考研数学二分类模拟题65

考研数学二分类模拟题65解答题1.

设求(0，2)内使得f(2)-f(0)=2f'(ξ)成立的ξ．正确答案：[解]

当x∈(0，1)时，

由

当x＞1时，

即

当0＜ξ≤1时，由f(2)-f(0)=2f'(ξ)得-1=-2ξ，解得

当1＜ξ＜2时，由f(2)-f(0)=2f'(ξ)得解得

2.

设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，证明：存在ξ∈(0，3)，使得f'(ξ)=0.正确答案：[证明]因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，3]上取到最小值m和最大值M．

3m≤f(0)+f(1)+f(2)≤3M，即m≤1≤M，

由介值定理，存在c∈[0，3]，使得f(c)=1.

因为f(c)=f(3)=1，所以由罗尔定理，存在ξ∈(c，3)(0，3)，使得f'(ξ)=0.

3.

设f(x)在[a，b]上连续．在(a，b)内可导(a＞0)且f(a)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得正确答案：[证明]令φ(x)=(b-x)af(x)，

因为φ(a)=φ(b)=0，所以存在ξ∈(a，b)，使得φ'(ξ)=0，

而φ'(x)=-a(b-x)a-1f(x)+(b-x)af'(x)，故

4.

设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(0，π)，使得f'(ξ)=-f(ξ)cotξ.正确答案：[证明]令φ(x)=f(x)sinx，φ(0)=φ(π)=0，

由罗尔定理，存在ξ∈(0，π)，使得φ'(ξ)=0，

而φ'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx，

于是f'(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0，故f'(ξ)=-f(ξ)cotξ．

5.

设f(x)在[-a，a]上连续，在(-a，a)内可导，且f(-a)=f(a)(a＞0)，证明：存在ξ∈(-a，a)，使得f'(ξ)=2ξf(ξ)．正确答案：[证明]令φ(x)=e-x2f(x)，

由f(-a)=f(a)得φ(-a)=φ(a)，

由罗尔定理，存在ξ∈(-a，a)，使得φ'(ξ)=0，

而φ'(x)=e-x2[f'(x)-2xf(x)]且e-x2≠0，故f'(ξ)=2ξf(ξ)．

6.

设函数f(x)在[0，1]上可微，且满足证明：存在ξ∈(0，1)，使得正确答案：[证明]令φ(x)=xf(x)，

由积分中值定理得其中c∈[0，λ]，

从而φ(c)=φ(1)，由罗尔中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ'(ξ)=0.

而φ'(x)=f(x)+xf'(x)，故

7.

设f(x)在[0，1]上有二阶导数，且f(1)=f(0)=f'(1)=f'(0)=0，证明：存在ξ∈(0，1)，使f"(ξ)=f(ξ)．正确答案：[证明]令φ(x)=e-x[f(x)+f'(x)]，

φ(0)=φ(1)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ'(ξ)=0，

而φ'(x)=e-x[f"(x)-f(x)]且e-x≠0，故f"(ξ)=f(ξ)．

设f(x)在[a，b]上连续可导，f(x)在(a，b)内二阶可导，证明：8.

在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=f(ξ)；正确答案：[证明]令

由罗尔定理，存在c∈(a，b)，使得F'(c)=0，即f(c)=0.

今h(x)=e-xf(x)，h(a)=h(c)=0，

由罗尔定理，存在ξ∈(a，c)，使得h'(ξ)=0，

由h'(x)=e-x[f'(x)-f(x)]且e-x≠0，故f'(ξ)=f(ξ)．

9.

在(a，b)内至少存在一点η(η≠ξ)，使得f"(η)=f(η)．正确答案：[证明]同理，由h(c)=h(b)=0，则存在ξ∈(c，b)，使得f'(ξ)=f(ξ)．

令φ(x)=ex[f'(x)-f(x)]，φ(ξ)=φ(ξ)=0，

由罗尔定理，存在η∈(ξ，ζ)(a，b)，使得φ'(η)=0，

而φ'(x)=ex[f"(x)-f(x)]且ex≠0，故f"(η)=f(η)．

设奇函数f(x)在[-1，1]上二阶可导，且f(1)=1，证明：10.

