考研数学二模拟408

考研数学二模拟408一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.

设当x→0时，(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比(ex2-1)高（江南博哥）阶的无穷小，则正整数n等于A.1．B.2．C.3．D.4．正确答案：B[解析]由题意可知

对式(1)使用等价无穷小替换可得

由上式可知n+1＜4(否则答案不可能是0)，解得n＜3.

对式(2)使用等价无穷小替换可得

由上式可知n+1＞2(否则答案不可能是0)，解得n＞1.

综上所述，有n＞1且n＜3，而题中说n为正整数，所以有n=2．

2.

设函数f(u)可微，，则

A．0．

B．

C．

D．正确答案：A[解析]

3.

设函数f(x)在x=0处连续，且，则

A．f(0)=1且存在．

B．f(0)=0且存在．

C．f(0)=1且存在．

D．f(0)=0且存在．正确答案：D[解析]由于．由于f(x)在x=0处连续，所以

由于，所以f(0)=0．

由于f(0)=0，所以可以改写为．又因为无论x是从左侧趋于0的还是从右侧趋于0的，都有cosx＜1，1-cosx＞0，所以说明存在且为1．

4.

二次积分可以写成

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]由题意，积分区域在直角坐标系表示为

，

即是由与y轴围成的图形(如下图)．它在极坐标系表示为

5.

微分方程y"-y=2x+ex的特解形式可设为A.y*=ax+bex．B.y*=x(a+bex)．C.y*=x(a+bex)+c.D.y*=x(ax+bex+c)．正确答案：C[解析]原方程对应的齐次方程的特征方程为r2-1=0，其根为r=±1．对于方程y"-y=2x，由于0不是特征方程的根，故其特解形式为．对于方程y"-y=ex，由于1是特征方程的单根，故其特解形式为．于是根据叠加原理，原方程的特解形式为

6.

若函数f(x)满足关系式xf"(x)+2x[f'(x)]2=1-ex，且f'(0)=0，f"(x)在x=0处连续，则A.(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．B.f(0)是f(x)的极小值．C.f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点．D.f(0)是f(x)的极大值．正确答案：D[解析]由f'(0)=0知x=0是f(x)的驻点．为求f"(0)，把方程改写为

令x→0，得．故f(0)为f(x)的极大值，

7.

设ξ1，ξ2，ξ3是线性方程组Ax=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示为A.ξ1+ξ2，ξ2+ξ3，ξ1+ξ3.B.ξ1-ξ2，ξ2-ξ3，ξ3-ξ1．C.ξ1，ξ2，ξ3的一个等价的向量组．D.ξ1，ξ2，ξ3的一个等秩的向量组．正确答案：A[解析]设矩阵A有n列，其秩为r，则线性方程组Ax=0的基础解析中的向量必须满足三个条件：是解、线性无关、个数为n-r．首先排除C、D，因为第一个条件不一定满足．A、B均满足第一个条件和第三个条件，而B不满足第二个条件，故本题选择A选项．

8.

设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且．若Aα1=α1，Aα2=α2，Aα3=0，且α1，α2线性无关，则P=A.(α1，α2，α1+α3).B.(α2，α3，α1).C.(α1，α2，3α3)．D.(α1+α2，α2+α3，α1+α3).正确答案：C[解析]题中说，说明矩阵A的三个特征值是1，1，0，且P的第一、二列是特征值1所对应的特征向量，P的第三列是特征值0所对应的特征向量．

由于Aα1=α1，Aα2=α2，Aα3=0，所以说明α1，α2是特征值1对应的特征向量，α3是特征值0对应的特征向量．

由于α3是特征值0对应的特征向量，所以3α3也是特征值0对应的特征向量，综上，α1，α2是特征值1对应的特征向量，3α3是特征值0对应的特征向量，故本题选择C选项．

二、填空题1.

正确答案：e2[解析]

2.

设函数z=(x+yx)y，则正确答案：2ln2+1[解析]两边取对数，得

lnz=yln(x+yx)．

两边对y求导，得

从而

3.

