考研数学二分类模拟题92

考研数学二分类模拟题92一、填空题1.

积分中值定理的条件是______，结论是______．正确答案：f(x)在[a，b]上连续；在[a，b]内至少存在一点ξ，使．[解析]积分中值定理：

若f(x)在[a，b]上连续，则在[a，b]内至少存在一点ξ，使．

2.

设f(x)是连续函数，且，则f(x)=______．正确答案：x-1．[解析]解法1

令，则f(x)=x+2a．将f(x)=x+2a代入，得

由此可得

则f(x)=x-1．

解法2

等式两端从0到1对x积分得

，

由此可得

从而f(x)=x-1．

注意到定积是一个数，由此可衍生出有关二重积分的此类问题，也是一个数．

3.

下列两个积分的大小关系是：正确答案：＞．[解析]当x∈[-2，-1]时，e-x3＞ex3，则

4.

∫f'(x)dx=______．正确答案：f(x)+C，其中C为任意常数．[解析]∫f'(x)dx=f(x)+C(其中C为任意常数)．

5.

正确答案：．[解析]

6.

已知曲线y=f(x)过点，且其上任一点(x，y)处的切线斜率为xln(1+x2)，则f(x)=______．正确答案：．[解析]由题设可知y'=xln(1+x2)，则

又曲线y=f(x)过点，即，代入上式得．

故

7.

∫x3ex2dx=______．正确答案：．[解析]

8.

正确答案：，其中C为任意常数．[解析]本题考查积分公式：

因此

若令，则

9.

正确答案：-cotx·ln(sinx)-cotx-x+C，其中C为任意常数．[解析]直接令u=ln(sinx)，，v=-cotx，便得

其中C为任意常数．

10.

正确答案：(C为任意常数)．[解析]

其中C为任意常数．

11.

设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f'(x)=2(x-1)，x∈[0，2]，则f(7)=______．正确答案：1．[解析]当x∈[0，2]时，f(x)=∫2(x-1)dx=x2-2x+C．由f(0)=0可知C=0，即f(x)=x2-2x．又f(x)是周期为4的奇函数，故f(7)=f(-1)=-f(1)=1．

二、选择题1.

设f(x)与g(x)在(-∞，+∞)上皆可导，且f(x)＜g(x)，则必有

A．f(-x)＞g(-x)．

B．f'(x)＜g'(x)．

C．

D．正确答案：C[解析]由于f(x)和g(x)在(-∞，+∞)上皆可导，则必在(-∞，+∞)上连续，则

又f(x)＜g(x)，从而f(x0)＜g(x0)，即

选项D中上限x有可能是负数，故错误．

2.

设则有A.N＜P＜M．B.M＜P＜N．C.N＜M＜P．D.P＜M＜N．正确答案：D[解析]由被积函数的奇偶性可知

，

因此，P＜M＜N．故应选D．

3.

设在区间[a，b]上函数f(x)＞0，f'(x)＜0，f"(x)＞0．令，S2=f(b)(b-a)，，则A.S1＜S2＜S3．B.S2＜S1＜S3．C.S3＜S1＜S2．D.S2＜S3＜S1．正确答案：B[解析]由题目对函数f(x)图形性态的描述，易知f(x)在x轴上方、单调下降且是凹的，如图所示，且S1、S2和S3分别为图中所示区域的面积，显然S2＜S1＜S3．

4.

设，则F(x)A.为正常数．B.为负常数．C.恒为零．D.不为常数．正确答案：A[解析]由于函数esintsint以2π为周期，因此

5.

设，则A.I1＞I2＞1．B.1＞I1＞I2．C.I2＞I1＞1．D.1＞I2＞I1．正确答案：B[解析]因为当时，sinx＜x＜tanx，故，

这便排除了选项C和D．

又令，则，即f(x)在上单调增加，有

故

即选项B正确．

从几何上更容易直接看出当时，是过原点与点的直线)．

6.