存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=1；正确答案：[证明]令h(x)=f(x)-x，

因为f(x)在[-1，1]上为奇函数，所以f(0)=0，

从而h(0)=0，h(1)=0，

由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得h'(ξ)=0，

而h'(x)=f'(x)-1，故ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=1.

11.

存在η∈(-1，1)，使得f"(η)+f'(η)=1.正确答案：[证明]令φ(x)=ex[f'(x)-1]，

因为f(x)为奇函数，所以f'(x)为偶函数，由f'(ξ)=1得f'(-ξ)=1.

因为φ(-ξ)=φ(ξ)，所以存在η∈(-ξ，ξ)(-1，1)，使得φ'(η)=0，

而φ'(x)=ex[f"(x)+f'(x)-1]且ex≠0，

故f"(η)+f'(η)=1.

12.

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，证明：存在ξ∈(0，1)，使得

正确答案：[证明]令由柯西中值定理，存在ξ∈(0，1)，使得

13.

设f(x)在上二阶连续可导，且f'(0)=0，证明：存在，使得正确答案：[证明]令

由柯西中值定理，存在使得

由拉格朗日中值定理，存在使得

再由拉格朗日中值定理，存在使得

f'(η)=f'(η)-f'(0)=f"(ξ)η，

故

14.

若函数f(x)在[0，1]上二阶可微，且f(0)=f(1)，|f"(x)|≤1，证明：在[0，1]上成立.正确答案：[证明]由泰勒公式得

两式相减得

从而

由x2≤x，(1-x)2≤1-x得x2+(1-x)2≤1，故|f'(x)|≤1.

15.

设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：在(0，1)内有且仅有一个实根．正确答案：[证明]令

由f(x)＜1得从而

由零点定理，存在c∈(0，1)，使得φ(C)=0，即方程至少有一个实根．因为φ'(x)=2-f(x)＞0，所以φ(x)在[0，1]上严格递增，故在(0，1)内有且仅有一个实根．

16.

证明：方程xa=lnx(a＜0)在(0，+∞)内有且仅有一个根.正确答案：[证明]令f(x)=xa-lnx，f(x)在(0，+∞)连续，

因为f(1)=1＞0，所以f(x)在(0，+∞)内至少有一个零点，即方程xa=lnx在(0，+∞)内至少有一个根．

因为所以f(x)在(0，+∞)内严格递减，故f(x)在(0，+∞)内有且仅有一个零点，从而方程xa=lnx在(0，+∞)内有且仅有一个根．

17.

设证明：对任意自然数n，方程在区间内有且仅有一个根.正确答案：[证明]由得

fn(x)=1-(1-cosx)n，

令

由零点定理，存在使得g(c)=0，

即方程内至少要有一个根．

因为

所以g(x)在内有唯一的零点，从而方程内有唯一根.

18.

设f(x)在[0，1]上连续、单调减少且f(x)＞0，证明：存在c∈(0，1)，使得

正确答案：[证明]令

因为φ(0)=φ(1)=0，所以存在c∈(0，1)，使得φ'(c)=0，

而

于是

19.

求在x=1时有极大值6，在x=3时有极小值2的三次多项式．正确答案：[解]令f(x)=ax3+bx2+cx+d，

由f(1)=6，f'(1)=0，f(3)=2，f'(3)=0得

解得a=1，b=-6，c=9，d=2，

所求的多项式为x3-6x2+9x+2.

20.

求函数的最小值和最大值。正确答案：[解]显然f(x)为偶函数，只研究f(x)在[0，+∞)上的最小值和最大值．

令f'(x)=2x(2-x2)e-x2=0得

当时，f'(x)＞0；当时，f'(x)＜0，

为最大点，最大值

故f(x)的最小值为m=0，最大值

21.