正确答案：1-ln2[解析]．

4.

数列的最大项为______．正确答案：[解析]考察函数(x≥1)，求f(x)在[1，+∞)上的最大值，由

可知f(x)在[1，e]上单调递增，在[e，+∞)上单调递减，在x=e处取得最大值，它的相邻两点是x=2和x=3．

由于，因此最大项是．

5.

交换积分次序：正确答案：[解析]由题意，积分区域可表示为

即是由r=2cosθ与围成的图形(如下图)．作以O为圆心且穿过D的同心圆r=C，当时，r=C从r=2cosθ(θ＜0)，即进入D，从穿出D；当时，r=C从r=2cosθ(θ＜0)，即进入D，从r=2cosθ(θ＞0)，即穿出D．故原二次积分交换积分次序后为

6.

行列式正确答案：-12[解析]由范德蒙行列式直接可得

．

三、解答题共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.

求极限正确答案：[解]

2.

设函数y=y(x)由所确定，其中f(t)三阶可导，且f"(t)≠0．求正确答案：[解]

3.

计算二重积分，其中D是由直线x=0，x=2，y=2以及曲线所围成的平面区域．正确答案：[解]如下图所示，记，则

在求时以用华里士公式

4.

设函数f(x)连续，且求φ'(x)并讨论φ'(x)的连续性．正确答案：[解]当x≠0时，

当x=0时，

由于f(x)在x=0连续及，故

因此，

当x≠0时，

当x=0时，

故

显然，当x≠0时，φ'(x)连续．

又由于

故φ'(x)在x=0处也连续，从而φ'(x)处处连续．

5.

设函数f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，证明：

正确答案：[证]连续利用分部积分，有

移项后得

6.

设4x2+4y2+3z2=32，证明2xy+3yz≤16.正确答案：[证]记f(x，y，z)=2xy+3yz，引入辅助函数

L(x，y，z，λ)=f(x，y，z)+λ(4x2+4y2+3z2-32).

列方程组

解之得可能的极值点(1，2，2)，(-1，2，-2)，(1，-2，2)，(-1，-2，-2)，，．

由f(1，2，2)=16，f(-1，2，-2)=-16，f(1，-2，2)=-16，f(-1，-2，-2)=16，可知，f(x，y，z)在条件4x2+4y2+3z2=32下有最大值16，故

2xy+3yz≤16.

7.

已知函数y=y(x)(0≤x≤1)满足微分方程yy"=(y')2，且y(0)=1．已知曲线y=y(x)与直线x=0，x=1，y=0所围成的平面区域D的面积为e-1．求D绕y轴旋转所得的旋转体体积．正确答案：[解]令y'=p(y)，则，于是

分离变量得

两端积分得ln|p|=ln|y|+ln|C1|，

从而p=y'=C1y，

即

分离变量得

两端积分得ln|y|=C1x+ln|C2|，

即y=C2ec1x

由y(0)=1得C2=1，故y=eC1x．

由题意，，解得C1=1，因此

y=ex．

故所求体积为

所求体积的解法是基于下面的命题：平面图形0≤a≤x≤b，0≤y≤f(x)绕y轴旋转所得旋转体的体积为．该体积也可用如下方法求：

设线性方程组

8.

试讨论当a，b为何值时，线性方程组无解，以及有无穷多解；正确答案：[解]

当a=0时，矩阵

在a=0的前提下，若b=2，矩阵变为

由于r(A)=r(A，b)＜n，所以当a=0且b=2时，方程组有无穷多解，

在a=0的前提下，若b≠2，矩阵变为而

由于r(A)=2，r(A，b)=3，所以当a=0且b≠2时，该方程组无解．

当a≠0时，矩阵

由于r(A)=2，r(A，b)=3，所以当a≠0时，该方程组无解．

9.

当线性方程组有无穷多解时，求出其通解．正确答案：[解]当a=0且b=2时，易求得方程组的通解为，其中，c1，c2，c3为任意