如图所示，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]上的图形分别为直径为2的上、下半圆周．设，则下列结论正的是

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]由所给条件，f(x)为x的奇函数，故F(x)为x的偶函数，所以F(-3)=F(3)．再利用定积分的几何意义，用半圆面积表示所要计算的定积分，于是有

所以，选C．

7.

如图所示，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分等于

A.曲边梯形ABOD的面积．B.梯形ABOD的面积．C.曲边三角形ACD的面积．D.三角形ACD的面积．正确答案：C[解析]

8.

设，则I，J，K的大小关系为A.I＜J＜K．B.I＜K＜J．C.J＜I＜K．D.K＜J＜I．正确答案：B[解析]当时，，且lnx在(0，+∞)单调增，于是有，ln(sinx)＜ln(cosx)＜ln(cotx)，，选B．

虽然是两个反常积分，但本题的考查方式并不需要考生判断其敛散性，因此反常积分敛散性的判断并不是本题的考点．

9.

设(k=1，2，3)，则有A.I1＜I2＜I3．B.I3＜I2＜I1．C.I2＜I3＜I1．D.I2＜I1＜I3．正确答案：D[解析]对定积分

两两进行比较．

，注意到在(π，2π)内ex2sinx＜0，可得I2-I1＜0，即有I2＜I1．

，因为在(2π，3π)内ex2sinx＞0，所以I2＜I3．

故I3＞I1．

综上，有I2＜I1＜I3，故选D．

以上是用解析的方法得出选D的结论．其实本题也可以这样做：先画出y=ex2及y=sinx在[0，3π]上的草图，即可得到函数y=ex2sinx图形的大致形状，然后结合定积分的几何意义，即可判断出

I2＜I1＜I3．

10.

设函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，则d[∫f(x)dx]等于A.f(x)．B.f(x)dx．C.f(x)+C．D.f'(x)dx．正确答案：B[解析]d[∫f(x)dx]=[∫f(x)dx]'dx=f(x)dx．

本题主要考查不定积分的性质．

11.

若f(x)的导函数是sinx，则f(x)有一个原函数为A.1+sinx．B.1-sinx．C.1+cosx．D.1-cosx．正确答案：B[解析]由题设可知f'(x)=sinx，于是f(x)=∫f'(x)dx=-cosx+C1．

从而f(x)的原函数

F(x)=∫f(x)dx=∫(-cosx+C1)dx=-sinx+C1x+C2(其中C1，C2为任意常数)．

令C1=0，C2=1，即得f(x)的一个原函数为1-sinx．

本题主要考查原函数的概念．

三、解答题1.

计算不定积分，其中a，b是不全为0的非负数．正确答案：解

当a≠0，b≠0时，

当a=0，b≠0时，

当a≠0，b=0时，

其中C为任意常数．

2.

求正确答案：解

，其中C为任意常数．

3.

计算．正确答案：解

4.

求∫xsin2xdx．正确答案：解

原式

5.

求正确答案：解

原式

6.

求．正确答案：解法1

原式

解法2

原式

其中C为任意常数．

7.

设，且f[φ(x)]=lnx，求∫φ(x)dx．正确答案：解

因为．所以．

又.，从而．于是

，其中c为任意常数．

由，故ln(x-1)不必加绝对值．

8.

求．正确答案：解法1

原式=

解法2

原式

9.

计算不定积分．正确答案：解

原式

10.

计算∫e2x(tanx+1)2xdx．正确答案：解

原式=∫e2xsec2xdx+2∫e2xtanxdx

=e2xtanx-2∫e2xtanxdx+2∫e2xtanxdx

=e2xtanx+C(其中C为任意常数)．

11.

设，计算∫f(x)dx．正确答案：解

设lnx=t，则x=et，．

还可这样处理：(其中C为任意常数)．

12.

求正确答案：解

设x=tanu，则dx=sec2udu．

原式

13.

计算不定积分．正确答案：解法1

设x=tant，则

又∫etsintdt=-∫etd(cost)=-(etcost-∫etcostdt)=-etcost+etsint-∫etsintdt，