设f(x)为[-2，2]上连续的偶函数，且求F(x)在[-2，2]上的最小点．正确答案：[解]

因为所以

因为f(x)＞0，所以F'(x)=0得x=0，

又因为F"(x)=2f(x)，F"(0)=2f(0)＞0，所以x=0为F(x)在(-2，2)内唯一的极小点，也为最小点．

22.

求函数在[0，2]上的最大和最小值．正确答案：[解]由

由

故f(x)在[0，2]上最大值为0，最小值为

23.

f(x，y)=x3+y3-3xy的极小值．正确答案：[解]由

f"xx=6x，f"xy=-3，f"yy=6y，

当(x，y)=(0，0)时，A=0，B=-3，C=0，因为AC-B2＜0，所以(0，0)不是极值点；

当(x，y)=(1，1)时，A=6，B=-3，C=6，

因为AC-B2＞0且A＞0，所以(1，1)为极小点，极小值为f(1，1)=-1.

设24.

讨论f(x)在x=0处的连续性；正确答案：[解]

f(0)=f(0-0)=1，由f(0)=f(0-0)=f(0+0)=1得f(x)在x=0处连续．

25.

f(x)在何处取得极值?正确答案：[解]当x＞0时，由f'(x)=2x2x(1+lnx)=0得当x＜0时，f'(x)=1＞0.

当x＜0时，f'(x)＞0；当时，f'(x)＜0；当时，f'(x)＞0，

则x=0为极大点，极大值为为极小点，极小值为

26.

设求f(x)的极值．正确答案：[解]

因为f'-(0)≠f'+(0)，所以f(x)在x=0处不可导．

于是

令f'(x)=0得

当x＜-1时，f'(x)＜0；当-1＜x＜0时，f'(x)＞0；当时，f'(x)＜0；当时，f'(x)＞0，

故x=-1为极小点，极小值为为极大点，极大值为f(0)=1；为极小点，极小值为

27.

设g(x)在[a，b]上连续，且f(x)在[a，b]上满足f"(x)+g(x)f'(x)-f(x)=0，又f(a)=f(b)=0，证明：f(x)在[a，b]上恒为零．正确答案：[证明]设f(x)在区间[a，b]上不恒为零，不妨设存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＞0，则f(x)在(a，b)内取到最大值，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=M＞0，且f'(c)=0，代入得f"(c)=f(c)=M＞0，则x=c为极小点，矛盾，即f(x)≤0，同理可证明f(x)≥0，故f(x)≡0(a≤x≤b)．

28.

求函数的单调区间与极值，并求该曲线的渐近线．正确答案：[解]由得x=-1，x=0.

当x＜-1时，y'＞0；当-1＜x＜0时，y'＜0；当x＞0时，y'＞0，

的单调增区间为(-∞，-1]∪(0，+∞)，单调减区间为[-1，0]，x=-1为极大值点，极大值为的极小值点，极小值为因为所以曲线没有水平渐近线；

又因为为连续函数，所以没有铅直渐近线；

由

得y=x-2为曲线的斜渐近线；

再由

y=eπx-2eπ为曲线的斜渐近线．

29.

设y=y(x)由x2y2+y=1(y＞0)确定，求函数y=y(x)的极值．正确答案：[解]x2y2+y=1两边关于x求导得

2xy2+2x2yy'+y'=0，解得

由得x=0，

2xy2+2x2yy'+y'=0两边对x求导得

2y2+8xyy'+2x2y'2+2x2yy"+y"=0，

将x=0，y=1，y'(0)=0代入得y"(0)=-2＜0，

故x=0为函数y=y(x)的极大点，极大值为y(0)=1.

30.

求上的最大值、最小值．正确答案：[解]

由f'(x)=2x-1=0得

因为

所以f(x)在[0，1]上的最大值为、最小值为．

31.

当x＞0时，证明：正确答案：[证明]方法一

令

由

故当x＞0时，

方法二

令由拉格朗日中值定理得

从而

32.

当x＞0时，证明：正确答案：[证明]令

令f'(x)=(x-x2)sin2nx=0得x=1，x=kπ(k=1，2，…)，

因为当0＜x＜1时，f'(x)＞0；当x＞1