考研数学二分类模拟240

考研数学二分类模拟240解答题1.

设

在点x=0处连续，求a，b的值．正确答案：解：

因为f(x)在点x=0处连续，所以f(0+0)=f(0)=f(0-0)，故a=1，b=-1．[考点]函数、极限

2.

正确答案：解：

令u=x5+1，先计算上面式子的第二项

代入上式，得到

[考点]一元函数微积分

3.

设y=f(x)为[a，b]上单调递增的连续曲线(下图)．试证：存在ξ∈(a，b)，使图中两阴影部分面积相等．

正确答案：证明：按题意，点ξ需满足

引入辅助函数

易知F(t)在[a，b]上连续，且因y=f(x)单调递增，所以有

故由零点定理，，使得

结论得证．[考点]一元函数微积分

4.

求极限．正确答案：解：记

易见数列{an}是递增的，且

因此，由单调有界定理知数列{an}收敛．设．

因为

所以．任意给定的正整数m，当n＞m，有

在上面的不等式中令n→∞，得

因此，由极限的保不等式性得到e≥a，故a=e．[考点]极限、连续及其应用

5.

．正确答案：解：

于是

[考点]不定积分、定积分、反常积分

6.

证明：任意n+1个n维向量都线性相关．正确答案：证明：任取n+1个向量：α1，α2，…，αn+1．

考虑齐次线性方程组x1α1+x2α2+…+xn+1αn+1=0，它的方程个数n小于未知量个数n+1，因此它有非零解．从而α1，α2，…，αn+1线性相关．[考点]向量

7.

判断积分是否有意义．正确答案：解：

故该积分有意义．[考点]不定积分、定积分、反常积分

8.

设f(x)=a0+a1x+…+amxm，证明：如果λ0是n阶矩阵A的一个特征值，且α是A的属于λ0的特征向量，那么f(λ0)是矩阵f(A)的一个特征值，α是f(A)的属于f(λ0)的一个特征向量．正确答案：证明：由已知条件得，Aα=λ0α．于是

因此f(λ0)是f(A)的一个特征值，α是f(A)的属于f(λ0)的一个特征向量．

注本例的结论请读者记住并灵活运用．[考点]特征值与特征向量

设，求：9.

f(x)的定义域；正确答案：解：则f(x)的定义域为(-∞，+∞)．[考点]函数、极限

10.

；正确答案：解：因为

所以．[考点]函数、极限

11.

．正确答案：解：因为x=0为f(x)的分段点，所以分别考虑左、右极限

因此不存在．[考点]函数、极限

12.

设f(x)连续，任意的x＞0，f(x)＞0，且对任意的x≥0，有．当x≥0时，求f(x)．正确答案：解：当x＞0时，f(x)＞0，所以，故

又因f(x)连续，所以可导，即f2(x)可导．

对两边求导，得

2f(x)f'(x)=f(x)＞0

故，即．再由f(0)=0得c=0，所以．[考点]一元函数微积分

13.

若A是n阶矩阵，且A2=A，证明

r(A-E)+r(A)=n正确答案：证明：由A2=A，得A(A-E)=0，故r(A)+r(A-E)≤n．

又

r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n

得证

r(A-E)+r(A)=n[考点]矩阵、向量、方程组

已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx，在正交变换x=Qy下的标准形为，且Q的第3列为．14.

求矩阵A；正确答案：解：因为二次型xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为，所以其系数1，1，0就是矩阵A的特征值，即

且矩阵Q的第3列就是属于特征值0的特征向量．

设(x1，x2，x3)T为A属于特征值1的特征向量，由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的，故有

即x1+x3=0，解得，ξ3=(0，1，0)T，即为属于特征值1的两个正交单位特征向量，以ξ2，ξ3分别为第1，2列(或第2，1列)得到

并有

从而得

[考点]二次型

15.

证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．正确答案：证明：因A的特征值为1，1，0，所以A+E的特征值为2，2，1．又AT=A，则A+E为实对称矩阵，故A+E为正定矩阵．[考点]二次型

16.

在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行．设该人群的总人数为N，在t=0时刻已掌握新技术的人数为x0．在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为可微变量)，其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技术的人数之积成正比，比例系数k＞0，求x(t)．正确答案：解：由题意x(t)满足如下初值问题

分离变量得，积分得

即

故

由x(0)=x0知，故．[考点]常微分方程及其应用

求下列极限：17.

；正确答案：解：

所以

[考点]多元函数微分学

18.

．正确答案：解：先计算取对数之后的极限

因为

故原极限=e0=1．[考点]多元函数微分学

19.

证明：如果A是实对称矩阵，且A是幂零矩阵(即A2=0)，那么A=0．正确答案：证明：由于幂零矩阵的特征值有且只有0，故存在正交矩阵T，使得T-1AT=diag{0，0，…，0}．从而A=T0T-1=0．[考点]特征值与特征向量

20.

设，求函数f(x)的间断点，并指出其类型．正确答案：解：因为，所以，其定义域为x≠kπ(k=0，±1，±2，…)，因此x=kπ(k=0，±1，±2，…)是函数f(x)的间断点．

当k=0时，，故x=0是f(x)的第一类间断点(可去间断点)；

当k≠0时，不存在，故x=kπ(k=±1，±2，…)是f(x)的第二类间断点．

注由于x→kπ(k≠0)时，sinx→0，因此，注意到e+∞=+∞，而e-∞=0，所以有必要做出如下更细致的讨论，比如：

当k为正奇数时，由，得；

由，得．

故此时kπ为f(x)的第二类间断点．其他情况：k为负奇，k为正偶，k为负偶，均可类似判断是kπ为第二类间断点．[考点]函数、极限

21.

计算二重积分，其中D为x2+y2≤1在第一象限的部分．正确答案：解1：极坐标下计算．令x=rcosθ，y=rsinθ，，0≤r≤1，则

解2：直角坐标下计算，则

[考点]二重积分

设有三个线性无关的特征向量．22.

求a；正确答案：解：由

得矩阵A的特征值为λ1=-2，λ2=λ3=1，因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以相似对角化，从而r(E-A)=1，由

得a=-1．[考点]特征值与特征向量

23.

求A的