考研数学二分类模拟题90

考研数学二分类模拟题90一、填空题1.

曲线y=x2e-x2的渐近线方程为______．正确答案：y=0．[解析]由于，原曲线仅有一条水平渐近线y=0．

2.

曲线的渐近线方程为______．正确答案：．[解析]计算可得曲线不存在水平渐近线和铅直渐近线．

故此曲线的渐近线方程为．

3.

曲线的斜渐近线方程为______．正确答案：y=2x+1．[解析]

所以斜渐近线方程为y=2x+1．

4.

曲线的斜渐近线方程为______．正确答案：．[解析]因为

故斜渐近线方程为．

5.

曲线的水平渐近线方程为______．正确答案：．[解析]因为

故曲线的水平渐近线方程为．

6.

曲线的渐近线方程为______．正确答案：y=2x．[解析]由于函数连续，所以曲线无铅直渐近线；又因为都不存在，所以曲线无水平渐近线．考虑到

所以曲线有斜渐近线y=2x．

7.

曲线y=x2+x(x＜0)上曲率为的点的坐标是______．正确答案：(-1，0)．[解析]将y'=2x+1，y"=2代入曲率公式，得

整理后有x2+x=0，

由于x＜0，故取x=-1，从而y|x=-1=0，故所求点的坐标为(-1，0)．

8.

曲线的斜渐近线方程为______．正确答案：．[解析]

则斜渐近线方程为．

二、选择题1.

当x＞0时，曲线A.有且仅有水平渐近线．B.有且仅有铅直渐近线．C.既有水平渐近线，也有铅直渐近线．D.既无水平渐近线，也无铅直渐近线．正确答案：A[解析]由于，又，则原曲线在(0，+∞)有且仅有水平渐近线y=1．

2.

曲线的渐近线有A.1条．B.2条．C.3条．D.4条．正确答案：B[解析]由

可知原曲线有水平渐近线．又，

则原曲线有铅直渐近线x=0，虽然原题中当x=1，x=-2时分母为零，但都不是∞，故原曲线的渐近线有两条．

3.

曲线渐近线的条数为A.0．B.1．C.2．D.3．正确答案：D[解析]

所以x=0是一条铅直渐近线．又

所以沿x→+∞方向没有水平渐近线．又

所以沿x→+∞方向有斜渐近线y=x．

再看沿x→-∞方向：

所以沿x→-∞方向该曲线有水平渐近线y=0．即然沿x→-∞方向已有水平渐近线，此曲线当然不可能再有斜渐近线．故共有3条渐近线，应选D．

对于(*)式中极限还有如下处理：，或者令ex=t，然后再处理．

4.

曲线的渐近线的条数为A.0．B.1．C.2．D.3．正确答案：C[解析]因为

所以

故x=1是曲线的铅直渐近线，且是唯一的一条铅直渐近线．

因为

所以y=1是曲线的水平渐近线．

综上可知，曲线有两条渐近线．

5.

下列曲线中有渐近线的是

A．y=x+sinx．

B．y=x2+sinx．

C．

D．正确答案：C[解析]对于，可知．又，所以有斜渐近线y=x，因此应选C．

6.

曲线上对应于t=1的点处的曲率半径是

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]曲线在点(x，f(x))处的曲率公式，曲率半径．

本题中，所以，对应于t=1的点处有y'=3，y"=-1，所以，曲率半径．应选C．

7.

设函数f(x)在[0，1]上f"(x)＞0，则f'(1)，f'(0)，f(1)-f(0)或f(0)-f(1)的大小顺序是A.f'(1)＞f'(0)＞f(1)-f(0)．B.f'(1)＞f(1)-f(0)＞f'(0)．C.f(1)-f(0)＞f'(1)＞f'(0)．D.f'(1)＞f(0)-f(1)＞f'(0)．正确答案：B[解析]由于f"(x)＞0，x∈[0，1]，则f'(x)单调增加，又f(1)-f(0)=f'(c)，c∈(0，1)，

从而f'(1)＞f'(c)＞f'(0)，

即f'(1)＞f(1)-f(0)＞f'(0)．

8.

