考研数学二分类模拟题21

考研数学二分类模拟题21解答题1.

证明：正确答案：[证明]令f(0)=0．

方法一

由得则x=0为f(x)的最小值点，而最小值为f(0)=0，故f(x)≥0，即

方法二令，得x=0，因为，所以x=0为f(x)的最小值点，最小值为f(0)=0，所以有

2.

证明方程x+p+qcosx=0有且仅有一个实根，其中p，q为常数，且0＜q＜1．正确答案：[证明]令f(x)=x+p+qcosx，因为f'(x)=1-qsinx＞0，所以f(x)在(-∞，+∞)上单调增加，又因为，所以f(x)有且仅有一个零点，即原方程有且仅有一个实根．

3.

证明方程内有且仅有两个根．正确答案：[证明]，令，令，得x=e，因为，所以为f(x)的最大值，又因为，，所以f(x)=0在(0，+∞)内有且仅有两个实根．

4.

设k＞0，讨论常数k的取值，使f(x)=xlnx+k在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点．正确答案：[解]f(x)的定义域为(0，+∞)，

由f'(x)=lnx+1=0，得驻点为，由，得为f(x)的极小值点，也为最小值点，最小值为

(1)当时，函数f(x)在(0，+∞)内没有零点；

(2)当时，函数f(x)在(0，+∞)内有唯一零点；

(3)当时，函数f(x)在(0，+∞)内有两个零点，分别位于与内．

5.

设，讨论f(x)的单调性，凹凸性，拐点，水平渐近线．正确答案：[证明]因为，所以f(x)在(-∞，+∞)上单调增加．

因为，当x＜0时，f"(x)＞0；当x＞0时，f"(x)＜0，则y=f(x)在(-∞，0)的图形是凹的，y=f(x)在(0，+∞)内是凸的，(0，0)为y=f(x)的拐点．

因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数．

由得与为曲线y=f(x)的两条水平渐近线．

6.

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，且f(a)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得正确答案：[证明]令φ(x)=(b-x)af(x)，显然φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，因为φ(a)=φ(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ'(ξ)=0，

由φ'(x)=(b-x)a-1[(b-x)f'(x)-af(x)]得(b-ξ)a-1[(b-ξ)f'(ξ)-af(ξ)]且(b-ξ)a-1≠0，故

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：7.

存在ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)=2ξf(ξ)．正确答案：[证明]令φ(x)=e-x2f(x)，因为f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，

由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ'(ξ)=0，

而φ'(x)=e-x2[f'(x)-2xf(x)]且e-x2≠0，故f'(ξ)=2ξf(ξ)．

8.

存在η∈(a，b)，使得ηf'(η)+f(η)=0．正确答案：令φ(x)=xf(x)，因为f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，

由罗尔定理，存在η∈(a，b)，使得φ'(η)=0，

而φ'(x)=xf'(x)+f(x)，故ηf'(η)+f(η)=0．

9.

设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，证明：存在ξ∈(1，2)，使得ξf'(ξ)-f(ξ)=f(2)-2f(1)．正确答案：[证明]令

则φ(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且φ(1)=φ(2)=f(2)-f(1)，

由罗尔定理，存在ξ∈(1，2)，使得φ'(ξ)=0，

而，故ξf'(ξ)-f(ξ)=f(2)-2f(1)．[解析]由xf'(x)-f(x)=f(2)-2f(1)得，从而，辅助函数为

10.

设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f'(x)≠0，证明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)，使得正确答案：[证明]令F(x)=lnx，，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得即

由拉格朗日中值定理得，其中η∈(1，2)，f(2)-f(1)=f'(ζ)(2-1)=f'(ζ)，其中ζ∈(1，2)，

故．

11.

证明：当x＞1时，正确答案：[证明]令f(x)=(1+x)ln(1+x)-xlnx，f(1)=2ln2＞0，

因为

所以f(x)在[1，+∞)上单调增加，

再由f(1)=2ln2＞0得当x＞1时，f(x)＞0，即[解析]当x＞1时，等价于(1+x)ln(1+x)-xlnx＞0．

12.

