2020年北京市八中九年级下4月月考数学试题解析版老头

北京市八中2021-2021学年度九年级下学期4月月考数学试题一、选择题〔此题共16分，每题2分〕1.以下图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】轴对称图形是指平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的局部能够完全重合的图形；而在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此进一步判断求出答案即可.【详解】A：是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意；B：是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；C：是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；D：是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；应选：A.【点睛】此题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，熟练掌握相关概念是解题关键.2.如图是某个几何体的展开图，该几何体是〔〕A.圆锥 B.圆柱 C.三棱柱 D.四棱柱【答案】D【解析】【分析】根据四棱柱的展开图解答．【详解】解：由图可知，这个几何体是四棱柱．应选：D．【点睛】此题考查了展开图折叠成几何体，熟记四棱柱的展开图的形状是解题的关键．3.实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如下图，以下结论①a＜b；②|b|=|d|；③a+c=a；④ad＞0中，正确的有〔〕A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】B【解析】【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义，可得答案．【详解】解：由数轴，得a=-3.5，b=-2，c=0，d=2，①a＜b，故①正确；②|b|=|d|，故②正确；③a+c=a，故③正确；④ad＜0，故④错误；应选B．【点睛】此题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义是解题关键．4.如果，那么代数式的值是〔〕．A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简代数式，再代入求解即可．【详解】∵∴原式故答案为：B．【点睛】此题考查了分式的化简运算问题，掌握完全平方公式、分式化简的方法是解题的关键．5.甲、乙两位同学做中国结，甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x个，那么可列方程为()A.＝ B.＝C.＝ D.＝【答案】A【解析】【分析】设甲每小时做x个，乙每小时做〔x+6〕个，根据甲做30个所用时间与乙做45个所用时间相等即可列方程.【详解】设甲每小时做x个，乙每小时做〔x+6〕个，根据甲做30个所用时间与乙做45个所用时间相等可得=.应选A．【点睛】此题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，正确找出等量关系是解决问题的关键．6.为了迎接2022年的冬奥会，中小学都积极开展冰上运动，小乙和小丁进行500米短道速滑比赛，他们的五次成绩(单位：秒)如表所示：12345小乙4563555260小丁5153585657设两人的五次成绩的平均数依次为，，成绩的方差一次为，，那么以下判断中正确的选项是()A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根据平均数的计算公式先求出甲和乙的平均数，再根据方差的意义即可得出答案．【详解】，那么，，那么，所以，，应选B．【点睛】此题考查方差的定义与意义：一般地设个数据，，，…的平均数为，那么方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．7.二次函数y＝〔a﹣1〕x2+3ax+1图象上的四个点的坐标为〔x1，m〕，〔x2，m〕，〔x3，n〕，〔x4，n〕，其中m＜n．以下结论可能正确的选项是〔〕A.假设a＞，那么x1＜x2＜x3＜x4B.假设a＞，那么x4＜x1＜x2＜x3C.