设函数f(x)，g(x)是大于零的可导函数，且f'(x)g(x)-f(x)g'(x)＜0，则当a＜x＜b时，有A.f(x)g(b)＞f(b)g(x)．B.f(x)g(a)＞f(a)g(x)．C.f(x)g(x)＞f(b)g(b)．D.f(x)g(x)＞f(a)g(a)．正确答案：A[解析]看起来，选项眼花缭乱，其实仔细审题发现，A，B两项是在区间(a，b)内的值与两端点处的值比大小，C，D两项是f(x)g(x)在区间(a，b)内的值与两端点处的值比大小．题干中含有某种形式的导数的不等式，就想到用单调性．题干中表述的是谁的导数呢?经验算，

故应选A．

9.

已知函数f(x)在区间(1-δ，1+δ)内具有二阶导数，f'(x)严格单调减少，且f(1)=f'(1)=1，则A.在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＜x．B.在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＞x．C.在(1-δ，1)内，f(x)＜x，在(1，1+δ)内，f(x)＞x．D.在(1-δ，1)内，f(x)＞x，在(1，1+δ)内，f(x)＜x．正确答案：A[解析]由选项看出，题目是要确定x与f(x)在所讨论区间内的大小关系，因此，构造辅助函数F(x)=f(x)-x．由题目的条件知

F(1)=0，F'(1)=0，

f"(x)=f"(x)＜0，∈(1-δ，1+δ)，

故F(x)在x=1处取得极大值，即F(1)=0在区间(1-δ，1+δ)内为极大值，从而

f(x)-x＜0，x∈(1-δ，1)∪(1，1+δ)，

即A正确．

三、解答题1.

对函数填写下表．单调减区间

单调增区间

极值点

极值

凹区间

凸区间

拐点

渐近线

正确答案：解

单调减区间(-∞，-2)，(0，+∞)凹区间(-3，0)，(0，+∞)单调增区间(-2，0)凸区间(-∞，-3)极值点-2拐点极值渐近线x=0和y=0

2.

设，求

(1)函数的增减区间及极值；

(2)函数图像的凹凸区间及拐点；

(3)渐近线；

(4)作出其图形．正确答案：解

定义域(-∞，0)∪(0，+∞)．当时，y=0．

(1)，故驻点为x=2．又x(-∞，0)(0，2)2(2，+∞)y'+-0+y↗↘3↗

所以，(-∞，0)及(2，+∞)为增区间，(0，2)为减区间，x=2为极小值点，极小值为y=3．

(2)，故(-∞，0)，(0，+∞)均为凹区间，无拐点．

(3)因

所以，x=0为铅直渐近线，y=x为斜渐近线．

(4)函数的图形如图所示．

3.

如图所示，设曲线L的方程y=f(x)，且y"＞0，又MT，MP分别为该曲线在点M(x0，y0)处的切线和法线．已知线段MP的长度为(其中y'0=y'(x0)，y"0=y"(x0))，试推导出点P(ξ，η)的坐标表达式．

正确答案：解

由题设

①

又PM⊥MT，所以

②

由①，②式得．由于y"＞0，曲线L是凹的，故y0-η＜0，从而．

又，于是得

因此P点坐标为

4.

已知函数，求

(Ⅰ)函数的增减区间及极值；

(Ⅱ)函数图形的凹凸区间及拐点；

(Ⅲ)函数图形的渐近线．正确答案：解

所给函数的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)．

，令y'=0，得驻点x=0及x=3．，令y"=0，得x=0．

列表讨论如下：x(-∞，0)0(0，1)(1，3)3(3，+∞)y'+0+-0+y"-0++++y↗拐点↗↘极小值↗

由此可知：(Ⅰ)函数的单调增加区间为(-∞，1)和(3，+∞)，单调减少区间为(1，3)；极小值为

(Ⅱ)函数图形在区间(-∞，0)内是凸的．在区间(0，1)，(1，+∞)内是凹的，拐点为点(0，0)．

(Ⅲ)由知，x=1是函数图形的铅直渐近线．

又

故y=x+2是函数图形的斜渐近线．

5.

证明：当x＞0时，有不等式．正确答案：证

考虑函数x＞0，有

所以f(x)在(0，+∞)上是单调减少的．

又，知当x＞0时，，即．

6.

