考研数学二模拟389

考研数学二模拟389一、选择题每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.

设是正整数，则A.F(x)是奇函数．B.F(x)在(-∞，+∞)上单调递增．C.F(x)在(-∞，+∞)上单调递减．D.F(x)是以2π为周期的函数．正确答案：D[解析一]已知f(x)在[-a，s]连续为奇函数，则在[-a，a]为偶函数．

于是

为偶函数．

F'(x)=sin2n+1x在(-∞，+∞)变号，因而F(x)在(-∞，+∞)不单调．

选项A、B、C被排除，选D．

[解析二]已知：f(x)在(-∞，+∞)连续，以T为周期，

则以T为周期

这里f(x)=sin2n+1x连续，以2π为周期，

因此以2π为周期．

2.

由下列四个条件

①f(x)=(x-a)φ(x)，其中φ(x)在x=a连续．

②f(x)=|x-a|φ(x)，其中φ(x)在x=a连续且φ(a)≠0.

③存在δ＞0，使对任意x∈(a-δ，a+δ)，有|f(x)|≤L|x-a|λ，其中λ＞1为常数．

④存在．

能分别推出f'(a)存在的条件是A.①，④．B.①，③．C.①，③，④．D.①，②，③，④．正确答案：B[解析]由①可推出f'(a)存在，因为由①有：

故f'(a)=φ(a)．

由②不能推出f'(a)存在，由导数定义可得：

f'+(a)=φ(a)，f'-(a)=-φ(a)．

因为φ(a)≠0，所以有f'+(a)≠f'-(a)，故f'(a)不存在．

由③可推出f'(a)存在，因为在不等式中取x=a，知f(a)=0，故当λ＞1时，有

于是即f'(a)=0.

由④不能推出f'(a)存在，例如：则f(x)在x=0处不连续，因此f(x)在x=0不可导，

但是存在．故应选B．

3.

把当x→0时的无穷小量α=4x2+5x3-x5，β=ln(1+x3)-ln(1-x3)，排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A.γ，α，β．B.α，β，γ．C.α，γ，β．D.γ，β，α．正确答案：B[解析]我们分别确定当x→0时α，β，γ分别是x的几阶无穷小．当x→0时

因此α，β，γ当x→0时分别2，3，4阶无穷小，正确的排列次序是B．

选B．

①x→a时α，β分别是x-a的n阶与m阶无穷小，n＜m，则α+β是x-a的n阶无穷小，若n=m，则α+β是x-a的n阶或高于n阶的无穷小，如x→0时，x，sinx均是x的一阶无穷小，但x-sinx是x的3阶无穷小．

②ln(1+x3)与ln(1-x3)均是x的3阶无穷小，我们不能立即看出

β=ln(1+x3)-ln(1-x3)

是x的几阶无穷小．除了上述解法外，我们也可用泰勒公式来确定β的阶：

β=[1+x3+o(x3)]-[1-x3+o(x3)]=2x3+o(x3)～2x3即β是x的3阶无穷小．

③x→0时

④当然我们也可把无穷小α，β，γ两两进行比较，看谁的阶高．如

若判断出β比α高阶后，去比较α与γ：

比α高阶．此时还须比较γ与β．

因此解这类题目，还是分别确定无穷小α，β，γ的阶数更方便些．

4.

下列函数中在区间[-2，3]上不存在原函数的是

A．

B．f(x)=max{|x|，1}．

C．

D．正确答案：C[解析一]我们知道连续函数一定存在原函数，若这四个函数中有三个是连续的，则剩下的一个就被选中．

A项存在原函数．显然，x≠0时f(x)连续，又因

在x=0连续．因此f(x)在[-2，3]上连续，故存在原函数．

B项存在原函数．因为

在[-2，3]连续，故存在原函数．

D项存在原函数．因为g(x)在[-2，3]有界，除x=1外连续

在[-2，3]可积在[-2，3]连续

在原函数．因此选C．

[解析二]直接证明C项不原函数．

显然，x≠0时f(x)连续．由

是f(x)的第一类间断点在[-2，3]不原函数．因此应选C．

f(x)在[a，b]连续在[a，b]一定原函数．若f(x)在[a，b]有不连续点，f(x)在[a，b]不一定原函数．但是，若c∈(a，b)，f(x)在[a，b]除x=c外连续，x=c是f(x)的第一类间断点，则f(x)在[a，b]不原函数．

5.