假设a＜﹣，那么x1＜x3＜x2＜x4D.假设a＜﹣，那么x3＜x2＜x1＜x4【答案】B【解析】【分析】分为和情况，分别根据二次函数中的系数，可得抛物线的开口方向，从而得到四个点的位置关系.【详解】解：依题意得假设，那么a﹣1＞0∴抛物线y＝〔a﹣1〕x2+3ax+1的开口向上，∵〔x1，m〕，〔x2，m〕，〔x3，n〕，〔x4，n〕，∴当m＜n时，那么x3＜x1＜x2＜x4〔假设x1＜x2，x3＜x4〕或那么x4＜x1＜x2＜x3〔假设x1＜x2，x3＜x4〕∴假设，那么a﹣1＜0∴抛物线y＝〔a﹣1〕x2+3ax+1的开口向下∵〔x1，m〕，〔x2，m〕，〔x3，n〕，〔x4，n〕，∴当m＜n时，那么x1＜x3＜x4＜x2〔假设x1＜x2，x3＜x4〕综上所述，A、C、D选项不正确，应选B．【点睛】此题考查二次函数的性质和特征.8.平面直角坐标系xOy中，点P〔a，b〕经过某种变换后得到的对应点为P′〔a+1，b﹣1〕．A，B，C是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A′，B′，C′．假设△ABC的面积为S1，△A′B′C′的面积为S2，那么用等式表示S1与S2的关系为〔〕A.S1S2 B.S1S2 C.S1＝2S2 D.S1＝4S2【答案】D【解析】【分析】先根据点P及其对应点判断出变换的类型，再依据其性质可得答案．【详解】由点P〔a，b〕经过变换后得到的对应点为P′〔a+1，b﹣1〕知，此变换是以点〔2，﹣2〕为中心、2：1的位似变换，那么△ABC的面积与△A′B′C′的面积比为4：1，∴S1＝4S2，应选：D．【点睛】此题主要考查几何变换类型，解题的关键是根据对应点的坐标判断出其几何变换类型．二、填空题〔此题共16分，每题2分〕9.分解因式：ab2﹣4ab+4a=．【答案】a〔b﹣2〕2．【解析】ab2﹣4ab+4a=a〔b2﹣4b+4〕﹣﹣〔提取公因式〕=a〔b﹣2〕2．﹣﹣〔完全平方公式〕故答案为a〔b﹣2〕2．10.如下图的网格是正方形网格，那么∠AOB_____∠COD．〔填“＞〞，“＝〞或“＜〞〕【答案】=【解析】【分析】根据tan∠AOB与tan∠COD的大小比拟即可求解．【详解】解：根据题意可知tan∠AOB＝2，tan∠COD＝2，∴∠AOB＝∠COD，故答案为＝.【点睛】此题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．11.如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，点．假设反比例函数经过点，那么的值等于________________．【答案】12【解析】【分析】首先过点C作CE⊥OA于点E，利用菱形的性质得出OC=OA=5，由此结合求出CE，进一步利用勾股定理得出OE，最后得出点C坐标，从而即可得出答案.【详解】如图，过点C作CE⊥OA于点E，∵菱形的边在轴上，点A坐标为(5，0)，∴OA=OC=5，∵，∴，∴CE=4，∴OE=，∴点C坐标为(3，4)，∵反比例函数经过点C，∴，故答案为：12.【点睛】此题主要考查了菱形的性质与勾股定理和三角函数及反比例函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.12.如图，点，，在上，四边形是平行四边形，于点，交于点，那么__________度．【答案】15【解析】【分析】根据平行四边形的性质和OC=OA得出OA=AB，根据垂径定理求出OA=2AE，求出∠AOD度数，即可求出答案．【详解】∵四边形OABC是平行四边形，OC=OA，∴OA=AB，∵OD⊥AB，OD过O，∴AE=BE，，即OA=2AE，∴∠AOD=30°，∴和的度数是30°∴∠BAD=15°，故答案为：15．【点睛】此题主要考查了垂径定理、圆周角定义、平行四边形的性质和判定，能求出∠AOD=30°是解此题的关键．13.如图，四边形是平行四边形，经过点，，的与交于点，连接，假设，那么______°．【答案】36°【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到∠DCB=〔180°-∠D〕=108°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=72°，由平行线的性质即可得到结论．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形,∠D=72°∴∠DCB=(180°−∠D)=108°∵四边形AECD是圆内接四边形∴∠AEB=∠D=72∘,∠DAE=180∘−∠DCB=72°∴∠BAE=180°-72°-72°=36°故答案为：36°.