证明：当x＞0时，正确答案：[证明]令

因为，所以f(x)在(0，+∞)内单调递减，

又因为，所以，即

13.

证明：当0＜x＜1时，正确答案：[证明]令，f(0)=0，

，

由得当0＜x＜1时，f(x)＞0，故．[解析]等价于，

14.

当时，证明：正确答案：[证明]令f(x)=x-sinx，f(0)=0．

f'(x)=1-cosx＞0，

由得

，即当时，sinx＜x；

令，g(0)=0，．

由得g(x)在内为凸函数．

由得

，即当时，，故当时，．

15.

设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：在(0，1)有且仅有一个根．正确答案：[证明]令，φ(0)=-1，，

因为f(x)＜1，所以，从而φ(0)φ(1)＜0，由零点定理，存在c∈(0，1)，使得φ(c)=0．

因为φ'(x)=2-f(x)＞0，所以φ(x)在[0，1]上单调增加，故方程有且仅有一个根．

16.

求曲线的上凸区间．正确答案：[解]，

，

由y"＜0得(x-3)2-1＜0，解得2＜x＜4，

故曲线的上凸区间为(2，4)．

17.

求曲线的斜渐近线．正确答案：[解]得

曲线的斜渐近线为y=2x-11．

18.

求的渐近线．正确答案：[解]因为，所以y=f(x)没有水平渐近线，

由得x=0为铅直渐近线，

由得x=2为铅直渐近线，

由，

得y=x+3为斜渐近线．

19.

证明：当x＞0时，正确答案：[证明]令φ(t)=ln(x+t)，由拉格朗日中值定理得

由得．

20.

设0＜a＜1，证明：方程arctan=ax在(0，+∞)内有且仅有一个实根．正确答案：[证明]令f(x)=arctanx-ax，由得，

由得为f(x)的最大点，

由，f(0)=0得方程arctanx=ax在(0，+∞)内有且仅有唯一实根，位于内．

21.

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

正确答案：[证明]令F(x)=lnx，，

由柯西中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得，

即，整理得．

22.

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)+f(ξ)g'(ξ)=0．正确答案：[证明]令φ(x)=f(x)eg(x)，

由f(a)=f(b)=0得φ(a)=φ(b)=0，则存在ξ∈(a，b)，使得φ'(ξ)=0，

因为φ'(x)=eg(x)[f'(x)+f(x)g'(x)]且eg(x)≠0，所以f'(ξ)+f(ξ)g'(ξ)=0．

设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且

证明：23.

ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f'(ξ1)=f'(ξ2)=0．正确答案：[证明]令，F'(x)=f(x)，，其中0＜c＜2．

因为f(x)在[2，3]上连续，所以f(x)在[2，3]上取到最小值m和最大值M，，

由介值定理，存在x0∈[2，3]，使得，即f(2)+f(3)=2f(x0)，于是f(0)=f(c)=f(x0)，

由罗尔定理，存在，使得f'(ξ1)=f'(ξ2)=0．

24.

存在ξ∈(0，3)，使得f"(ξ)-2f'(ξ)=0．正确答案：[证明]令φ(x)=e-2xf'(x)，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，

由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(0，3)，使得φ'(ξ)=0，而φ'(x)=e-2x[f"(x)-2f'(x)]且e-2x≠0，故f"(ξ)-2f'(ξ)=0．

设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f(x)≠0(1＜x＜2)，又存在，证明：25.

存在ξ∈(1，2)，使得正确答案：[证明]令h(x)=lnx，，且F'(x)=f(x)≠0，

由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得，即

26.

存在η∈(1，2)，使得正确答案：[证明]由得f(1)=0，

由拉格朗日中值定理得f(ξ)=f(ξ)-f(1)=f'(η)(ξ-1)，其中1＜η＜ξ，

故．

27.