设α＞0是常数，则f(x)在(0，π)A.无零点．B.只有一个零点．C.恰有两个零点．D.零点的个数随a取值不同而变化．正确答案：B[解析]显然，f(x)在(0，π)连续．先考察

及

由连续函数零点定理在(0，π)存在零点．

再求

在(0，π)单调下降．因此f(x)在(0，π)只有一个零点．选B．

6.

点(0，0)是f(x，y)=x3-4x2+2xy-y2在区域D={(x，y)|-2≤x≤4，-1≤y≤1}内的唯一驻点A.但不是极值点．B.且是极小值点．C.且是极大值点，但不是D的最大值点．D.且是极大值点，也是D的最大值点．正确答案：C[解析]先求驻点，解方程组

得(x，y)=(0，0)，(2，2)，点(2，2)不属于D，因而(0，0)是f(x，y)在D内唯一驻点．

再看(0，0)是否极值点，求

在(0，0)处

AC-B2＞0，A＜0

是极大值点，

f(4，1)=43-4·42+2·4·1-12=7＞f(0，0)=0

不是f(x，y)在区域D的最大值点．

因此选C

①此例说明多元函数与一元函数的一个区别：对于连续的多元函数的唯一的极值点不一定是最值点．

②在解多元函数应用型最值问题时，求得驻点后不必判断该驻点是否极值点．

7.

设

则不能相似于对角矩阵的是A.A．B.B．C.C．D.D．正确答案：D[解析]C是对称矩阵必和对角矩阵相似．

矩阵A的特征值是1，2，3，有3个不同的特征值必和对角矩阵相似．

矩阵B的特征值是3，3，-1，特征值有重根，但λ=3有2个线性无关的特征向量，故和对角矩阵相似．

矩阵D的特征值是2，0，0，特征值有重根，但λ=0时(0E-D)x=0只有一个线性无关的解，

亦即λ=0只有一个线性无关的特征向量，故D不能相似对角化．

8.

已知多项式，则其x4的系数和常数项依次为A.1，40.B.0，40.C.0，-40.D.1，-40.正确答案：C[解析]由于行列式是不同行不同列元素乘积的代数和，现在第四行元素中没有x项，因此多项式f(x)中不存在x4项，其系数必为0.

而常数项是由不含x的项所得，故令x=0，有

二、填空题1.

数列极限正确答案：[解析]求转化为求

2.

函数的麦克劳林公式中x4项的系数是______．正确答案：-2[解析一]先作分解与恒等变形将y化简，则有

由得

y=1+(2x+2x2)[1-x3+o(x3)]=1+2x+2x2-2x4+o(x4)

于是x4项的系数是-2.

[解析二]利用的泰勒公式，将y按变量x的正整数幂展开到含x4项为此，则有

于是x4项的系数是-2.

[解析三]的麦克劳林公式中x4项的系数等同于的麦克劳林公式中x3项的系数．可利用求乘积的n阶导数公式，求出g(3)(0)，然后求得x3项系数．

因此g(x)的麦克劳林公式中x3项即y的麦克劳林公式中x4项的系数是-2.

3.

设质点P在直角坐标系oxy的y轴上作匀速运动，速度为c，定点A在x轴上x=a＞0处，记AP之长为l，则直线段AP的角速度与l2之积为______．正确答案：ca．[解析]令P的坐标为(0，y)，直线段AP与x轴夹角为θ，则

两边对时间t求导得

因此

4.

设f(x)为连续函数，则F'(3)=______．正确答案：6f(3)[解析]是变限积分，被积函数含有参变量t且还是变限积分，不能直接用变限积分函数求导公式，要设法转化为纯变限积分函数的求导．

分析一

(交换积分顺序)

设t＞1.F(t)是某区域D上xf(x)的二重积分的一个累次积分：

由累次积分限知，D：1≤y≤t，y≤x≤t(t＞1为常数)，

如图所示，现改为先y后x的积分顺序

分析二

(分部积分法)

5.

微分方程xdy-ydx=y2eydy的通解是______．正确答案：x=Cy-yey[解析]对x是一次的，改写成

以y为自变量，这是一阶线性的，两边乘，得

积分得

通解为x=Cy-yey．

6.

设α=(1，0，1)T，β=(0，1，-1)T，，A=P-1αβTP，则A2017=______．正确答案：[解析]

又B2=(αβT)(αβT)=α(βTα)βT=-αβT=-B

递推地，B2017=(-1)2016B=B

故A2017=(P-1BP)2017=PQB2017P=P-1BP

注意

是初等矩阵，关于初等矩阵注意左乘右乘，以及其逆矩阵的公式．

三、解答题15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．设1.