【点睛】此题主要考察平行四边形的性质，解题关键是根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D.14.如图，，，，为上的点，，，那么圆心到弦的距离为________．【答案】【解析】【分析】将△DAE绕点A顺时针旋转，使得点E与点B重合，得到△，过点A作AF⊥BC，垂足为F，可得，再通过证明AF是的中位线即可求出AF的长度．【详解】将△DAE绕点A顺时针旋转，使得点E与点B重合，得到△，过点A作AF⊥BC，垂足为F，∵是直径∵A是的中点∴AF是的中位线故答案为：．【点睛】此题考查了圆和三角形的问题，掌握直径所对的圆周角是90°、旋转的性质、中位线定理是解题的关键．15.如图，在平面直角坐标系中，函数和，点为轴正半轴上一点，为轴上一点，过作轴的垂线分别交，的图象于，两点，连接，，那么的面积为_________．【答案】2【解析】【分析】根据题意设点，那么，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】由题意得，设点，那么∴故答案为：2．【点睛】此题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质、三角形面积公式是解题的关键．16.如图，抛物线与轴交于两点，对称轴与轴交于点，点，点，点是平面内一动点，且满足是线段的中点，连结．那么线段的最大值是________________．【答案】【解析】【分析】首先通过解方程得出点A的坐标，然后进一步根据抛物线性质得出点C为AB的中点，结合题意，利用勾股定理求出AQ，然后根据题意得出点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为(，0)，圆Q的半径为2，然后延长AQ较圆Q于点F，得出此时AF最大，再连接AP，利用三角形中位线性质进一步求解即可.【详解】解方程可得，，那么：点A坐标为(3，0)，点B坐标为(5，0)，∵抛物线的对称轴与轴交于点C，∴点C为AB的中点，设DE的中点为Q,那么Q点的坐标为(，0)，∴根据勾股定理可得：AQ=，∵∠DPE=90°，∴点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为(，0)，圆Q的半径为2，如图，延长AQ较圆Q于点F，此时AF最大，最大值为，再连接AP，∵点M是线段PB中点，∴CM为△ABP的中位线，∴CM=AP，∴CM的最大值为：，故答案为：.【点睛】此题主要考查了解一元二次方程与抛物线的性质及圆的根本性质和三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.三、解答题〔此题共68分〕17.计算：．【答案】2【解析】【分析】直接利用负指数幂的性质、绝对值的意义、零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【详解】解：原式，．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l外一点P作直线l的平行线〞．小明的作法如下：①在直线l上取一点A，以点A为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B；②分别以P，B为圆心，以AP长为半径作弧，两弧相交于点Q〔与点A不重合〕；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小明的作图过程，〔1〕使用直尺和圆规，补全图形；〔保存作图痕迹〕〔2〕完成下面的证明．证明：∵AB＝AP＝＝．∴四边形ABQP是菱形〔〕〔填推理的依据〕．∴PQ∥l．【答案】〔1〕见解析；〔2〕PQ，BQ，四边相等的四边形是菱形．【解析】【分析】〔1〕根据要求作出图形即可．〔2〕根据四边相等的四边形是菱形即可判断．【详解】解：〔1〕如下图．〔2〕∵AB＝AP＝PQ＝BQ，∴四边形ABQP是菱形〔四边相等的四边形是菱形〕．∴PQ∥l．故答案为PQ，BQ，四边相等的四边形是菱形．【点睛】此题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握根本知识．19.解分式方程：【答案】【解析】【分析】首先通过去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解得出的值，最后进一步经检验得出答案即可.