利用导数证明：当x＞1时，正确答案：证

令f(x)=(1+x)ln(1+x)-xlnx，则，故在[1，+∞)内f(x)为严格增函数．又f(1)=2ln2＞0，所以有f(x)＞0，x＞1．从而得

7.

设f"(x)＜0，f(0)=0，证明对任何x1＞0，x2＞0，有f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2)．正确答案：证法1

令F(x)=f(x)+f(x2)-f(x+x2)，F(0)=0，又F'(x)=f'(x)-f'(x+x2)=f"(ξ)(-x2)＞0．ξ∈(x，x+x2)(拉格朗日中值定理)，故F(x1)＞F(0)=0，x1＞0，即f(x1)+f(x2)-f(x1+x2)＞0．

证法2

不妨设x1≤x2(x2≤x1时类似可证)，则由拉格朗日中值定理可得

f(x1)-f(0)=x1f'(ξ1)，0＜ξ1＜x1，

f(x1+x2)-f(x2)=x1f'(ξ2)，x2＜ξ2＜x1+x2．

又已知f"(x)＜0，故f'(ξ2)＜f'(ξ1)．比较以上两式即得

f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2)．

证法1采用把其中一个常量字母x1改为变量x(常数变量化)转化为函数不等式，再利用单调性的手段加以证明，这种方法是证明这类常数不等式常用的一种方法．

8.

设x＞0，常数a＞e．证明：(a+x)a＜aa+x．正确答案：证

由函数y=lnx的单调性，只需证aln(a+x)＜(a+x)lna．

设f(x)=(a+x)lna-aln(a+x)，则f(x)在[0，+∞)内连续、可导，且

所以f(x)在[0，+∞)内单增．又f(0)=0．从而得f(x)＞0，x＞0，即

aln(a+x)＜(a+x)lna，x＞0．

所以(a+x)a＜aa+x，x＞0．

9.

设，且f"(x)＞0，证明：f(x)≥x．正确答案：证法1

因f(x)连续且具有一阶导数，故由知f(0)=0．．由f(x)的泰勒公式得，ξ在0与x之间．

因f"(ξ)＞0，所以f(x)≥x．

证法2

易推知f(0)=0，f'(0)=1，令F(x)=f(x)-x，则F'(x)=f'(x)-1，f"(x)=f"(x)＞0，有F'(0)=f'(0)-1=0，则x=0是唯一的极小值点，也是最小值点，于是F(x)=f(x)-x≥F(0)=0．证毕．

设x∈(0，1)，证明：10.

(1+x)ln2(1+x)＜x2；正确答案：证

令φ(x)=(1+x)ln2(1+x)-x2，有

φ(0)=0，φ'(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)-2x，

还看不出在(0，1)内φ'(x)是否定号．为此，再计算φ'(0)=0．

再计算φ"(0)=0，

于是φ"(x)在(0，1)内严格单调减少，又φ"(0)=0，所以在(0，1)内φ"(x)＜o．于是φ'(x)在(0，1)内严格单调减少，又φ'(0)=0，故在(0，1)内φ'(x)＜0．因此φ(x)在(0，1)内严格单调减少，又φ(0)=0，故在(0，1)内φ(x)＜0．证毕．

11.

正确答案：证

令有

由上一小题知，当x∈(0，1)时f'(x)＜0，于是在(0，1)内f(x)严格单调减少，，故当x∈(0，1)时，

不等式左边证毕．又

故当x∈(0，1)时，．不等式右边证毕．

函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式．12.

求导数f'(x)；正确答案：解

由题设知

上式两边对x求导，得(x+1)f"(x)=-(x+2)f'(x)．

设u=f'(x)则有

解之得

由f(0)=1及f'(0)+f(0)=0，知f'(0)=-1，从而C=-1．

因此

13.

证明：当x≥0时，成立不等式：e-x≤f(x)≤1．正确答案：证

当x≥0时，f'(x)＜0，即f(x)单调减少，又f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1．

设φ(x)=f(x)-e-x，则

当x≥0时，φ'(x)≥0，即φ(x)单调增加，因而φ(x)≥φ