根轨迹，并讨论比例加微分控制器图4-25系统结构图

G,(s)=K'(s+z,)中，零点-z,的取值对系统稳定性

的影响。

解⑴G,G)=K*时

系统开环传递函数为G(s)=$2：+2

根轨迹绘制如下：

①实轴上的根轨迹：(-oo,-2]

-22

(J=—=—

a"33图解417(a)根轨迹图

②渐近线:

(2k+V\7v,n

(pa=--------=±—，用

“333

根轨迹如图解4-17(a)所示。2

(2)GC2(S)=K“(S+3)；

系统开环传递函数为G(s)=,根轨迹绘制如下:

①实轴上的根轨迹：[-3-2]

-2-(-3)1

<T„=---------=—

②渐近线：,20Z?

(24+

根轨迹如图解4/7(b)所示。

(3)Gc3(S)=K'(s+1)

系统开环传递函数为G(s)=f(S+D

S2(S+2)

根轨迹绘制如下:

①实轴上的根轨迹：

2-(-1)1

I=——图解4-17(c)根轨迹图

22

②渐近线:

k+1)%,7T

2~2

根轨迹如图解4-17(c)所示。

从根轨迹图中可以看出，比例加微分控制器G,(s)=K\s+zc)的加入使根轨迹向左移

动，且当|z』v|p|时系统趋于稳定，附加开环零点越靠近虚轴这种趋势越强。

4-18某单位反馈系统的开环传递函数为

试根据系统根轨迹分析系统稳定性，并估算b%=16.3%时的K值。

根轨迹绘制如下：

①实轴的根轨迹：实轴上的除点-2外没有根轨

图解4-18根轨迹图

-2-2-2