【详解】，两边同时乘以可得：，去括号可得：，解得：，经检验，当时，，∴原方程的解为：.【点睛】此题主要考查了分式方程的求解，熟练掌握相关方法是解题关键.20.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)假设方程的两个根都是有理数，请选择一个适宜的，并求出此方程的根．【答案】(1)且；(2)当时，，．【解析】【分析】(1)根据根的判别式进行求解即可；(2)因为方程的两个根都是有理数．所以根的判别式为有理数，且不为零，可取根的判别式为1，求出为0，然后代入解方程即可．【详解】(1)由题意可得，，解得，又，∴，∴的取值范围：且；(2)∵方程两个根都是有理数，∴为有理数且不为0，即为有理数且不为0，即，，∴当时，原方程化为，解得，．【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握运用根的判别式是解题的关键．21.如图，菱形中，分别为上的点，且，连接并延长，与的延长线交于点，连接．〔1〕求证：四边形是平行四边形；〔2〕连接，假设，，求的长．【答案】〔1〕见详解；〔2〕【解析】【分析】〔1〕先根据等角对等边推出GB=FB，再根据AE=AF，AB=AD推出FB=ED，进而得出GB=ED，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即得；〔2〕连接AG，过A作AM⊥BC，先根据得出，再在中根据直特殊角的三角函数值求出和AM的长，最后利用勾股定理即可求出AG的长．【详解】〔1〕∵在菱形中，AD∥BC，AB=AD，∴FB=ED，∠G=∠AEF，∠AEF=∠AFE∵∠AFE=∠GFB∴∠G=∠AEF=∠GFB∴GB=FB∴ED=GB∵AD∥BC即ED∥GB∴四边形是平行四边形〔2〕连接AG，过A作AM⊥BC∵四边形是平行四边形，，∴，∴∴∴∴在中，∴，∴∴在中，【点睛】此题考查了特殊角三角函数、勾股定理、平行四边形的判定及性质等，解题关键是熟知一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，．22.在平面直角坐标系xOy中，函数的图象G经过点，直线与y轴交于点B，与图象G交于点C.〔1〕求m的值.〔2〕横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A，C之间的局部与线段BA，BC围成的区域〔不含边界〕为W.①当直线l过点时，直接写出区域W内的整点个数.②假设区域W内的整点不少于4个，结合函数图象，求k的取值范围.【答案】〔1〕m=6；〔2〕①1个；②k>4.【解析】【分析】〔1〕把点A坐标代入，求出m的值即可；〔2〕①把点〔2，0〕代入y=kx-1，可求出直线l解析式，联立反比例函数解析式可求出C点坐标，画出图象，根据整点的定义即可得答案；②由直线l解析式可得B点坐标为〔0，-1〕，利用待定系数法可得直线AB的解析式，可得B点坐标为〔0，-1〕，当点C在点A下方时，可得整点最多有3个，不符合题意，当点C在点A上方时，根据直线AC经过整点〔1，3〕时有3个整点，把〔1，3〕代入y=kx-1，可求出k的值，整点不少于4个即可得k的取值范围.【详解】〔1〕∵函数的图象G经过点，∴2=，解得：m=6〔2〕①如图，∵直线l经过〔2，0〕，∴2k-1=0，解得：k=，∴直线l的解析式为y=x-1，∴点〔4，1〕在直线l上，∴，解得：，或〔舍去〕，∴点C坐标为〔，〕，∵直线l解析式为y=kx-1，与y轴交于点B，∴点B坐标为〔0，-1〕，设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A〔3，2〕，B〔0，-1〕，∴，解得：,∴直线AB的解析式为y=x-1，∴点〔2，1〕在直线AB上，∵4<<5，1<<2，∴区域W内的整点个数只有〔3，1〕，共1个.②当点C在点A下方时，如图，当y=1时，，解得：x=6，∴点C坐标为〔6，1〕，∵y=(x>0)的函数值y随x的增大而减小，∴x>6时，没有整点，∴最多有〔3，1〕，〔4，1〕，〔5，1〕三个整点，不符合题意，当点C在点A上方时，如图，当x=2时，反比例函数y==3，一次函数y=2-1=1，∴当x=2时有一个整点〔2，2〕，∵整点不少于4个，∴x=1时，整点数应不少于3个，∴整点为〔1，1〕，〔1，2〕，〔1，3〕，当直线AC经过〔1，3〕时，k-1=3，解得：k=4，∴k>4时，区域W内的整点不少于4个.