求f(x)的表达式．正确答案：[解]由定积分的几何意义知

用分段积分法求f(x)表达式中的另一积分．

当0＜x＜1时

当x≥1时

于是

2.

求f(x)在(0，+∞)的最小值点．正确答案：[解]为求f(x)在(0，+∞)上的最小值点，先求f'(x)．

在在在(0，+∞)的最小值点是

3.

f(x)在(0，+∞)有无最大值?为什么?正确答案：[解]当x＞1时于是

所以f(x)在(0，+∞)不存在最大值．

设f(x)在(-∞，+∞)连续，且求证：4.

F(x)在(-∞，+∞)有连续的导数；正确答案：[证明]改写

由变限积分的性质，可导性及连续性运算法则可知，当x≠0则

连续．又

即F(x)在x=0连续．

在x=0连续．

因此，F'(x)在(-∞，+∞)连续．

5.

若f(x)在(-∞，+∞)单调递增，则F(x)在(-∞，0]单调递增，在[0，+∞)单调递减．正确答案：[证明]由题(Ⅰ)，x≠0时

其中

于是

F'(x)＜0(x＞0)，F'(x)＞0(x＜0)，F'(0)=0.

因此，F(x)在[解析]证明F'(x)在x=0连续时用了如下结论：设F(x)在x=x0连续，在x=x0空心邻域可导且

则F'(x0)=A(F'(x)在x=x0也就连续了)．

因此我们在该题中先证F(x)在x=0连续，又求得

从而F'(0)=0，F'(x)在x=0连续．

当然，我们也可以先求

然后再求得

同样证得F'(x)在x=0连续．

设曲线(正整数n≥1)在第一象限与坐标轴围成图形的面积为I(n)，证明：6.

正确答案：[证明]曲线表为，按面积公式得

令则x=t2n，于是

7.

正确答案：[证明]对上式中的I(n)表达式，令t=sinθ，则有

由连续函数定积分比较性质可得

设f(x)是连续函数8.

求初值问题的解y=φ(x)；正确答案：[解]特征方程λ2+4=0的特征根是的通解是

y=C1cos2x+C2sin2x．

由

由

因此该初值问题的解

9.

求证是初值问题的解；正确答案：[解]将代入y(x)表达式得

下证y(x)满足方程与初值，就要计算y'(x)与y"(x)、y(x)是由变限积分定义的函数，由于被积函数含参变量x，故先作变量替换

虽然其中被积函数还含参变量x，但含于正弦函数中，可将它展开后，含参变量x的函数可提出积分号外

现可用变限积分求导法得

将①式与③式两式相加得

y"+4y=(sin22x+cos22x)f(x)=f(x)

在①，②式中令x=0，得

y(0)=0，y'(0)=0.

10.

求y"+4y=f(x)的通解．正确答案：[解]由二阶线性非齐次方程通解的结构，并由题(Ⅰ)与题(Ⅱ)知，y"+4y=f(x)的通解是

证明下列结论：11.

设f(x，y)定义在全平面上，且则f(x，y)恒为常数．正确答案：[证明]即证转化为一元函数的相应问题．由于

因此即f(x，y)恒为常数．

12.

设u(x，y)，v(x，y)定义在全平面上，且满足

则u(x，y)，v(x，y)恒为常数．正确答案：[证明]由所给条件，我们将证明

由

将代入上式

作为的方程组，其系数行列式

若若为常数．

同理可证v(x，y)为常数．

13.

计算二重积分

其中积分区域D={(x，y)|x2+y2≤1}．正确答案：[解]被积函数分块表示：

要用分块积分法，将D分为两块D1与D2：

(因为点至原点的距离所以圆域全在区域D内)

D2=D\D1，于是D=D1∪D2，

D2上积分不易计算，将它转化为求D与D1上积分之差，

代入上式得

其中

D1是圆域：作平移变换

则

再作极坐标变换：

(D关于x，y轴均对称，而x与y都是奇函数，故)

因此

14.

求证：(n＞1为自然数)．正确答案：[证明]把证明数列不等式转化为证明函数不等式，可以用微分学的方法．

令则

为了确定f'(x)的符号，考察

于是

因此f(n)＞0(n＞1)，即

15.

已知α1，α2，β1，β2均是3维向量，且α1，α2线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量γ，使得γ既可由α1，α2线性表出，又可由β1，β2线性表出．

当时，求出所有的向量γ．正确答案：[证]4个3维向量α1，α2，β1，β2必线性相关，故不全为0的k1，k2，l1，l2使