【点睛】此题考查反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数的性质并利用数形结合的思想是解题关键.23.某同学所在年级的500名学生参加志愿者活动，现有以下5个志愿效劳工程：A，纪念馆志讲解员．B．书香社区图书整理C．学编中国结及义卖．D，家风讲解员E．校内志愿效劳，要求：每位学生都从中选择一个工程参加，为了了解同学们选择这个5个工程的情况，该同学随机对年级中的40名同学选择的志愿效劳工程进行了调查，过程如下：收集数据：设计调查问卷，收集到如下数据〔志愿效劳工程的编号，用字母代号表示〕B，E，B，A，E，C，C，C，B，B，A，C，E，D，B，A，B，E，C，A，D，D，B，B，C，C，A，E，BC，B，D，C，A，C，C，A，C，E，〔1〕整理、描述诗句：划记、整理、描述样本数据，绘制统计图如下，请补全统计表和统计图选择各志愿效劳工程的人数统计表志愿效劳工程划记人数A．纪念馆志愿讲解员正8B．书香社区图书整理C．学编中国结及义卖正正12D．家风讲解员E．校内志愿效劳正一6合计4040分析数据、推断结论〔2〕抽样的40个样本数据〔志愿效劳工程的编号〕的众数是〔填A﹣E的字母代号〕〔3〕请你任选A﹣E中的两个志愿效劳工程，根据该同学的样本数据估计全年级大约有多少名同学选择这两个志愿效劳工程．【答案】〔1〕B占25%，D占10%．〔2〕C〔3〕A：500×20%＝100〔人〕．B：500×25%＝125〔人〕．C：500×30%＝150〔人〕．D：500×10%＝50〔人〕．E：500×15%＝75〔人〕．【解析】【分析】依据收集的数据，即可得到补全统计表和统计图；依据抽样的40个样本数据〔志愿效劳工程的编号〕中，C出现的次数最多，可得众数是C．依据A-E中的各志愿效劳工程在样本中所占的百分比，即可得到全年级大约有多少名同学选择某两个志愿效劳工程．【详解】整理、描述数据：〔1〕由题可得，A项有8人，B项有10人，D项有4人．选择各志愿效劳工程的人数比例统计图中，B占10÷40＝25%，D占4÷40＝10%．分析数据、推断结论：〔2〕抽样的40个样本数据〔志愿效劳工程的编号〕中，C出现的次数最多，故众数是C．故答案为C．〔3〕〔写出任意两个即可〕．A：500×20%＝100〔人〕．B：500×25%＝125〔人〕．C：500×30%＝150〔人〕．D：500×10%＝50〔人〕．E：500×15%＝75〔人〕．【点睛】此题考查扇形统计图、统计表、用样本估计总体、众数的定义的运用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．24.如图1，在等腰中，，点，分别为，的中点，连接．在线段上任取一点，连接，．假设，，设〔当点与点重合时，的值为0〕，．小明根据学习函数的经验，对函数随自变量的变换而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：〔1〕通过取点、画图、计算，得到了与的几组值，如下表：0123456〔说明：补全表格时，相关数值保存一位小数〕〔参考数据：，，〕〔2〕建立平面直角坐标系〔图2〕，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；〔3〕函数的最小值为〔保存一位小数〕，此时点在图1中的什么位置．【答案】〔1〕，补全表格见解析〔2〕作图见解析〔3〕，点P在图中的位置为点P是AD与CE的交点【解析】【分析】〔1〕作EH⊥AD于H，EH为△ABD的中位线，然后利用勾股定理求出PB、PE的长即可；〔2〕根据描点法画出图象即可；〔3〕根据函数图象求出函数的最小值，在判断点P的位置即可．【详解】〔1〕如图，作EH⊥AD于H∵AB=AC，点D、E分别为BC、AB的中点∴EH为△ABD的中位线∵BC=4，AD=6∴BD=2，DH=3∴EH=1∴当PD=1时，∴；补全表格如下012345659〔2〕如下图；〔3〕由图可知，当x=2时，函数y有最小值为，此时点P在图中的位置为点P是AD与CE的交点．【点睛】此题考查了函数图象的问题，掌握勾股定理、三角形中位线的性质是解题的关键．25.如图，在中，于点，过点作与边相切于点，交于点为的直径．〔1〕求证：；〔2〕假设，求的长．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕【解析】【分析】〔1〕根据圆的切线的性质得出CE⊥AB，然后进一步利用AB=AC和AD⊥BC证明得BD=DC，从而根据三角形中位线性质得知OD∥EB，由此即可证明结论；〔2〕连接EF，首先根据题意得出∠BEF+∠FEC=∠FEC+∠ECF=90°，由此求出∠ECF=∠BEF，再者利用三角函数得出，从而求出EF，再利用勾股定理求得BE，最后利用平行线分线段成比例的性质进一步求解即可.【详解】〔1〕∵与边AB相切于点E，且CE为的直径，∴CE⊥AB，OE=OC，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，又∵OE=OC，∴OD是△BCE的中位线，∴OD∥EB，∴OD⊥CE；〔2〕如图，连接EF，∵CE为的直径，且点F在上，∴∠EFC=90°，∵CE⊥AB，∴∠BEC=90°，∴∠BEF+∠FEC=∠FEC+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠BEF，∴tan∠BEF=tan∠ECF，∴，又∵DF=1，BD=DC=3，∴BF=2，FC=4，∴，∴EF=，∵∠EFC=90°，∴∠BFE=90°，由勾股定理可得：BE=，∵AD⊥BC且∠EFC=90°，∴EF∥AD，∴，∴AE=.【点睛】此题主要考查了圆的切线性质与正切三角函数及平行线分线段成比例的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.26.在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，且点的横坐标为．〔1〕请用的代数式表示；〔2〕点在直线上，点的横坐标为，点的坐标为．①假设抛物线过点，求该抛物线的解析式；②假设抛物线与线段恰有一个交点，直接写出的取值范围．【答案】〔1〕〔2〕〔3〕或【解析】【分析】〔1〕把x=-2代入直线l的解析式求得，再把代入抛物线的解析式即可得；〔2〕①把x=-1代入直线l的解析式求得，再根据待定系数法求出抛物线解析式即可；②先根据题意求得或，再分情况：1〕当抛物线顶点在线段BC上时，2〕当抛物线与线段BC有一个交点时，分别求解即可．【详解】〔1〕把x=-2代入直线l的解析式得∴把代入抛物线的解析式得解得；〔2〕①把x=-1代入直线l的解析式得∴把代入抛物线的解析式得解得∴∴；②∵∴对称轴x=b开口向下，顶点为当抛物线M与线段BC恰有一个交点时，交点纵坐标为5，此时整理得∵∴解得或当抛物线顶点在线段BC上时，如图或当时，抛物线与线段BC恰有一个交点解得b=1或b=-5，此时顶点为或当抛物线与线段BC有一个交点时，如图或如上左图中，此时交点为应在点右侧即解得，或〔舍去〕与最初取值矛盾如上右图中，此时交点为，应在点的右侧即解得或故抛物线与线段BC恰有一个交点时，或．【点睛】此题考查了二次函数综合问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．27.如图，在菱形中，，点为边上一动点(与点不重合)，连接将的两边所在射线以点为中心，顺时针旋转分别交射线于点．〔1〕依题意补全图形；〔2〕假设，求的大小(用含的式子表示)；〔3〕用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．【答案】〔1〕详情见解析；〔2〕∠AFC=α+30°；〔3〕AF+AE=CG，证明见解析【解析】【分析】〔1〕按照要求，利用旋转的性质得出对应点的位置，从而得出答案即可；〔2〕利用旋转性质得出∠ECF=∠ACG=120°，由此进一步求出∠ACE=∠FCG=α，然后结合菱形的选择可知∠DAC=∠BAC=30°，据此进一步求出答案即可；〔3〕作CH⊥AG于点H，首先证明△ACE与△GCF全等，由此进一步得出HG=CG×cos∠CGH，据此进一步求得AG=CG，进而得出答案即可.【详解】〔1〕补全的图形如下图：〔2〕由旋转性质可得：∠ECF=∠ACG=120°，∴∠ACE+∠ACF=∠ACF+∠FCG，∴∠ACE=∠FCG=α，∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，∴∠DAC=∠BAC=30°，∴∠AGC=30°，∴∠AFC=α+30°；〔3〕线段与之间的数量关系为：AF+AE=CG，证明如下：如图，作CH⊥AG于点H，由〔2〕可得：∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°，∴CA=CG，∴HG=AG，在△ACE与△GCF中，∵∠ACE=∠GCF，CA=CG，∠CAE=∠CGF，∴△ACE≅△GCF〔ASA〕，∴AE=FG，在Rt△HCG中，HG=CG×cos∠CGH=CG，∴AG=CG，即：AF+AE=AF+FG=AG=CG，∴线段与之间的数量关系为：AF+